1、贵 州 大 学 复 变 函 数 与 积 分 变 换 课 程 标 准一 、 课 程 教 学 的 目 标 和 任 务 总 体 目 标复变函数与积分变换是微积分学在复数域上的推广和发展，通过复变函数论的学习能使学生对微积分学的某些内容加深理解，提高认识。复变函数论在联系和指导中学数学教学方面也有重要的作用，学生通过复变函数论的学习对中学数学的某些知识有比较透彻的理解与认识，从而增加做好中学数学教育工作的能力。熟练掌握复变函数的基本理论和基本方法，对解析函数、柯西积分定理、柯西积分公式、解析函数的泰勒展开与罗朗展开、留数理论等有较深入的理解，并能用来解决简单的实际问题。1、 知 识 目 标 使学生能掌
2、握复数及复变函数的相关概念，在此基础上利用复变函数的性质和有关定理，开展复变函数的微积分计算，并将复变函数进行级数表示，解决共形映射的相关问题，并能够在复变函数的基础上开展傅里叶变换和拉普拉斯变换。2、 能 力 目 标 培养学生在掌握复变函数与积分变换的基础概念、基本定理和基本公式与方法的基础上，利用复变函数与积分变换这一种有力工具，在流体力学、自动控制等工程技术领域进行相关的分析计算，来解决工程实践问题。3、 素 质 养 成 目 标课 程 名 称 课 程 代 码开 课 学 院 课 程 性 质总 学 时 数 周 学 时 数开 设 学 期 编 写 时 间编 写 人 审 核 人适 用 专 业 先
3、修 课 程通过教学与练习，在使学生理论知识得到巩固和升华的同时，培养学生严谨求实的科学态度，发现和解决问题的能力，培养学生团队协作精神以及沟通交流、自我学习的能力。二 、 课 程 内 容 和 要 求根 据 课 程 目 标 和 涵 盖 的 工 作 任 务 要 求 ， 确 定 课 程 内 容 和 要 求 ， 对 课 程 内 容 和 要 求作 如 下 安 排 。序 号 教 学 内 容 概 述 能 力 要 求 （ 教 学 目 标 ） 学 时 安 排第 一 章 复 数 与 复 变 函 数1.熟 练 掌 握 复 数 的 模 与 辐 角 、 复 数 的 三种 表 示 、 复 数 的 基 本 性 质 ， 掌
4、握 复 数 的 乘 幂与 方 根 的 求 法 ， 会 用 复 数 表 示 平 面 图 形 ， 会用 复 数 解 决 一 些 简 单 的 几 何 问 题 。2、 理 解 平 面 点 集 的 几 个 基 本 概 念 ， 理 解区 域 与 约 当 曲 线 的 概 念 ， 了 解 约 当 定 理 ， 会区 分 单 连 通 区 域 与 多 连 通 区 域 。3、 充 分 理 解 复 变 函 数 、 多 值 函 数 、 反 函数 等 概 念 ， 理 解 复 变 函 数 的 几 何 表 示 ， 会 求简 单 平 面 图 形 的 变 换 象 （ 或 原 象 ） ， 理 解 复变 函 数 的 极 限 ， 掌 握
5、 极 限 的 等 价 刻 划 定 理 ，理 解 复 变 函 数 的 连 续 性 及 其 等 价 刻 划 定 理 ，熟 悉 有 界 闭 集 上 连 续 函 数 的 性 质 。4、 了 解 复 球 面 ， 理 解 无 穷 远 点 与 扩 充 复平 面 。8第 二 章 解 析 函 数1、 理 解 复 变 函 数 的 导 数 的 概 念 ， 掌 握 解析 函 数 的 定 义 及 其 简 单 性 质 ， 熟 练 掌 握 解 析函 数 的 等 价 刻 划 定 理 特 别 是 柯 西 -黎 曼 条 件 。2、 熟 练 掌 握 指 数 函 数 的 定 义 与 主 要 性 质 ，掌 握 三 角 函 数 的 定
