1、第 1 页 2.1 有理数学习目标、重点、难点【学习目标】1. 借助生活中的实例理解负数、有理数的意义，体会负数引入的必要性和有理数应用的广泛性.2. 会判断一个数是正数还是负数，能应用正、负数表示生活中具有相反意义的量，体会数学知识与现实世界的联系.3. 在负数概念的形成过程中，培养观察、归纳与概括的能力.【重点难点】理解正、负数及有理数的意义知识概览图新课导引让我们一起走进数的世界吧！教材精华知识点 1 具有相反意义的量观察下面给出的每一对数量，指出各对数量有什么共同的特点.(1)零上 3和零下 12；(2)收入 800 元和支出 500 元；第 2 页 (3)增加 5kg 和减少 2kg
2、；(4)水位升高 0.5m 和降低 1.3m.通过观察，发现这里给出的每一对数量，都有一个共同的特点：每个语句中都含有一对具有相反意义的词，如“零上”和“零下”、“收入”和“支出”、“增加”和“减少”、“升高”和“降低”.像这样，分别由相反意义的词表示的两个数量，就是具有相反意义的量.知识点 2 负数的引入在我们的生活中，经常会遇到一些具有相反意义的量，如气温零上 20与零下 17，前进100 米与后退 80 米，海平面以上 8844 米与海平面以下 155 米等，为更好地表示这些具有相反意义的量，我们引入一种新数负数，如17，80，155 等.为了把小学学过的数(自然数和分数)与这种新数加以
3、区别，我们把小学学过的所有非零的数都叫做正数，如 1， ， 0.3 都是正数.2用正数和负数表示具有相反意义的量，既简单明了，又非常方便.如：气温零上 20记作+20，气温零下 17就记作17.海平面以上 8844 米记作+8844 米，海平面以下 155 米就记作155 米.注意：用正数和负数表示具有相反意义的量时，可以根据实际，规定哪种意义的量为正数，那么具有相反意义的量就为负数.知识点 3 正数和负数的概念像 3，1 ，325 等比 0 大的数叫做正数，在小学学过的数除 0 以外都是正数，正数比 0 大.2像3，l，325 等在正数前面加上“”号的数叫做负数，负数比 0 小.0 既不是正
4、数，也不是负数，0 是正数和负数的分界.知识点 4 有理数的有关概念有理数：整数与分数统称为有理数.整数包括正整数、零、负整数.例如：1，2，3，0，1，2，3 等.分数包括正分数和负分数，例如： ，3 ，0.6， ，3 ，0.6 等.214214有理数的分类：(1)按符号分类：正有理数有理数 零：0正整数：如 1，2，3，正分数：如 ，5，23负整数：如1，2，3，负分数：如 ，3.5， ，65第 3 页 负有理数(2)按定义分类：正整数：如：1,2,3，有理数 零：0有理数 负整数：如1，2，3，正分数：如 ， ，5，2213分数负分数：如 ，3.5， ，565注意：(1)到现在为止，我们
5、学过的数可分为五类：正整数、正分数、0、负整数、负分数，但研究问题时，通常把有理数分为三类：正有理数、0、负有理数进行讨论.(2)通常把正数和 0 统称为非负数，负数和 0 统称为非正数，正整数和 0 统称为非负整数(也叫做自然数)，负整数和 0 统称为非正整数.(3)在对有理数进行分类时，必须按同一标准进行分类，不能混淆标准.课堂检测基本概念题1、下面的数中哪些数是正数?哪些数是负数?+5，3.14，125，200，7 ，0.3，10.312、把下列各数分别填在相应的括号内. ，13，2，+6， ，0，0.8，3 ，4.2.17241第 4 页 正数： ,；负数： ,；正整数： ,；正分数：
6、 ,；负整数： ,；负分数： ,.基础知识应用题3、(1)如果收入 60 元记作+60 元，那么支出 20 元记作 ，70 元表示 .(2)如果气温是零上 20记作+20，那么零下 7记作 .4、判断题(对的在括号内画“”，错的在括号内画“”)：(1)零是正数；( )(2)零是整数；( )(3)不是正数的数一定是负数；( )(4)零是非负数；( )(5)零是偶数.( )综合应用题5、三峡大坝从 6 月 1 日开始下闸蓄水，下表是工作人员连续 5 天的水位记录(如果规定蓄水位为 135 米)情况，记录如下：(单位：米)6 月 1 日 6 月 2 日 6 月 3 日 6 月 4 日 6 月 5 日
