1、 收 稿 日 期 : 2006208208 修 回 日 期 : 20062102283 基 金 项 目 : 空 军 装 备 部 武 器 装 备 预 研 基 金 资 助 项 目(402050301)作 者 简 介 : 滕 鹏 (19812 ) , 男 , 湖 南 凤 凰 人 , 在 读 博 士 ,主 要 研 究 方 向 : 航 空 武 器 系 统 总 体 、 仿 真 与 控制 , 航 空 兵 作 战 任 务 规 划 等 。文 章 编 号 : 100220640 (2007) 0920115204三 维 航 迹 的 B 样 条 曲 线 拟 合 算 法滕 鹏 , 黄 俊 , 张 斌(空 军 工 程
2、大 学 工 程 学 院 , 陕 西 西 安 710038)摘 要 : 利 用 B 样 条 曲 线 的 几 何 性 质 , 解 决 了 飞 行 器 三 维 航 迹 拟 合 中 的 边 界 条 件 等 约 束 问 题 。 并 且 通 过 求 解 分 析 B 样 条 曲线 的 曲 率 与 飞 行 器 按 规 划 三 维 航 迹 飞 行 的 需 用 过 载 之 间 的 数 学 关 系 , 推 导 给 出 了 所 规 划 三 维 航 迹 的 可 飞 性 过 载 判 断 准 则 。 最后 , 通 过 具 体 算 例 对 某 型 飞 机 按 拟 合 三 维 航 迹 飞 行 的 需 用 过 载 进 行 实 时
3、 仿 真 并 判 断 该 拟 合 三 维 航 迹 的 可 飞 性 。关 键 词 : 航 迹 拟 合 ,B 样 条 曲 线 , 过 载 判 断 准 则 , 过 载 仿 真中 图 分 类 号 : V 249, TB 115 文 献 标 识 码 : AStudy on the Three-D im en sional Trajectory Optim ization by Usingthe M ethod of B-Spline Curve F ittigT EN G2Peng, HUAN G2Jun, ZHAN G2B in(E ng ineering Colleg e, A ir F orce
4、E ng ineering U niversity , X i an 710038, Ch ina)Abstract: T h is paper u ses the m ethod of B 2Sp line cu rvefittig to op tim ize the th ree2dim en sionaltrajecto ry of a certain figh ter p lane1 It m akes u se of the advan tages of B 2Sp line to so lve the p rob lem s w h ichoccu r w hen the lim
5、it condition s of track are given1 By comparing the cu rvatu re of B 2Sp line w ith theoverloading needed by the fligh t track, th is paper deduces a m athem atic model as the overloading ru le offlying craft needed1 T h rough an en samp le, it sim u lates the overloading of certain k ind of aircraf
6、t flyingalong the tridim en sional trajecto ry cu rvefitted by u sing th is m ethod1Key words: cu rvefittig of trajecto ry,B 2Sp line, estim ation ru le of overloading, sim u lation of overloading引 言有 效 的 航 迹 规 划 应 该 是 分 层 、 分 段 、 分 区 域 地 将多 种 规 划 方 法 融 合 , 根 据 航 路 规 划 的 要 求 , 有 机 地 结合 各 种 算 法 来 完 成
