1、CHAPTER 4 更新过程,第一节 更新过程定义及若干分布 一、更新过程的定义设Xn,n1是独立同分布的非负随机变量，分布函数为F(x)，且F(0)1，令,记,或,称N(t),t0更新过程。,注： 在有限的时间内不可能有无限多次更新发生。因为,由强大数定律知，依概率1有,从而，无穷多次更新只可能在无限长的时间内发生，即有限的时间内最多只能发生有限次更新。,二、 N(t)的分布及EN(t)的一些性质,1、N(t)的分布因为,所以,其Fn(x)中是Tn的分布函数，它是F(x)自身的n次卷积。,注：,2、更新函数令m(t)=EN(t)，称m(t)为更新函数。显然m(t)是单调递 增的，因而其反函数
2、m-1(t)存在,Theorem：,Theorem：,Theorem：N(t)有有限的期望值，即,则 是一个新的更新过程，由于 只取0和 两个常数，故过程 只能在 时刻出现更新。 比如在时刻 出现k次更新，就意味事件“ ”第k次首次出现，故 P(在时刻 的更新次数=k),即在这些时刻的更新次数是独立同分布的几何随机变量，其均值为,在0,t内出现更新的时刻个数不超过 ，于是在0,t内的平均更新次数,因为，几何分布的各阶矩都存在，所以，我们实际上已证明了,第二节 更新方程,一、更新方程设m(t)为更新函数，其导数称为更新密度，记为 M(t)，则,其中 是 的密度函数。,定理：m(t)和M(t)分别
3、下面的积分方程,其中：,定义（更新方程）如下形式的积分方程称 为更新方程,其中H(t)，F(t)为已知，且当t0时， H(t)，F(t) 均为0，当H(t)在任何区间上有界时称此方程为 适定更新方程，简称更新方程。,二、更新方程的解定理：设更新方程中H(t)为有界函数，则 方程存在惟一的在有限区间内有界的解,证明：先证K(t)有界，因为H(t)有界， m(t) 有界不减，所以，对任何T0有,再证K(t)满足更新方程，,最后证明解的惟一性，设 是方程,的解，且满足有界性条件，则,连续代换有,因为,已知,并且,所以，,从而,而,所以，,三、瓦尔德（Wald）等式1，停时：设Xn,n1为随机变量序列
4、，N为取非负整数的随机变量。若对一切的n=0,1,2, ，事件N=n仅依赖于X1, X2, , Xn，而与Xn+1 Xn+2,独立，则称N关于Xn,n1为停时(Stopping time),或称马尔可夫时(Markov time)。 直观意义：当我们观察诸Xn ，以N表示停止观察前所观察的次数，如果N=n ，那么，我们是在已经观察X1, X2, , Xn后，还未观察Xn+1 Xn+2,前停止观察。,2，Wald等式 Theorem：设Xn,n1为独立同分布随机变量序列 N是关于Xn,n1的停时， 则,特别，,证明：对第一次更新时刻X1取条件,记 则,这就是更新方程，其解为,第三节 更新定理 引
5、理1：N(t)+1是关于Xn,n1的停时。,只依赖于X1, X2, , Xn，而与Xn+1 Xn+2,独立。,一、基本更新定理 Theorem： （基本更新定理）,设 ，则,假设,另一方面，任给一常数M，定义一个新的更新过程,由于这个截尾更新过程的到来时间间隔 不会超过M(以M为界), 而 是 之后的一个到来时刻，且,（ 时的证明略）,二、N(t)的渐近正态分布,而Tn作为独立同分布的随机变量的和的分布近似正态，所 以更新过程在时间充分长后，其分布就近似正态分布.,Theorem：,即当t充分大时,三、 关键更新定理,1、定义：非负随机变量X称为格点的，若X只取某个非负数d的整数倍。即存在d0
6、，使得,具有这个性质的最大的d称为X的周期。若X是格点的，F(x)是X的分布函数，则称F(x)是格点的。 2、布莱克威尔(Blackwell)定理 设F(x)为非负随机变量X的分布函数,(1) 若F(x)不是格点的，则对任意的a0，有,(2)若F(x)是格点的，周期为d，则,容易看出，基本更新定理是Blackwell定理的特殊情况。,P在(n+1)d处发生更新,令 ，由（1）知,注意到,所以,记 ，设h(t) 0满足(1) h(t) 非负不增；(2) 。 H(t)是更新方程,的解。那么 （1）若F(x)不是格点的,3、关键更新定理,再利用,可得,（2）若F(x) 是格点的，对于,注：关键更新定
7、理与布莱克威尔(Blackwell)定理是等价性的,假设F(x)不是格点的，令,代入更新方程的解，有,若关键更新定理成立,又,所以,反过来， 若,则,所以,交换极限次序，可得,即当t很大时，有,所以，,所以，,4、剩余寿命和年龄的极限分布考虑一个更新过程，Xn,n1为事件来到时间间隔，用A(t)表示0,t内最后一次更新到t时刻的时间，用Y(t)表示t时刻到下一次更新的时间，即,解：令,对第一次更新时刻X1取条件，得,(1) 当 xt+y 时，,(2) 当txt+y时，,(3) 当0xt 时，,由全概公式得,这是一个更新方程，它的解为,由关键更新定理可得,同样可求得年龄A(t)的分布,注意到,所