7、5 +2 1 +3 +2问：(1)这 5 天中每天的水位各是多少米?(2)总的来说，水位是上升了，还是下降了?若上升了，上升了多少?若下降了，下降了多少?第 5 页 6、如图 212 所示，李芳家住黄河边的某市，黄河大堤高出此市区 20 米，另有市里铁塔高约 58 米，是此市的一大景观.李芳和好朋友林雪燕、明明出去玩.李芳站在黄河大堤上，林雪燕站在地面上放风筝，顽皮的明明则爬上铁塔顶.李芳说“以大堤为基准，记为 0 米，则林雪燕所在的位置高为20 米，明明所在的位置高为+58 米.”明明说：“以铁塔顶为基准，记为 0 米，则林雪燕所在的位置高为58 米，李芳所在的位置高为38 米，”林雪燕说：
8、“明明的位置比我高 58 米.”他们谁说得对?体验中考1、如果+10表示“增加 10”，那么“减少 8”可以记作( )A.18 B.8 C.+2 D.+82、在1，0，1，2 这四个数中，既不是正数也不是负数的是( )A.1 B.0 C.1 D.2学后反思第 6 页 附： 课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析：一般地，在正数前面带有“+”号或省略“+”号的数是正数，在正数前面带有“”号的数是负数.解：正数有：+5，125，0.3，10；负数有：3.14，200，7 .312、分析：以前学过的 0 以外的数就是正数，正数前面加上“”号就是负数，再看它们是整数还是分数.解：正数：13，+6， ，
9、0.8，3 ，负数： ，2，4.2，；72411正整数：13，+6，正分数： ，0，8，3 ；724负整数：2，负分数： ，4.2，；13、解析：正数与负数可表示具有相反意义的量.我们习惯把收入、零上、比海平面高、上升等规定为正，把与它们意义相反的量如支出、零下、比海平面低、下降等规定为负数“0”除了表示“没有”外，还有“初始”的意义.答案：(1)20 元 支出 70 元 (2)7技巧 正数与负数通常表示具有相反意义的量.若正数表示某种意义的量，则负数就表示其相反意义的量.4、解析：零既不是正数，也不是负数，(1)题是错的；(2)题零是整数是对的，因为正整数、零、负整数统称为整数；(3)题是错
10、的，也可能是零；(4)题是对的，正数和零统称为非负数；(5)题是对的，6，4，2，0，2，4，6，都是偶数.答案：(1)(2)(3)(4)(5)规律 零既不是正数也不是负数，它是正数、负数的分界.小学里学过的零是“没有”的意思，而引入负数后就不能把“0”完全当作“没有”，如温度表示中，0就是一个特定的温度.零是整数，也是偶数.非负数就是零和正数.5、分析：在没有特殊说明的情况下，表格中的正数表示高出规定蓄水位的米数，负数则表示低于规定蓄水位的米数.如表中的“5”表示的水位是 1355=130(米)，“+2”表示的水位是135+2137(米).解：(1)这 5 天中每天的水位分别是：130 米，
11、137 米，134 米，138 米，137 米.第 7 页 (2)上升了；上升了 1 米.点拨 表格中的正数和负数分别表示比规定蓄水位 135 米上升的量和下降的量.如5 表示比135 米下降了 5 米的水位，+2 表示比 135 米上升了 2 米的水位.6、分析：解答本题时，要注意观察示意图，用正数、负数表示具有相反意义的量时，由于基准(0 米点)的选法不同，表示的结果也不相同.若以大堤为基准，则地面低于大堤 20 米，记为20 米，铁塔高于大堤(5820)米，即 38 米，应记为+38 米.若以铁塔顶为基准，记为 0 米，则地面低于铁塔顶 58 米，记为58 米，大堤低于铁塔顶(5820)
12、米，记为38 米.解：明明和林雪燕说得对.点拨 用正数、负数表示具有相反意义的量，必须有“基准”，而这个“基准”可根据需要来确定.体验中考1、解析：+10表示“增加 10”，则“减少 8”用8表示.答案：B2、解析：因为 0 既不是正数，也不是负数，所以答案选 B.答案：B2.2 数轴学习目标、重点、难点【学习目标】1. 明确数轴的三要素：原点、正方向和单位长度，会画出数轴.2. 能在数轴上表示已知数，会利用数轴比较两个有理数的大小.3. 理解相反数的概念，了解两个互为相反数的数在数轴上的位置关系，给出一个数，能求出它的相反数.【重点难点】数轴上点所表示的数的大小关系与相对位置的关系。知识概览