7、 整 个 航 路 规 划 3 。 为 确 保 所 规 划的 航 迹 满 足 动 力 约 束 、 边 界 限 制 和 过 载 限 制 等 要 求 ,还 需 要 对 航 迹 进 行 拟 合 。 关 于 曲 线 拟 合 有 很 多 种 方法 1 : 最 小 二 乘 法 , 高 次 多 项 式 法 ,B 样 条 曲 线 法 等 。本 文 引 入 B 样 条 曲 线 来 对 由 给 定 导 航 点 的 待 优 化 折线 段 航 迹 进 行 逼 近 、 插 值 , 并 判 断 其 可 飞 性 。1 B 样 条 曲 线 的 概 念 和 性 质B 样 条 曲 线 法 是 利 用 光 滑 的 参 数 曲 线 段
8、 逼 近 折线 多 边 形 的 一 种 数 学 方 法 。 其 曲 线 形 状 决 定 于 B 特征 多 边 形 , 除 了 具 有 直 观 性 、 凸 包 性 、 局 部 性 和 保 凸性 之 外 , 还 具 有 一 些 其 他 的 优 越 之 处 : 局 部 修 改 只影 响 邻 近 的 几 段 , 不 会 牵 一 动 百 ; 对 特 征 多 边 形 更加 逼 近 , 便 于 控 制 ; 多 项 式 的 次 数 低 , 计 算 简 单 。 B样 条 曲 线 的 上 述 众 多 优 点 , 使 其 在 工 业 产 品 的 外 形设 计 和 曲 线 拟 合 中 得 到 广 泛 的 应 用 。1
9、11 B 样 条 曲 线 与 B 特 征 多 边 形定 义 给 定 m + n + 1 个 空 间 向 量 bk (k = 0, 1, ,m + n) , 称 n 次 参 数 曲 线V o l. 32, N o. 9Sep tem ber, 2007 火 力 与 指 挥 控 制F ire Contro l and Comm and Contro l 第 32 卷 第 9 期2007 年 9 月P i, n (t) = nl= 1 bi+ lF l, n(t) (其 中 t 为 参 数 , 0 t 1)(1)为 n 次 B 样 条 的 第 i 段 曲 线 (i= 0, 1, 2, , m )。
10、它 的全 体 称 为 n 次 B 样 条 曲 线 , 相 应 地 , 如 果 依 次 用 线 段连 接 bi+ l (l= 0, 1, 2, , ) 中 相 邻 两 个 向 量 的 终 点 , 所组 成 的 多 边 形 称 为 样 条 在 第 i 段 B 特 征 多 边 形 。 本 文称 作 B 样 条 曲 线 的 地 方 仅 仅 讨 论 参 数 轴 上 的 分 割 为等 距 的 情 况 , 而 实 际 上 , 只 要 节 点 (或 称 作 控 制 点 )间隔 较 均 匀 就 可 以 了 , 均 视 为 等 距 节 点 的 情况 1 。 112 三 次 B 样 条 曲 线正 如 大 多 数 高
11、 次 样 条 函 数 那 样 容 易 出 现 龙 格 现象 , 高 于 三 次 的 B 样 条 曲 线 在 计 算 几 何 中 一 般 是 不用 的 , 实 际 应 用 最 多 的 三 次 B 样 条 曲 线 的 矩 阵 形 式如 下 1 :P (t) = 3l= 0 blF l, 3(t) =16t3t2t1- 1 3 - 3 13 - 6 3 0- 3 0 3 01 4 1 0b0b1b2b30 t 1 (2)如 果 设 曲 线 上 一 点 (x , y ) , B 特 征 多 边 形 上 相邻 四 个 顶 点 的 坐 标 分 别 为 (x 0, y 0, z 0)、 (x 1, y 1,
12、 z 1)、( x 2, y 2, z 2)、 (x 3, y 3, z 3) ; 则 由 四 个 顶 点 所 确 定 的 三次 B 样 条 曲 线 的 函 数 表 达 式 写 成 参 数 方 程 形 式 如下 :x= 16 (- t3+ 3t2- 3t+ 1) x0+ (3t3- 6t2+ 4)x1+ (- 3t3+ 3t2+ 3t+ 1)x2+ t2x3 y= 16 (- t3+ 3t2- 3t+ 1) y0+ (3t3- 6t2+ 4)y1+ (- 3t3+ 3t2+ 3t+ 1)y2+ t2y3 z= 16 (- t3+ 3t2- 3t+ 1) z0+ (3t3- 6t2+ 4)z1+