8、以,可见年龄的极限分布与寿命的极限分布相同，事实 上，当过程的时间持续很长时，倒过来观察此过程，则 原过程的年龄即为倒过来观察的过程的寿命。,L-C破产模型； 设保险公司在时刻t的赢余可表达为,这里,-保险公司的初始成本,-保险公司单位时间征收的保险费率,-表示第k次索赔额,-表示0,t内发生的索赔次数,第四节 伦德伯格-克拉默破产论,上述模型满足三个基本假设：,假设1：Xk,k1是恒正的、独立同分布的随机变 量序列，分布函数为F(x)，期望为 ，是参数为 的泊松过程，且与Xk,k1相互独立。假设2：,或,其中 称为相对安全负载。 因为保险公司为运作上的安全，要求,由此可以得到,但这并不能排除
9、在某一瞬时盈余过程取负值，这时 称保险公司破产。,-破产时刻,-保险公司最终破产的概率,破产概率可以作为评价保险公司偿付能力的一个数量指标。,伦德伯格-克拉默的结果可直观表示为：当初始准备金u充分大时，保险公司在经营“小索赔”情形的保险业务时，破产是不易发生的。,所谓“小索赔”的含义由下述假定给出,假定3（调节系数存在惟一性假定） 1、个体索赔额的矩母函数,至少在包含原点的某一个邻域内存在。,2、下述关于 r 的方程存在正解,即,此方程的解记为R，称为调节系数， 即R满足,由此可知,是一个概率密度函数。,定理：若假定13成立，则有,（1）,（2）伦德伯格不等式：,（3）伦德伯格-克拉默近似：存
10、在正常数C，使得,或,证明：先证（1）和（3）,记,它表示初始盈余为 时，保险公司永不破产的概率。,首先对首次索赔发生的时刻T1和首次索赔额X1取条件，利用全概公式得,作变换 得,两边对 求导得,两边积分得,由分部积分公式得,所以,令,得,所以,再证（3）,记,从而可得如下适定的更新方程,可以证明 单调递减，且,说明a(t)在任何区间上有界,即a(t)满足关键更新定理的条件，由关键更新定理可得,所以,注：,则N(t),t0为更新过程。,第五节 更新过程的推广,考虑只有两个状态的系统：开或关，系统在t=0时是 开的且持续开的时间为Z1，而后关闭且持续闭的时间为Y1， 之后又打开，持续时间为Z2，
11、后又关闭，持续时间为Y2， 如此反复下去。假定(Zn,Yn)独立同分布（这意味着Zn 独立同分布，Yn独立同分布，Xn= Zn+ Yn独立同分布， 但允许Zn,Yn相依）记,一、交错更新过程,为交错更新过程。,P(时刻t系统开着),P(时刻t系统关着),定理：若 , 且F为非格点的，则,记,称,1、定义：设Xn,n1是独立的非负随机变量，X1具有分 布G，X2,X3, 具有分布F，令T0=0,Tn=X1+X2+Xn，定义 ND(t)=supn:Tnt,称随机过程ND(t),t 0为延迟更新过程。,定理:令mD(t)=END(t),则,二、 延迟更新过程,定理：延迟更新过程有如下结论 1，,2，
12、,3，若F不是格点的，则,4，若F，G是格点的，且周期为d，则当 时E在时刻nd的更新次数,5，若F是格点的， ，及h直接黎曼可积，则,设,定义分布函数,称Fe为平衡分布。 当G=Fe时的延迟更新过程称为平衡更新过程。当我们从时刻t开始观察一个更新过程时，其第一个到达时 间间隔即为原更新过程的剩余寿命，即其第一个到达时间间隔 分布G即为原更新过程的剩余寿命Y(t)的分布，而,所以，当t很大时，从时刻t开始观察的一个更新过程近乎 一个首个到达时间间隔分布G=Fe的延迟更新过程即平衡更新 过程。,2、平衡分布,第一个到达的时间间隔,原更新过程的剩余寿命,开始观察的时刻,R(t)表示到时刻t为止所得
13、的总酬劳。很多概率模型是上述模型的特殊情况。设 ERn=ER EXn=EX,定理：若ER及EX ，则,设N(t),t0为更新过程，到达时间间隔Xn,n=1,2, 相互独立，有共同分布F(x)。Rn表示在第n次更新时刻所获得的酬劳。设Rn, n=1,2, 独立同分布，但永许Rn与Xn相关。随机向量(Xn, Rn), n=1,2, 独立同分布。令,三、 更新酬劳过程,例（产品保修策略）设某公司所售出商品采取如下更换策略：在期限0，w内，则免费更换产品。若在（w,w+T期间损坏，则按使用时间折价更换新产品，并且对0，w内更换的新产品执行原来的更换期，而对（w,w+T期间折价更换的新产品，从更换时刻重
14、新计算更换期。讨论长期执行此策略对厂家的影响（厂家的期望利润）。解 设t=0时用户购买一个新产品，售价为c元，成本为c0c产品寿命为X，其分布函数为F(x)，,设用户相继两次购买（包括全价购买和折扣更换，但不包括免费更换）的时间间隔为Y1, Y2。则Y1, Y2独立同分布，设Yi分布函数为G(x)。用N(t)表示(0,t)内的更换次数，Tn 表示第n次更换时刻，m(t)=EN(t),则用户的更换策略是,y为用户使用时间。,是产品在 时的剩余寿命。,则,从而,设(0,Y1内用户的花费为c1，则,从而,于是，对顾客而言,长期平均费用,对公司而言，在一个购买周期(0,Y1内，公司的期望成本为,公司从每个用户所得的长期平均利润为：,其中， 为公司在 时间内免费更换产品个数的期望值。,=每个用户的长期平均费用公司的长期平均成本,公司的长期平均收益公司的长期平均成本,