6、义 与 基 本 性 质 ， 了 解 双 曲函 数 定 义 与 基 本 性 质 。3、 掌 握 幂 函 数 与 指 数 函 数 的 变 换 性 质 与单 叶 性 区 域 ， 理 解 并 逐 步 掌 握 通 过 限 制 幅 角或 割 破 平 面 的 方 法 求 根 式 函 数 和 对 数 函 数 的单 值 解 析 分 支 ， 了 解 一 般 幂 函 数 与 一 般 指 数函 数 ， 理 解 并 掌 握 求 具 有 多 个 支 点 的 多 值 函8数 的 支 点 从 而 使 其 能 分 出 单 值 解 析 分 支 的 方法 ， 会 由 已 知 单 值 解 析 分 支 的 初 值 计 算 终 值 ，了
7、 解 反 三 角 函 数 与 反 双 曲 函 数 。第 三 章 复 变 函 数 的 积 分1、 理 解 复 变 函 数 的 积 分 的 定 义 ， 掌 握 复积 分 的 性 质 与 计 算 方 法 。2、 掌 握 柯 西 积 分 定 理 及 其 等 价 形 式 和 两种 推 广 形 式 以 及 它 们 的 应 用 ， 掌 握 不 定 积 分特 别 是 由 变 上 限 积 分 确 定 的 单 值 解 析 函 数 ，会 用 牛 顿 -莱 布 尼 兹 公 式 计 算 复 定 积 分 。3、 熟 练 掌 握 柯 西 积 分 公 式 与 高 阶 导 数 公式 ， 掌 握 解 析 函 数 的 平 均 值
8、定 理 、 无 穷 可 微性 以 及 它 的 第 二 个 等 价 刻 划 定 理 ， 掌 握 柯 西不 等 式 、 刘 维 尔 定 理 、 摩 勒 拉 定 理 。4、 掌 握 调 和 函 数 与 共 轭 调 和 函 数 的 概 念 ，理 解 解 析 函 数 与 调 和 函 数 的 关 系 ， 掌 握 由 解析 函 数 的 实 部 （ 或 虚 部 ） 求 虚 部 （ 或 实 部 ）的 两 种 方 法 。8第 四 章 解 析 函 数 的 级 数 表 示1、 理 解 复 数 项 级 数 敛 散 性 的 定 义 ， 掌 握其 收 敛 性 的 两 个 刻 划 定 理 ， 掌 握 复 级 数 的 绝对 收
9、 敛 性 及 绝 对 收 敛 复 级 数 的 性 质 ， 掌 握 关于 复 变 函 数 项 级 数 的 柯 西 一 致 收 敛 准 则 与 优级 数 准 则 ， 熟 悉 复 连 续 函 数 项 级 数 的 性 质 ，了 解 复 变 函 数 项 级 数 的 内 闭 一 致 收 敛 性 ， 熟练 掌 握 关 于 解 析 函 数 项 级 数 的 维 尔 斯 特 拉 斯定 理 。2、 掌 握 阿 贝 尔 定 理 ， 充 分 理 解 幂 级 数 的敛 散 性 ， 熟 练 掌 握 幂 级 数 收 敛 半 径 的 求 法 ，掌 握 幂 级 数 和 函 数 的 解 析 性 。3、 掌 握 泰 勒 定 理 ，
10、理 解 幂 级 数 的 和 函 数在 收 敛 圆 周 上 的 情 况 ， 掌 握 一 些 初 等 函 数 的泰 勒 展 开 式 ， 会 用 间 接 法 把 解 析 函 数 展 开 为幂 级 数 。4、 掌 握 解 析 函 数 零 点 的 概 念 及 具 有 零 点的 解 析 函 数 的 表 达 式 ， 掌 握 解 析 函 数 零 点 的孤 立 性 与 解 析 函 数 的 唯 一 性 定 理 ， 熟 练 掌 握最 大 模 原 理 及 其 推 论 。6第 五 章 留 数 及 其 应 用1、 理 解 罗 朗 级 数 、 孤 立 奇 点 可 去 奇 点 、极 点 、 本 性 奇 点 的 概 念 。2、
11、 熟 练 掌 握 求 函 数 在 孤 立 奇 点 去 心 邻 域上 的 罗 朗 展 式 。3、 熟 练 掌 握 判 断 奇 点 类 别 的 方 法 。4、 理 解 留 数 的 定 义 。5、 熟 练 掌 握 计 算 留 数 的 方 法 。6、 理 解 留 数 基 本 定 理 ， 会 用 留 数 理 论 计算 积 分 。4第 六 章 共 形 映 射1、 理 解 导 数 的 几 何 意 义 及 保 形 映 照 、 分式 线 性 映 照 、 保 圆 性 、 对 称 点 等 概 念 。2、 掌 握 分 式 线 性 映 照 的 性 质 和 几 个 典 型映 射 。3、 理 解 W=Zn 、 W= 、 W