13、图第 8 页 新课导引我国的北方，一年四季的气温变化非常明显，利用如图 221 所示的温度计可以很方便地读出一天中每时每刻的温度.夏天热了，温度可达 37，冬天冷了，温度可达零下 20.通过温度计，你能得出一些数的表示方法的启示吗?当你学习完本节知识以后，你会有所收获的.教材精华知识点 1 数轴数轴的概念画一条水平直线，在直线上取一点表示 0(叫做原点)，选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到下面的数轴(如图 222 所示).数轴的概念包含三层含义：第一层含义是数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；第二层含义是数轴有三要素原点、正方向、单位长度，三者缺一不可；第三层含义是
14、原点的选定、正方向的选取、单位长度大小的确定，都是根据实际需要“规定”的.数轴的画法画一条直线(一般画成水平的直线).在直线上选取一点为原点，并用这点表示零(在原点下边标上“0”).确定正方向(一般规定向右为正)，用箭头表示出来.选取某一长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示为1，2，3，；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次表示为1，2，3，(如图 222 所示).说明：(1)原点的位置、单位长度的大小可根据实际情况适当选取.(2)确定单位长度时，根据实际情况，有时也可以每隔两个(或更多)单位长度取一点，从原点第 9 页 向右，依次表示为 2，4，6，；从原点向左
15、，依次表示为2，4，6，(如图 223 所示).(3)画数轴常见的几种错误：没有正方向；没有原点；单位长度不统一；负数的排列错误，如图 224 所示.数轴上的点与有理数的关系任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示.正有理数可以用原点右边的点表示，负有理数可以用原点左边的点表示，零用原点表示.如图 225 所示，从原点向右 1.4 个单位长度的 A 点表示 1.4，从原点向左 l 专个单位长21度的 B 点表示1 等.1知识点 2 相反数的概念相反数的几何定义：在数轴上原点的两旁，与原点距离相等的两个点所表示的数，互为相反数.如图 228 所示，4 与4 互为相反数，1 与1 互为相反数.在
16、数轴上，表示互为相反数的两点，位于原点的两侧，并且到原点的距离相等.相反数的代数定义：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。特别地，0 的相反数是 0.注意：(1)“0 的相反数是 0”是相反数定义的一部分，不能把它漏掉.(2)相反数是成对出现的，不能单独存在.例如，3 和+3 互为相反数，是说3 是+3 的相反数，+3 也是3 的相反数，单独的一个数不能说是相反数.(3)“只有符号不同”中的“只有”指的是除了符号不同以外其余完全相同(也就是以后学到第 10 页 的绝对值相同).不能理解为只要符号不同的两个数就互为相反数，例如2 和+3，虽然符
17、号不同，但它们不互为相反数.知识点 3 利用数轴比较有理数的大小数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大.正数大于 0，负数小于 0，正数大于负数.提示：因为正数都大于 0，反过来，大于 0 的数都是正数，所以我们可用 a0 表示 a 是正数；反之，知道 a 是正数也可以表示为 a0.同理， a a；(2)当 a 是负数时， a 是正数，因为负数小于正数，所以 a0，| a|b|，试用“ .3131312(2)因为 = = ， = = ， 2642694技巧 (1)比较两个分数的大小，先通分再比较.(2)要比较 a、 b 两个数的大小，还可以用下面的方法：若 a b0，则 ab；若 a b|5
18、|.(2)化简：(+3)3.因为负数小于 0，所以(+3) ，所以 3.14，所以0，故 B 在原点的右边； 由，| a|b|，故A 到原点的距离大于 B 到原点的距离，再依据相反数的概念，找出 a、 b 所对应的点.如图 232 所示，显然有 a0，且 b， c 互为相反数.解：由题意可知，| a|+b+c= a+0 a.点拨 绝对值相等符号相反的两个数互为相反数，其和为 0.4、分析：(1)求出记录的各数的和，由于向北为正，所以若和为正，则在 A 地北方；若和为负，则在 A 地南方.(2)要求汽车耗油量，与方向无关，需先求出所行驶的总路程，即求各数的绝对值的和.解：(1)(+18)+(9)