13、 (- 3t2+ 3t2+ 3t+ 1)z2+ t2z3 0 t 1 (3)它 的 端 点 具 有 以 下 性 质 :P 0= 16 (b0+ 4b1+ b2) , P (1) = 16 (b1+ 4b2+ b3)P (0) = 12 (b2- b0) , P (1) = 12 (b3- b1)P “ (0) = (b2- b1) + (b0- b1) , P “ (1) = (b3+ b2) + (b1- b2)(4)如 图 1 所 示 。 三 次 B 样 条 曲 线 段 的 起 点 p (0)落在 $b0b1b2 的 中 线 b1b13 上 离 b1 的 1 3 处 。 在 这 点 的 切
14、向 量 P (0) 平 行 于 $b0b1b2 的 底 边 b0b2, 长 度 为 其 一半 。 在 这 点 的 二 阶 导 数 P “ (0)等 于 中 线 向 量 b1b13 的二 倍 。 终 点 的 情 况 同 起 点 的 相 对 称 。 如 果 B 特 征 多边 形 添 加 一 个 顶 点 , 则 决 定 下 一 段 的 三 次 B 样 条 曲线 。 由 于 上 一 段 的 终 点 信 息 同 下 一 段 的 始 点 信 息 仅仅 与 $b0b1b2 有 关 , 而 且 它 们 的 位 置 向 量 、 切 向 量 与二 阶 导 向 量 都 分 别 相 等 。 这 证 明 了 三 次 B
15、 样 条 曲 线的 C 2 连 续 性 。2 规 划 航 迹 的 一 般 要 求规 划 航 迹 应 该 满 足 的 三 点 一 般 要 求 : 动 力 约束 条 件 , 飞 行 器 速 度 、 加速 度 连 续 变 化 并 且 不 超过 飞 行 器 的 最 大 值 , 整个 航 迹 的 长 度 亦 要 小 于飞 行 器 的 最 大 航 程 ; 边 界 限 定 条 件 , 比 如 初始 点 位 置 、 初 始 点 速 度方 向 、 终 点 位 置 、 终 点 速度 方 向 等 等 ; 过 载 约 束 条 件 , 最 主 要 就 是 航 迹 的 最大 曲 率 半 径 满 足 过 载 要 求 。 其
16、 中 , 过 载 约 束 和 航 程 问题 将 在 后 一 节 中 详 细 叙 述 。211 飞 行 器 速 度 和 加 速 度 要 求为 满 足 飞 行 器 速 度 和 加 速 度 连 续 变 化 的 要 求 ,航 迹 曲 线 应 该 满 足 如 下 四 项 要 求 : 二 阶 几 何 连 续(简 称 曲 率 连 续 , 记 作 C 2) ; 不 存 在 奇 点 和 多 余 拐点 ; 曲 率 变 化 较 小 ; 应 变 能 较 小 。 本 文 采 用 三 次B 样 条 曲 线 , 正 是 因 为 其 一 、 二 阶 导 数 连 续 (证 明 从略 ) , 所 以 能 够 满 足 上 述 四
17、项 要 求 。212 航 迹 拟 合 的 边 界 限 制 问 题最 主 要 的 边 界 问 题 有 如 下 两 个 。 拟 合 航 迹 要通 过 发 射 点 与 目 标 点 ; 拟 合 航 迹 的 始 端 和 末 端 的切 向 量 (即 速 度 方 向 )要 满 足 初 始 发 射 角 和 目 标 进 入角 的 限 制 。本 文 结 合 三 次 B 样 条 曲 线 的 端 点 性 质 给 出 了一 种 新 的 边 界 条 件 确 定 方 法 , 描 述 如 下 : 所 给 定 特 征多 边 形 (如 图 2 所 示 )顶 点 为 bi (i= 0, 1, n) , 它 们 分别 是 为 了 有
18、 效 地 回 避 各 种 威 胁 而 采 取 相 应 的 算 法 所获 得 的 航 迹 导 航 点 (或 称 作 路 径 节 点 、 控 制 点 )。 其 中611 (总 第 32- 1126) 火 力 与 指 挥 控 制 2007 年 第 9 期b0 为 发 射 点 或 起 飞 点 ; b1 为 初 始 导 航 点 ; bn 为 目 标点 ; bn- 1为 目 标 进 入 导 航 点 。希 望 在 航 迹 的 拟 合 中 , 相 应 的 B 样 条 曲 线 以 b0为 始 点 且 切 于 b0b1, 以 bn 为 终 点 且 切 于 bn- 1bn。 为 此 ,只 要 在 b0 和 bn 点
19、 各 增 加 两 个 顶 点 b- 2、 b- 1和 bn+ 1、bn+ 2, 使 得 : b- 2、 b- 1与 发 射 点 b0 重 合 , bn+ 1、 bn+ 2与 目 标点 重 合 。 此 时 边 界 点 的 曲 线 切 向 量 满 足 速 度 要 求 , 并且 , 若 想 要 曲 线 通 过 任 意 节 点 (控 制 点 ) 只 需 在 此 节点 上 增 加 重 合 的 两 个 节 点 (控 制 点 )。 取 bi (i= - 2, , n+ 2) 作 为 B 特 征 多 边 形 顶 点 , 这 样 拟 合 出 来 的B 样 条 曲 线 就 是 满 足 “ 在 边 界 上 满 足