12、=ez n、 W= Z 的 映 射 性 质 。4、 会 求 将 区 域 D 映 射 为 G 的 保 形 映 射 。2第 八 章 傅 里 叶 变 换1、 理 解 傅 立 叶 级 数 、 傅 氏 积 分 与 傅 氏 变换 的 概 念 ， 并 能 够 进 行 求 解 。2、 掌 握 单 位 脉 冲 函 数 的 概 念 和 性 质 ， 能够 对 单 位 脉 冲 函 数 开 展 傅 立 叶 变 换 。3、 掌 握 傅 立 叶 变 换 的 基 本 性 质 和 卷 积 定理 。6第 九 章 拉 普 拉 斯 变 换1、 理 解 拉 普 拉 斯 变 换 的 概 念 。2、 掌 握 拉 普 拉 斯 线 性 与 相
13、 似 性 质 、 微 分性 质 、 延 迟 与 位 移 性 质 ， 熟 悉 卷 积 定 理 ， 能够 开 展 卷 积 计 算 。3、 掌 握 拉 普 拉 斯 逆 变 换 。4、 能 够 利 用 拉 普 拉 斯 变 换 解 决 工 程 实 践问 题 。6合 计 48三 、 课 程 实 施 和 建 议1 教 学 方 法 和 手 段根 据 本 课 程 的 教 学 目 标 要 求 和 课 程 特 点 以 及 有 关 学 情 ， 选 择 适 合 于 本 课 程 的 最 优化 教 学 法 。 综 合 考 虑 教 学 效 果 和 教 学 可 操 作 性 等 因 素 ， 本 课 程 选 用 任 务 教 学 法
14、 。2. 评 价 方 式课 程 考 核 成 绩 以 百 分 制 计 算 ， 由 平 时 成 绩 与 期 末 成 绩 构 成 ， 平 时 成 绩 占 课 程 总 成绩 的 70%， 期 末 成 绩 占 总 成 绩 的 30%， 两 者 合 计 即 为 课 程 学 习 成 绩 ， 60 分 为 及 格 。平 时 成 绩 考 核 方 式 和 要 求 ：（ 1） 平 时 考 勤 （ 20%）旷 课 1 次 扣 1 分 ； 请 假 3 次 扣 1 分 ； 迟 到 或 者 早 退 3 次 扣 1 分 。（ 2） 平 时 作 业 （ 30%）每 次 作 业 质 量 按 如 下 等 级 计 分 ： A+:10
15、0 分 ， A:95 分 ， A-:90 分 ， B： 85 分 ，B-： 80 分 ， C： 75 分 ， C-： 70 分 ,D(未 交 )： 0 分 。平 时 作 业 分 数 =（ 作 业 总 分 作 业 次 数 ） 平 时 作 业 所 占 比 例 。 作 业 次 数 6 次 以 上 ， 平 均 两 周 一 次 。（ 3） 阶 段 测 验 （ 20%）阶 段 测 验 2 次 ， 每 次 成 绩 按 百 分 制 计 。阶 段 测 验 分 数 =（ 测 验 总 分 测 验 次 数 ） 阶 段 测 验 所 占 比 例 。（ 4） 期 末 考 试 （ 30%）方 式 和 要 求 ：考 核 方 式
16、 ： 笔 试 ， 闭 卷 。考 试 时 间 ： 120 分 钟 。期 末 考 试 针 学 期 所 学 的 知 识 ， 基 本 覆 盖 该 学 期 所 学 内 容 。3. 教 学 资 源 基 本 要 求教 材李 红 ， 谢 松 法 复 变 函 数 与 积 分 变 换 北 京 ： 高 等 教 育 出 版 社 ，2013.11（ 第 四 版 ）4、 单 元 设 计第一章 复数与复变函数【 知 识 及 能 力 目 标 】1、 熟 练 掌 握 复 数 的 模 与 辐 角 、 复 数 的 三 种 表 示 、 复 数 的 基 本 性 质 ， 掌 握 复 数 的 乘幂 与 方 根 的 求 法 ， 会 用 复
