1、第 1 页 共 5 页安徽大学 20 1120 12 学年第 2 学期 复变函数 考试试卷（A 卷）（闭卷 时间 120 分钟）院/系 专业 姓名 学号 座位号 题 号 一 二 三 四 总分得 分一、判断题（每小题 2 分，共 20 分）1. 设 是 中区域 上的复值函数， ，则 在(),)(,)fzuxyivCD0zD()fz处复导数 存在的充要条件是 ， 在 处可微并且满足00fz (,)uxy(,)vCauchy-Riemann 方程。（ ） 2. 设 是 中区域 上的解析函数，并且对任意 ， 的实部 与虚()fzCDzD()fzu部 满足 ，则 在 上是常数。vsinuv()fz（ ）
2、3. 如果 是 中区域 上的复值函数， ， 在 处导数 存在，()fz a()fza()f则 在 处解析。a（ ）4. 设 是 中非空单连通开集 内解析函数，存在 中序列 ，使得()fzCDDnz且 存在极限点 ，则对任意 ， 。 0nnaz()0fz（ ）5. 如果 是 中非空开集 上的复值函数， ， 在 上解析，()fz a()fza是 的可去奇点，则 是 上的亚纯函数。a()fz（ ）6. 是 的共轭调和函数，则 是 的共轭调和函数。vuuv（ ）7. 如果 是 上解析函数，并且 是 的可去奇点，则()fz|,|zC()fz得分第 2 页 共 5 页在 处的留数为零。()fz（ ）8.
3、一个幂级数在其收敛圆周上的敛散性有三种可能：（1）处处发散， （2）处处收敛， （3）既有收敛点，又有发散点。（ ）9. 如果函数 在区域 内解析，在 内 ，则 在 内单叶。()fzD()0fz()fzD（ ）10. 如果 是 的极点，则 是 的本性奇点。0z()f0z()fze（ ）二、计算题（每小题 10 分，共 50 分）1. 求单位圆盘到上半平面的所有分式线性变换。2. 设 是 内的解析函数， ，并且 ，计算积分()fzC,abCab，其中 是一条不过 的光滑 Jordan 曲线。1d2)iab, 得分第 3 页 共 5 页3. 分别在 ， 和 内将 展成洛朗级数。|1z|2z|z21
4、()fz4. 设 ，()1)zef1) 求 在扩充复平面中所有奇点。 （3 分）2) 指出每个奇点的类别。 （3 分）3) 计算 在每个孤立奇点处的留数。 （4 分）()fz第 4 页 共 5 页5. 求 在区域 内根的个数。6410z:1|2z三、证明题（每小题 10 分，共 20 分）1. 设 是围线 的内部， 在区域 内解析，在闭域 上连续，其DC()fzDDC模 在 上为常数 。试证：若 不恒等于一个常数，则 在 内|()|fzM()fz()fzD至少有一个零点。得分第 5 页 共 5 页2. 设在原点 附近 的洛朗展式为 。证明： 在 的0z()fz()nfzCz()fz0某邻域内存在原函数的充要条件是 。10四、思考题（每小题 5 分，共 10 分）1. 问在点 处解析，且满足 的函数 是0z2211(),(),ffnn ()fz否存在？2. 设 是 的本性奇点，试问 是否一定是 的本性奇点？说明理0z()fz0z1()fz由。得分