20、插 值 条 件 , 而其 余 部 分 则 是 逼 近 ” 的 端 点 条 件 要 求 的 曲 线 。3 规 划 航 迹 的 可 飞 性 过 载 检 验航 迹 规 划 还 要 考 虑 飞 行 器 机 动 性 能 的 限 制 , 以确 保 规 划 航 迹 的 可 飞 性 。 关 于 飞 行 器 规 划 航 迹 的 可飞 行 检 验 涉 及 到 诸 多 方 面 , 限 制 飞 行 器 飞 行 性 能 的过 载 、 迎 角 、 侧 滑 角 、 舵 偏 角 这 四 个 参 数 是 非 常 重 要的 因 素 , 而 后 三 个 因 素 都 与 过 载 有 直 接 关 系 , 因 此 ,对 飞 行 器 飞
21、行 参 数 的 检 验 将 集 中 在 过 载 检 验 上 。311 航 迹 曲 率 半 径 与 法 向 过 载 的 关 系建 立 这 一 关 系 所 要 用 到 的 坐 标 系 主 要 有 : 地面 坐 标 系 O D x D y D zD ; 航 迹 坐 标 系 (又 称 弹 道 坐 标系 )O x y z; 气 流 坐 标 系 (又 称 速 度 坐 标 系 )O qx qy qz q。其 中 , 坐 标 系 的 详 细 定 义 概 不 赘 述 。 将 飞 机 看 成 刚 体并 假 设 A= 0、 B= 0、 nz q = 0, 则 飞 机 航 迹 可 分 解 为 铅垂 面 运 动 和 O
22、 x z 平 面 运 动 两 部 分 。 铅 垂 面 内 和 O x z平 面 内 航 迹 的 曲 率 半 径 与 法 向 过 载 的 关 系 式 分 别 如下 2 :R QCM = dsdH= VH =V 2(ny - g co sH) =V 2(ny qg co sCV - g co sH)R OX Z = - d sd7v- V7aV= V2co sHnz =V 2co sHny q sinCV(5)其 中 , V和 ny q分 别 为 气 流 坐 标 系 O qx qy qz q 中 的飞 机 速 度 矢 量 Oy q 和 轴 方 向 过 载 , CV 和 H分 别 为 速度 倾 斜
23、角 和 航 迹 (或 弹 道 )倾 角 。 由 上 式 可 知 , 当 过 载给 定 , 随 着 速 度 的 增 加 曲 率 半 径 也 增 加 ; 若 飞 行 速 度给 定 , 则 法 向 过 载 越 大 , 曲 率 半 径 就 越 小 。312 三 次 B 样 条 曲 线 的 曲 率 和 弧 长每 一 段 (第 i 段 ) 三 次 B 样 条 曲 线 参 数 方 程 记作 1 :x = U(t)y = (t)z = K(t)0 t 1, 其 中U(t)= 16 (- t3+ 3t2- 3t+ 1)x i+ (3t3- 6t2+ 4)x i+ 1+ (- 3t3+ 3t2+ 3t+ 1)x
24、i+ 2+ t2x i+ 3 (t)= 16 (- t3+ 3t2- 3t+ 1)y i+ (3t3- 6t2+ 4)y i+ 1+ (- 3t3+ 3t2+ 3t+ 1)y i+ 2+ t2y i+ 3 K(t)= 16 (- t3+ 3t2- 3t+ 1)z i+ (3t3- 6t2+ 4)z i+ 1+ (- 3t3+ 3t2+ 3t+ 1)z i+ 2+ t2zi+ 3 (6)并 且 , i= - 2, 0, 1, , n- 1。 根 据 三 次 B 样 条 曲线 参 数 方 程 求 导 得 :y = dyd x = (t)(t) = d t2+ et+ fa t2+ bt+ cy “
25、= d2yd x 2 =U (t) “ (t) - U“ (t) (t)U (t) 2 =(bd - ae) t2+ 2 (d c- af ) t+ (ce- bf )(a t2+ bt+ c) 2其 中 a= - 3x i+ 9x i+ 1- 9x i+ 2, b= 6x i-12x i+ 1+ 6x i+ 2+ 2x i+ 3, c= - 3x i+ 3x i+ 2;d = - 3z i + 9z i+ 1 - 9z i+ 2, e= 6z i - 12z i+ 1 + 6z i+ 2 +2z i+ 3, f = - 3z i+ 3z i+ 2;( 或 , d = - 3y i + 9y