19、+(+7)+(14)+(6)+(+13)+(6)+(8)=(18+7+13)+(9)+(14)+(6)+(6)+(8)38+(43)=5(千米)，所以 B 地在 A 地的南方 5 千米处.(2)|+18|+|9|+|+7|+|14|+|6|+|+13|+|6|+|8|=18+9+7+14+6+13+6+881(千米)，由于汽车行驶每千米耗油 a 升，所以该天汽车共耗油 81a 升.点拨 本题的关键是将实际问题转化为数学问题，将求 B 地相对于 A 地的位置转化为求有理数的和，将求汽车的总路程转化为求各数的绝对值的和.体验中考1、解析：由 a+b0 得 a b，故 a， b 互为相反数. 答案：
20、C警示 本题很容易误选 B；认为一正一负相加得 0：第 24 页 2、解析：从数轴上可知：11，所以 a+b0.答案：A2.5 有理数的减法学习目标、重点、难点【学习目标】1.经历探索有理数减法法则的过程，理解有理数减法法则.2.能熟练进行有理数减法的运算，并灵活应用有理数减法解决实际问题，培养运算能力，增强应用数学的意识.3.通过把减法运算转化为加法运算，向学生渗透转化思想.【重点难点】1.有理数减法法则在运算中的应用.2.理解有理数减法的意义.知识概览图新课导引新疆属温带大陆性气候，气温日差较大是它的一大特点，以前就有“早穿棉袄午穿纱，守着火炉吃西瓜”的谚语.某一天，气温从零上 2，下降到
21、了零下 8，你能说出这一天的温度差是多少吗?对于有理数的减法，你有什么好的办法吗?让我们一起来学习有理数减法的有关知识吧!教材精华知识点 有理数减法法则有理数的减法运算可以转化为加法运算.有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即 a b a+( b).有理数减法运算的步骤：(1)根据有理数的减法法则，把减号变为加号，把减数变为它的相反数；(2)利用有理数的加法法则进行运算.第 25 页 注意：(1)在进行有理数减法运算时，关键是如何正确解决符号问题，使减法运算合理地转化为加法运算.应同时改变两个符号：一是运算符号，由“”变为“+”；二是减数的性质符号，由“+”变为“”或由“”变为
22、“+”.(2)在进行有理数减法运算时，减数与被减数不能互换，即减法没有交换律.课堂检测基础知识应用题1、计算下列各题.(1)721；(2)16(83)；(3) 3 ；6541(4)(32)(12)5(15).2、一个数是 18，另一个数比这个数的相反数小 3，求另一个数.综合应用题3、图 251 为某一矿井的示意图：以地面为基准， A 点的高度是+4.2m， B、C 两点的高度分别是15.6m 与30.5m. A 点比 B 点高多少? A 点比 C 点高多少？第 26 页 4、下表列出了国外几个大城市与北京的时差(带正号的数表示同一时刻比北京时间早的时数)：城市 纽约 巴黎 东京与北京的时差
23、13 7 +1(1)如果现在是北京时间上午 8：00，那么东京时间是多少?(2)如果小强在北京时间下午 15：00 打电话给远在纽约的姑姑，你认为合适吗?探索创新题5、计算： .20141534123第 27 页 体验中考1、计算26 的结果是( )A.8 B.8 C.4 D.42、某年哈尔滨市一月份的平均气温为18，三月份的平均气温为 2，则三月份的平均气温比一月份的平均气温高( )A.16 B.20 C.16 D.20学后反思附： 课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析：本题可直接结合有理数减法法则进行计算，先把减法转化为加法，然后按有理数加法法则进行运算.解：(1)7217+(21)14
