1、1复变函数与积分变换复习提纲第一章 复变函数一、复变数和复变函数yxivuzfw,二、复变函数的极限与连续极限 连续 Afz)(lim0 )(lim00zfz第二章 解析函数一、复变函数 可导与解析的概念。),(),()yxivufw二、柯西黎曼方程掌握利用 C-R 方程 判别复变函数的可导性与解析性。xyv掌握复变函数的导数： yxyxviiufvfzf 1)(三、初等函数重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。1、幂函数与根式函数单值函数innn eririrzw)s(co)s(co(k=0、1、2、n-1) n 多值函数nkzie2ag12、指数函数： )sincyxz性质：（1）单值.
2、（2）复平面上处处解析， （3）以 为周期ze(i23、对数函数（k=0、1、2）kizkziLnzw2ln)2(argl 性质：（1）多值函数,（2）除原点及负实轴处外解析,（3）在单值解析分枝上: 。kz1)(ln4、三角函数： 2cosiziezieizi2sin性质：（1）单值 （2）复平面上处处解析 （3）周期性 （4）无界5、反三角函数（了解）反正弦函数 )(sin2ziLzArcw2反余弦函数 )1(1cos2zLnizArw性质与对数函数的性质相同。6、一般幂函数： （k=0、1）)arg2(lnizkzssLnzsez四、调和函数与共轭调和函数：1) 调和函数: 0),(2y
3、xu2) 已知解析函数的实部（虚部） ，求其虚部（实部）有三种方法：a）全微分法b）利用 C-R 方程c）不定积分法第三章 解析函数的积分一、复变函数的积分 存在的条件。lll udyvxidyuxfdz二、复变函数积分的计算方法1、沿路径积分： 利用参数法积分，关键是写出路径的参数方程。cf2、闭路积分： a) 利用留数定理，柯西积分公式，高阶导数公式。dzb) 利用参数积分方法zyxivuc),(),(三、柯西积分定理：0cdzf推论 1：积分与路径无关 dzffzc21)(推论 2：利用原函数计算积分)()(1221 Fzfz推论 3：二连通区域上的柯西定理 21ccdzff推论 4：复
4、连通区域上的柯西定理 kcnc zfzf1四、柯西积分公式： dzfizfc2)(002cfzdifzA3五、高阶导数公式： dzfinzfcnn1)( )(2!解析函数的两个重要性质： 解析函数 在任一点 的值可以通过函数沿包围点 的任一简单闭合回路的积分表示。zfzz 解析函数有任意阶导数。本章重点：掌握复变函数积分的计算方法沿路径积分 1）利用参数法积分 2）利用原函数计算积分。cdzf闭路积分 利用留数定理计算积分。第四章 解析函数的级数一、幂级数及收敛半径： 0)(nnbza1、一个收敛半径为 R（0）的幂级数，在收敛圆内的和函数 是解析函数，在这个收敛圆内，)(zf这个展开式可以逐
5、项积分和逐项求导，即有：1nnbzazf Rbz1000 nnzl nz addf Rbz2、收敛半径的计算方法1） 比值法： 1/limnnR2） 根值法： a二、泰勒（Taylor）级数1、如函数 在圆域 内解析，那么在此圆域内 可以展开成 Taylor 级数)(zfRb)(zff nnn bzfa00!)1）展开式是唯一的。故将函数在解析点的邻域中展开幂级数一定是 Taylor 级数。2 ) 收敛半径是展开点到 的所有奇点的最短距离。)(zf3）展开式的系数可以微分计算： !nbfa4）解析函数可以用 Taylor 级数表示。42、记住一些重要的泰勒级数：1） 2）0nz0!nze3）