26、i+ 1 - 9y i+ 2, e = 6y i - 12y i+ 1 +6y i+ 2+ 2y i+ 3, f = - 3y i+ 3y i+ 2。 )可 得 曲 线 (第 i 段 ) 在 铅 垂 面 内 的 (或 者 O x z 平面 内 的 )曲 率 公 式 以 及 弧 长 公 式 分 别 如 下 :k iQCM , iOX Z = y “ (1+ y 2) 3 2=(bd - ae) t2+ 2 (d c- af ) t+ (ce- bf )(a t2+ bt+ c) 2 1 +(d t2+ et+ fa t2+ bt+ c )2 3 2 (0 t 1) (7)S i= t0 U (t
27、)2+ (t) 2+ K (t) 2d t (0 t 1) (8)313 航 迹 可 飞 性 的 判 断 条 件直 观 地 看 , 三 次 B 样 条 曲 线 的 整 个 弧 长 就 是 航迹 的 整 个 航 程 (比 较 容 易 求 出 ) , 并 且 拟 合 航 迹 要 求曲 线 上 每 一 点 的 曲 率 半 径 应 该 大 于 等 于 飞 行 器 最 小转 弯 半 径 , 这 与 用 过 载 来 判 断 是 等 价 的 。铅 垂 面 内 令 k iQCM = 1 R QCM , O x z 平 面 内 令 k iOX Z= 1 R OX Z , 联 立 式 (6) 式 (8)可 导 出
28、 需 用 过 载 :ny q需 用 = V 2k iQCM + g co sH) 2+ V 4k 2iOX Z co s2H (9)考 虑 过 载 裕 量 $n, 过 载 检 验 的 判 断 标 准 为 :ny q需 用 + $n ny q可 用 (10)当 满 足 上 述 判 断 条 件 时 , 航 迹 可 飞 ; 若 不 满 足 ,进 一 步 分 析 式 (9) 可 知 , 可 以 采 取 如 下 措 施 : 修 正航 迹 中 部 分 需 用 过 载 过 大 的 控 制 点 , 使 得 部 分 航 迹曲 率 减 小 , 该 部 分 航 迹 需 用 过 载 降 低 ; 适 当 降 低 飞机
29、速 度 , 则 在 转 弯 半 径 不 变 的 情 况 下 使 得 需 用 过 载711滕 鹏 , 等 : 三 维 航 迹 的 B 样 条 曲 线 拟 合 算 法 (总 第 32- 1127) 降 低 , 从 而 保 证 其 航 迹 的 可 飞 行 。4 算 例 分 析如 图 3, 某 型 战 斗 机 , 作 战 半 径 r= 1 200km , 最 大可 用 过 载 为 910g, 最 大 飞 行 马 赫 数 为 118, 在 “ 飞 行 距离 权 值 Xd = 017; 生 存 概 率 权 值 Xt = 013” 作 战 条 件下 , 待 优 化 航 迹 的 给 定 导 航 点 (节 点
30、、 控 制 点 序 号 为 3 14) 如 图 中 梅 花 点 所 示 , 导 航 点 在 O D x D yD zD (地面 ) 坐 标 系 中 的 坐 标 依 次 为 : 510, 013, 210 , 612,016, 310 , 617, 110, 415 , 716, 113, 516 , 910,115, 519 , 1014, 114, 613 , 1019, 112, 618 , 1111, 111, 713 , 1114, 1105, 8 , 1315, 019,818 , 1412, 0175, 914 , 15, 016, 10 , (单 位 :10km )。 假 设 该
31、 飞 机 作 匀 速 机 动 ,V 1= 018M a, V 2=112M a,V 3= 118M a。 试 用 三 次 B 样 条 曲 线 方 法 对 其三 维 航 迹 进 行 拟 合 并 计 算 航 程 , 分 别 计 算 采 用 不 同速 度 飞 行 时 的 实 际 需 用 过 载 并 进 行 该 航 迹 的 可 飞 性判 断 。步 骤 一 : 根 据 B 样 条 曲 线 算 法 , 首 先 要 增 加 分 别与 发 射 点 3 和 目 标 点 14 重 合 的 四 个 控 制 点 , 即 控 制点 1、 2: 510, 013, 210 , 510, 013, 210 ; 控 制 点