17、数 表 示 平 面 图 形 ， 会 用 复 数 解 决 一 些 简 单 的 几 何 问 题 。2、 理 解 平 面 点 集 的 几 个 基 本 概 念 ， 理 解 区 域 与 约 当 曲 线 的 概 念 ， 了 解 约 当 定 理 ，会 区 分 单 连 通 区 域 与 多 连 通 区 域 。3、 充 分 理 解 复 变 函 数 、 多 值 函 数 、 反 函 数 等 概 念 ， 理 解 复 变 函 数 的 几 何 表 示 ， 会求 简 单 平 面 图 形 的 变 换 象 （ 或 原 象 ） ， 理 解 复 变 函 数 的 极 限 ， 掌 握 极 限 的 等 价 刻 划 定理 ， 理 解 复 变
18、 函 数 的 连 续 性 及 其 等 价 刻 划 定 理 ， 熟 悉 有 界 闭 集 上 连 续 函 数 的 性 质 。4、 了 解 复 球 面 ， 理 解 无 穷 远 点 与 扩 充 复 平 面 。【 重 点 难 点 】重 点 ： 复 变 函 数 及 其 极 限 与 连 续 。难 点 ： 无 穷 远 点 及 无 穷 远 点 邻 域 。【 主 要 内 容 】1.1 复 数1.2 复 数 的 三 角 表 示1.3 平 面 点 集 的 一 般 概 念1.4 无 穷 大 与 复 球 面1.5 复 变 函 数第二章 解析函数【 知 识 及 能 力 目 标 】1、 理 解 复 变 函 数 的 导 数 的
19、 概 念 ， 掌 握 解 析 函 数 的 定 义 及 其 简 单 性 质 ， 熟 练 掌 握 解析 函 数 的 等 价 刻 划 定 理 特 别 是 柯 西 -黎 曼 条 件 。2、 熟 练 掌 握 指 数 函 数 的 定 义 与 主 要 性 质 ， 掌 握 三 角 函 数 的 定 义 与 基 本 性 质 ， 了 解双 曲 函 数 定 义 与 基 本 性 质 。3、 掌 握 幂 函 数 与 指 数 函 数 的 变 换 性 质 与 单 叶 性 区 域 ， 理 解 并 逐 步 掌 握 通 过 限 制 幅角 或 割 破 平 面 的 方 法 求 根 式 函 数 和 对 数 函 数 的 单 值 解 析 分
20、 支 ， 了 解 一 般 幂 函 数 与 一 般指 数 函 数 ， 理 解 并 掌 握 求 具 有 多 个 支 点 的 多 值 函 数 的 支 点 从 而 使 其 能 分 出 单 值 解 析 分支 的 方 法 ， 会 由 已 知 单 值 解 析 分 支 的 初 值 计 算 终 值 ， 了 解 反 三 角 函 数 与 反 双 曲 函 数 。【 重 点 难 点 】重 点 ： 解 析 函 数 的 定 义 ， 解 析 函 数 的 充 要 条 件 及 CR 条 件 、 指 数 函 数 与 指 数 函数 的 定 义 及 其 主 要 性 质 。难 点 ： 奇 点 的 概 念 。【 主 要 内 容 】2.1
21、解 析 函 数 的 概 念2.2 解 析 函 数 和 调 和 函 数 的 关 系2.3 初 等 函 数第三章 复变函数的积分【 知 识 及 能 力 目 标 】1、 理 解 复 变 函 数 的 积 分 的 定 义 ， 掌 握 复 积 分 的 性 质 与 计 算 方 法 。2、 掌 握 柯 西 积 分 定 理 及 其 等 价 形 式 和 两 种 推 广 形 式 以 及 它 们 的 应 用 ， 掌 握 不 定 积分 特 别 是 由 变 上 限 积 分 确 定 的 单 值 解 析 函 数 ， 会 用 牛 顿 -莱 布 尼 兹 公 式 计 算 复 定 积 分 。3、 熟 练 掌 握 柯 西 积 分 公