6、4）0)12(!(sinn02)!(1cosnnzz三、罗兰（Laurent ）级数如果函数 在圆环城 内解析，则 = )(zf 21Rbz)(zfxnnbc)(dzbficln12（n=0、1、2）1、展开式是唯一的，即只要把函数在圆环城内展开为幂级数即为 Laurent 级数。2、展开式的系数是不可以利用积分计算。利用已知的幂级数，通过代数运算把函数展开成 Laurent级数。3、注意展开的区域，在展开点的所有解析区域展开。四、孤立奇点1、定义：若 b 是 的孤立奇点，则 在 内解析。在此点 可展开为罗兰级)(zf )(zfb0)(zf数， =)(f 10nnnn cbcc2、分类：孤立奇
7、点 1),(Re,:,: cbzfsf无 穷 多 负 幂 项本 性 奇 点有 限 负 幂 项极 点 无 负 幂 项可 去 奇 点把函数在奇点的去心邻域中展开为罗兰级数，求解 C-13、极点留数计算a) 如果 b 是 的一阶极点，则)(zf )(lim),(ezfzfsbzb) 如果 b 是 的 m 阶极点，则li!1),(Re1zfbdzzfs mbc) 如 b 是 的一阶极点，且 P(b)0，那么zQPfbs,Re5d) 0,1)(Re),(e2zfszfse) 若 是 的可去奇点，并且 ，0)(limzfzCzfszli),(e1关系：全平面留数之和为零。 0,Re,R1 fsbzfskk
8、本章重点：函数展开成 Taylor 级数，并能写出收敛半径。函数在解析圆环城内展开成 Laurent 级数。孤立奇点（包含 点）的判定及其留数的计算。z第五章 留数定理的应用一、 dR20cos,in条件：（1）R(sin，cos) 为 cos 与 sin 的有理函数（2）R ( ) 在0，2 或者 - ， 上连续。令 ，则 ， ， 。iezizsin12cos1zizd zfiizRdzz 1120 ,co,inkkfsi1,e2k注意留数是计算单位圆中的奇点。二、 dxf条件： （1） 是 x 的多项式。xQP,（2） 0x（3） 分母阶次比分子阶次至少高二次则 是 在上半平面的奇点。nR
9、kbzfsidf1,e)(zf三、 （ ）xei0条件：（1） ，且 比 至少高一阶，xQPxP（2） ， （3）x6nkkzixi beRsideRI1,20Imk，Icosxdsin重点关注第一和第三种类型第七章 Fourier 变换一、傅立叶变换 dtexfFjftj21二、 函数的傅立叶变换 . 1dxexj xdexj2三、一些傅立叶变换及逆变换 iH1)( 2)(1x四、性质： Ff1、 相似性质 axf12、 延迟性质Fexj00 位移性质0fexj3、微分性质 )(Fjf)()Fxjf jxfnn nndfj)(4、积分性质 )(10Fjdxfx由 Fourier 变换的微分和
10、积分性质，我们可以利用 Fourier 变换求解微积分方程。四、卷积和卷积定理 7dxfxf )()(*2121 F )(*2)(211xf 五、三维 Fourier 变换及反演本章重点：利用定义计算 Fourier 变换第八章 Laplace 变换一、拉普拉斯变换 pFdtexffp0二、几个重要的拉普拉斯变换及逆变换 ptH1tH1 et tep1 2cospt tcos21 2int tpin21 1!mpt t四、拉普拉斯变换的性质1、 Fetft002、 0)(ptp3、 ftf 2fFu nundptf4、 Ftft108 dpFtf五、卷积： tftft20121* p六、Laplace 反演 nnptptj eFsdeFtf 1,R21七、Laplace 逆变换（1）部分分式法（2）卷积定理（3）Laplace 反演公式（留数定理）（4）利用 Laplace 变换的性质八、利用 Laplace 变换求解微积分方程（1）对方程取 Laplace 变换，得到象函数的代数方程（2）解代数方程，得到像函数的表达式（3）求像函数的拉普拉斯逆变换拉氏变换 解代数方程拉氏逆变换 本章重点：利用定义和性质计算 Laplace 变换。计算 Laplace 逆变换。利用 Laplace 变换求解微积分方程。微分方程 像函数的代数方程 像函数像原函数解函数