24、.(2)16(83)16+83=99.(3) 3 =6541 6182365431654(4)(32)(12)5(15)(32)+(+12)+(5)+(+15)(32)+(5)+(+12)+(+15)37+2710.提示 进行有理数减法运算时，常将减法转化为加法，现根据有理数加法的法则进行运算.2、分析：另一个数是与第一个数的相反数相比，所以应先求出 18 的相反数18，然后，在18 的基础上减 3 即可.解：因为 18 的相反数是18，所以18321，即另一个数是21.点拨 直接利用有理数减法法则进行计算.3、分析：要求 A 点比 B 点高多少，就用 A 点高度减去 B 点高度即可.而用 A
25、 点高度减去 C 点第 28 页 高度，就可以求出 A 点比 C 点高多少.解： A 点比 B 点高：(+4.2)(15.6)(+4.2)+(+15.6)19.8(m). A 点比 C 点高：(+4.2)(30.5)(+4.2)+(+30.5)=34.7(m).答：点比 B 点高 19.8m， A 点比 C 点高 34.7m.点拨 求高度差，就是用较高点的高度减去较低点的高度.4、分析：这是一道与现实生活联系较紧密的应用题，要解决它，首先要弄懂时差的含义，其次能在具体问题中进行应用.通过审题发现：同一时刻，东京时间相当于在北京时间的基础上加上1 个小时；同理，同一时刻，纽约时间相当于在北京时间
26、的基础上减去 13 个小时.解：(1)因为 8+l9，所以北京时间上午 8：00，东京时间是上午 9：00.(2)不合适.因为 15132，所以在北京时间下午 15：00 时，纽约时间是凌晨 2：00，此时是睡眠时间，不适合通电话.点拨 正确理解时差的含义，并用有理数加减法的有关知识解决问题.5、分析：先判断绝对值号里面两数相减的正、负，再根据绝对值的意义化去绝对值符号.解：原式 402912021541321 点拨 化去绝对值符号后，运用互为相反数的两数之和为零去解决。体验中考1、解析：26(2)+(6)8. 答案：A2、解析：2(18)=2+18=20(). 答案：B2.6 有理数的加减混
27、合运算学习目标、重点、难点【学习目标】1.理解有理数加减混合运算统一成加法运算的意义，掌握有理数加减混合运算的方法，并能熟练运算.2.能根据具体问题，适当运用运算律简化运算.3.通过本节的学习培养学生发现问题、解决问题的能力和运算能力，体验数学活动的探索性和创造性，提高学习数学的兴趣.第 29 页 【重点难点】1.熟练进行有理数的混合运算,在运算中灵活地使用运算律.2.减法统一成加法再写成代数和的形式.知识概览图新课导引穆朗玛峰海拔大约是 8844m，吐鲁番盆地海拔大约是155m，问珠穆朗玛峰比吐鲁番盆地约高多少?小明：8844(155)8999(m)；小红：8844+1558999(m).算
28、法不一样，但结果一样，由此可见，减法可以转化为加法来计算.那么 8844(155)+(22)388+(5505)这个混合运算能否统一成几个数的加法呢?教材精华知识点 1 有理数的加减混合运算在进行有理数的加减混合运算时，可以通过有理数的减法法则，把减法转化为加法，也就是将有理数的加减混合运算统一为单一的加法运算.如：(8)7+(6)(5)(8)+(7)+(6)+(+5).在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式.如：(8)+(7)+(6)+(+5)876+5.和式的读法：如上面的例子，一是按这个式子表示的意义读作“负 8，负 7，负 6，正 5 的和”；二是
29、按运算意义读作“负 8 减 7 减 6 加 5”.省略括号的和的形式，可看作是有理数的加法运算.因此，可运用加法运算律来使计算简化，但要注意运算的合理性.在交换加数位置时，要连同前面的符号一起交换.在运用加法结合律时，有时把减号看做负号。知识点 2 有理数加减混合运算的方法和步骤第一步：运用减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法.第二步：运用加法法则、加法交换律、加法结合律进行简便运算.课堂检测基本概念题第 30 页 1、把(6)(3)+(2)(+6)(7)写成省略括号的和的形式是 ，读作 或 .2、计算：(0.5)(3 )+3.75(+8 ).4121基础知识应用题3、计算：|0.25|+(5.75)+(0.1)|(+0.5)|.综合应用题4、若| a|3，| b|=1，| c|5，且| a+b|=a+b，| a+c|( a+c)，求 a b+c 的值.探索创新题