22、式 与 高 阶 导 数 公 式 ， 掌 握 解 析 函 数 的 平 均 值 定 理 、 无 穷 可微 性 以 及 它 的 第 二 个 等 价 刻 划 定 理 ， 掌 握 柯 西 不 等 式 、 刘 维 尔 定 理 、 摩 勒 拉 定 理 。4、 掌 握 调 和 函 数 与 共 轭 调 和 函 数 的 概 念 ， 理 解 解 析 函 数 与 调 和 函 数 的 关 系 ， 掌 握由 解 析 函 数 的 实 部 （ 或 虚 部 ） 求 虚 部 （ 或 实 部 ） 的 两 种 方 法 。【 重 点 难 点 】重 点 ： 柯 西 积 分 定 理 、 柯 西 积 分 公 式 、 高 阶 导 数 公 式
23、。难 点 ： 计 算 非 解 析 函 数 沿 积 分 路 径 为 非 闭 曲 线 的 积 分 。【 主 要 内 容 】3.1 复 积 分 的 概 念3.2 柯 西 积 分 定 理3.3 柯 西 积 分 公 式3.4 解 析 函 数 的 高 阶 导 数第四章 解析函数的级数表示【 知 识 及 能 力 目 标 】1、 理 解 复 数 项 级 数 敛 散 性 的 定 义 ， 掌 握 其 收 敛 性 的 两 个 刻 划 定 理 ， 掌 握 复 级 数 的绝 对 收 敛 性 及 绝 对 收 敛 复 级 数 的 性 质 ， 掌 握 关 于 复 变 函 数 项 级 数 的 柯 西 一 致 收 敛 准 则与
24、优 级 数 准 则 ， 熟 悉 复 连 续 函 数 项 级 数 的 性 质 ， 了 解 复 变 函 数 项 级 数 的 内 闭 一 致 收 敛性 ， 熟 练 掌 握 关 于 解 析 函 数 项 级 数 的 维 尔 斯 特 拉 斯 定 理 。2、 掌 握 阿 贝 尔 定 理 ， 充 分 理 解 幂 级 数 的 敛 散 性 ， 熟 练 掌 握 幂 级 数 收 敛 半 径 的 求 法 ，掌 握 幂 级 数 和 函 数 的 解 析 性 。3、 掌 握 泰 勒 定 理 ， 理 解 幂 级 数 的 和 函 数 在 收 敛 圆 周 上 的 情 况 ， 掌 握 一 些 初 等 函 数的 泰 勒 展 开 式 ，
25、 会 用 间 接 法 把 解 析 函 数 展 开 为 幂 级 数 。4、 掌 握 解 析 函 数 零 点 的 概 念 及 具 有 零 点 的 解 析 函 数 的 表 达 式 ， 掌 握 解 析 函 数 零 点的 孤 立 性 与 解 析 函 数 的 唯 一 性 定 理 ， 熟 练 掌 握 最 大 模 原 理 及 其 推 论 。【 重 点 难 点 】重 点 ： 幂 级 数 的 收 敛 圆 及 收 敛 半 径 的 求 法 ； 将 函 数 在 一 点 展 成 幂 级 数 的 方 法 ； 解析 函 数 的 唯 一 性 定 理 。难 点 ： 利 用 已 知 的 基 本 初 等 函 数 的 展 式 将 函
26、数 在 指 定 点 展 成 泰 勒 级 数 ； 将 函 数 展成 洛 朗 级 数 的 方 法 。【 主 要 内 容 】4.1 复 数 项 级 数4.2 复 变 函 数 项 级 数4.3 泰 勒 级 数4.4 洛 朗 级 数第五章 留数及其应用【 知 识 及 能 力 目 标 】1、 理 解 罗 朗 级 数 、 孤 立 奇 点 可 去 奇 点 、 极 点 、 本 性 奇 点 的 概 念 。2、 熟 练 掌 握 求 函 数 在 孤 立 奇 点 去 心 邻 域 上 的 罗 朗 展 式 。3、 熟 练 掌 握 判 断 奇 点 类 别 的 方 法 。4、 理 解 留 数 的 定 义 。5、 熟 练 掌 握