32、15、16: 15, 016, 10 , 15, 016, 10 。步 骤 二 : 根 据 式 (6) 和 式 (8) , 用 M A TLAB 编 程对 给 定 导 航 点 的 航 迹 进 行 拟 合 并 计 算 其 航 程 , 如 图 3所 示 。 经 计 算 得 总 航 程 S = 13511km , 远 小 于 战 斗 机作 战 半 径 。步 骤 三 : 根 据 式 (7) 和 式 (9) , 用 M A TLAB 编 程分 别 计 算 航 迹 实 时 的 曲 率 和 需 用 过 载 , 并 将 值 存 储于 曲 率 矩 阵 和 需 用 过 载 矩 阵 , 然 后 找 出 需 用 过
33、载 最大 值 n= m ax (m ax ( ny q需 用 ) )。图 3 地 面 坐 标 系 中 的 三 维航 迹图 4 V = 118M a 时 航 迹 的 过载 变 化 情 况步 骤 四 : 过 载 分 析 以 及 相 应 对 策 。 对 应 不 同 的 速度 V1、 V2 和 V3, 分 别 从 需 用 过 载 矩 阵 中 找 出 整 个 航迹 中 需 用 过 载 的 最 大 值 (出 现 在 控 制 点 9 10 之 间的 航 迹 上 ) 为 ny q需 用 m ax1 = 2108g、 ny q需 用 m ax2 = 3156g 和ny q需 用 m ax3= 6155g。 考
34、虑 一 定 的 过 载 余 量 , 若 采 用 Vy1、Vy2, 所 拟 合 的 航 迹 满 足 可 飞 性 要 求 ; 若 采 用 Vy3, 最 大需 用 过 载 稍 稍 偏 大 , 为 保 证 航 迹 的 可 飞 性 , 可 适 当 降低 飞 行 速 度 , 例 如 V 3 降 低 至 116M a 时 , 最 大 需 用 过载 减 小 为 5145g。图 5 航 迹 在 地 面 坐 标 系 中OX Z 平 面 的 投 影图 6 航 迹 在 地 面 坐 标 系 中OX Y 平 面图 7 不 同 速 度 对 应 的 过 载 曲 线5 结 束 语从 拟 合 结 果 可以 看 出 , 拟 合 航
35、 迹 在边 界 满 足 插 值 条 件 ,其 余 部 分 非 常 逼 近于 待 优 化 的 各 个 导航 点 之 间 的 折 线 段 ,有 效 地 回 避 了 各 种 威 胁 (将 敌 方 地 面 对 空 导 弹 、 高 炮等 因 素 的 影 响 都 统 一 转 化 成 地 形 跟 随 )。 在 一 定 意 义上 实 现 了 飞 行 器 地 形 跟 随 、 地 形 回 避 和 威 胁 回 避( T errain Fo llow ing T errain A vo idance T h reatA vo idance: T F TA TA )条 件 下 的 三 维 航 迹 拟 合 。参 考 文
36、献 :1 Sho ich iro 1 基 于 M A TLAB 的 数 值 分 析 (第 二 版 )M 1 北 京 : 电 子 工 业 出 版 社 , 2002.2 徐 明 友 , 丁 松 滨 1 飞 行 动 力 学 M 1 北 京 : 科 学 出 版社 , 2003.3 马 向 玲 , 叶 文 , 范 洪 达 1 飞 机 航 路 规 划 决 策 系 统 研究 与 开 发 J 1 电 光 与 控 制 , 2004, 11 (2): 65267.4 高 晖 1 无 人 机 航 路 规 划 研 究 J 1 南 京 航 空 航 天 大学 学 报 , 2001, 33 (4): 1352138 .5
37、张 海 , 周 德 云 , 佟 明 安 1 对 地 攻 击 的 路 线 规 划 方 法J 1 电 光 与 控 制 , 1999, 6 (1): 37242.6 徐 克 虎 , 沈 春 林 1 综 合 T F TA 飞 行 的 航 迹 控 制 与 仿真 J 1 南 京 航 空 航 天 大 学 学 报 , 2001, 33 (2): 1222125.7 高 攀 , 沈 春 林 , 李 清 1 飞 行 器 低 空 突 防 中 的 威 胁航 线 优 化 技 术 研 究 J 1 宇 航 学 报 , 2001, 22 (3): 62268.811 (总 第 32- 1128) 火 力 与 指 挥 控 制 2007 年 第 9 期