27、 计 算 留 数 的 方 法 。6、 理 解 留 数 基 本 定 理 ， 会 用 留 数 理 论 计 算 积 分 。【 重 点 难 点 】重 点 ： 计 算 留 数 的 方 法 ； 留 数 基 本 定 理 ； 判 别 孤 立 奇 点 的 方 法 ； 解 析 函 数 在 其 孤立 奇 点 去 心 邻 域 内 的 性 质 。难 点 ： 孤 立 奇 点 类 别 的 识 别 ； 将 函 数 在 其 孤 立 奇 点 去 心 邻 域 内 展 成 罗 朗 级 数 ； 函数 在 无 穷 远 点 留 数 的 计 算 。【 主 要 内 容 】5.1 孤 立 奇 点5.2 留 数5.3 留 数 在 定 积 分 计
28、算 中 的 应 用5.4 对 数 留 数 与 辐 角 原 理第六章 共形映射【 知 识 及 能 力 目 标 】1、 理 解 导 数 的 几 何 意 义 及 保 形 映 照 、 分 式 线 性 映 照 、 保 圆 性 、 对 称 点 等 概 念 。2、 掌 握 分 式 线 性 映 照 的 性 质 和 几 个 典 型 映 射 。3、 理 解 W=Zn 、 W= 、 W=ez 、 W= Z 的 映 射 性 质 。n4、 会 求 将 区 域 D 映 射 为 G 的 保 形 映 射 。【 重 点 难 点 】重 点 ： 分 式 线 性 变 换 。难 点 ： 已 知 区 域 D 与 G， 求 将 D 映 射
29、 为 G 的 保 形 映 射 。【 主 要 内 容 】6.1 共 形 映 射 的 概 念6.2 共 形 映 射 的 基 本 问 题6.3 分 式 线 性 映 射6.4 几 个 初 等 函 数 构 成 的 共 形 映 射第八章 傅里叶变换【 知 识 及 能 力 目 标 】1、 理 解 傅 立 叶 级 数 、 傅 氏 积 分 与 傅 氏 变 换 的 概 念 ， 并 能 够 进 行 求 解 。2、 掌 握 单 位 脉 冲 函 数 的 概 念 和 性 质 ， 能 够 对 单 位 脉 冲 函 数 开 展 傅 立 叶 变 换 。3、 掌 握 傅 立 叶 变 换 的 基 本 性 质 和 卷 积 定 理 。【
30、 重 点 难 点 】重 点 ： 傅 立 叶 级 数 、 傅 氏 积 分 与 傅 氏 变 换 的 概 念 ， 单 位 脉 冲 函 数 的 概 念 和 性 质 ，单 位 脉 冲 函 数 的 傅 立 叶 变 换 ， 傅 立 叶 变 换 的 基 本 性 质 和 卷 积 定 理 。难 点 ： 傅 立 叶 变 换 的 基 本 性 质 和 卷 积 定 理 。【 主 要 内 容 】8.1 傅 里 叶 变 换 的 概 念8.2 单 位 冲 激 函 数8.3 傅 里 叶 变 换 的 性 质第九章 拉普拉斯变换【 知 识 及 能 力 目 标 】1、 理 解 拉 普 拉 斯 变 换 的 概 念 。2、 掌 握 拉 普
31、 拉 斯 线 性 与 相 似 性 质 、 微 分 性 质 、 延 迟 与 位 移 性 质 ， 熟 悉 卷 积 定 理 ，能 够 开 展 卷 积 计 算 。3、 掌 握 拉 普 拉 斯 逆 变 换 。4、 能 够 利 用 拉 普 拉 斯 变 换 解 决 工 程 实 践 问 题 。【 重 点 难 点 】重 点 ： 理 解 拉 普 拉 斯 变 换 的 概 念 ， 拉 普 拉 斯 线 性 与 相 似 性 质 、 微 分 性 质 、 延 迟 与位 移 性 质 ， 卷 积 定 理 ， 卷 积 计 算 ， 拉 普 拉 斯 逆 变 换 ， 利 用 拉 普 拉 斯 变 换 解 决 工 程 实 践问 题 。难 点 ： 拉 普 拉 斯 变 换 性 质 ， 卷 积 定 理 ， 拉 普 拉 斯 逆 变 换 ， 利 用 拉 普 拉 斯 变 换 解 决工 程 实 践 问 题 。【 主 要 内 容 】9.1 拉 普 拉 斯 变 换 的 概 念9.2 拉 氏 变 换 的 性 质9.3 拉 普 拉 斯 逆 变 换9.4 拉 氏 变 换 的 应 用 及 综 合 举 例
