1、复变函数习题一：选择题：1. 的辐角为：（A ）132ziA B.(),(0,12)karctgk(1)3,(0,12)karctgkC. D. 2. ,其中 (B)21czd(:2)czA B. C. D.0i4i6i3. 在 洛朗级数为（B）2(1)zzA. B. C. D. 210nz102nz2301nz2301nz4. 在 留数（A ）si(,)A B.1 C.0 D. (1)n15. 将上半 平面 共形映射成单位圆 分式线性变换 符合zIm01w()wLz为（B）()0,LiiA B. C. D. zi()zi()zLi()1zi6.复数 化为指数形式：(A)23(cos5ni)A
2、 B. C. D. 19ie7i20ie16i7.已知 ，则 (C)()coshsinhfzxyxy/()fzA B. C. D. inz8. =。 。 。 。 。 （积分路径 C 是连接 到 的直线段）2()cxyd 01iA. B. C. D. 13ii1i2i9.幂级数 收敛半径(C)1nzA2 B.1 C.0 D. 1210.函数 的奇点（B）2(4)zA.0，2 B.0, , C. D. 11. 分别以 为 阶极点及 阶极点。 试问 为 的(A)()fzgzamn()mnza()fzgA. 级零点 B. 级极点 C. 级零点 D. 级极点mnn12. 在 的留数为（C）1siz(0,
3、1)A B. 0 C. D. 1)n13. =(A)21ztediA. B. C. D. sntcostant14. 满足三对对应点 的线性变换 为(A)(1,23)iizw(1,)(,01)izwA. B. C. D. (1)3iz()iz)(i3()iz15. 满足三对对应点 的线性变换 为（B）1,23iiz1,),10zA B. C. D. 1wzwz二：填空题：1. 已知 ，则 -3zeizln2().(0,1)3ik2. 幂级数 收敛半径为-1，-2.0,2n3. 求出 的奇点- .奇点类型为-一级极点.其中1()zfe(1),(0,)ki点类型为-非孤立奇点4. 已知 ，则 -1
4、()zfR()zsf5. 变换 把半带形 区域-iwe0,Im1z1Re0,Im02ww6. 若复数 满足 ， 的取值范围. z(12)()30iziz5257. 设 ，函数 ，当 zxiy22()xyfzi0,z/()f21z8. = (其中 C 为圆周 )(sinzceda.a9. 将函数 在收敛域按 得幂展开251z22 201()(1)()()44()nzzzz 10. 函数 奇点. ,类型为一级极点，非孤立奇点sincoz0.)k11. 函数 奇点 .,类型为本性奇点1e0,12. =. .20()4xd613. = 2(0)()ax214. 满足使 变成 ，点 二重不动点分式线性变
5、换. 1i (21)izLz15. 在 处伸缩率，旋转角分别为2wz ,三：计算题：1. 设 ，试求xiy（1） ， （2） ， （3）ize2ze1Re()z2.将下列函数展出 的 幂级数，并指出展式成立的范围（1） （ 为复数，且 ） ； （2）azb,0b0sinzd3.计算下列积分值（1） ， ； （2）2()1Cdz2:()Cxy0(1)cosa4. 求积分 之值，其中积分路径是连接 到 的摆线：08)za。(sin),(cosxy5. 求下列函数 在其孤立奇点（包括无穷远点）处的留数（ 是正整数）fz m（1） （2）sinmz21mz6.求下列方程（ 是实参数）给出的曲线：t（1
6、） （2）cosizabtizt7.指出下列函数 解析性区域，并求出导数：()fz（1） （2）5(z18.计算积分 积分路径（1）直线段 （2）上半单位圆周 （3）下半单位圆周1.d9.将下列函数展开 的幂级数，指出展开式成立范围：z（1） （2）20ze2(1)10.下列函数在指定点去心领域展成洛朗级数，指出收敛域：（1） （2）2,()zi1,0ze11.求出下列函数奇点，并确定类型；（1） （2）1()zfe3sin()zf12. 计算积分（1） （2）4:2Czd20ixab13. 计算 2cos(1)9x14. 求出将上半平面 共形映射成圆 的分式线性变换 是符合条件Im0zwR(
7、),wLz如果要求 变换是否存在？()0,Li/(),Li15. 求将圆 共形映射成圆 的分式线性变换，使 变成z ()za0.四：证明题：1. 设函数 在区域 D 内解析，试证：()fz2 22/()(4()fzfzx2. 证明方程 在单位圆 内有 个根。0(1)zne1zn3. 函数 分别 为 阶极点及 阶极点。试问 为(),gfamza及 的什么点？(),()fzgfz()fzg4. 试证：复平面上三点 0， 共直线。,abi1i5. 由积分 之值证明： ，其中 C 取单位圆2cdz02cos054d 1.z6. 试证：四个相异点 共圆周或共直线的充要条件 为实数。123,z 34142
8、2:7. 给定函数 ，试证明函数 在点 可导，但不解析。()fz()fz08. 设（1） 在 上连续；（2）对任意的 ， ，试证1(1)r()0zrf。1()0zf9. 证明： ，当 时为 的可去奇点；当 时为 的 阶极点；1nnze0n1nze为 的一阶极点。2zkize10. 证明：若 为 的单值性孤立奇点，则 为 的 阶极点的充要条件是a()f a()fzm。其中 是正整数。lim(0,)zz11. 设幂级数 所表示的和函数 在其收敛圆周只有唯一一阶级点 .试0)nfa()fz 0z证： 因而 收敛半径。01,naz01,nz()r12. 证明： 。0 0t(),tan)(0)idiid
9、ia 13. 证明： 240snesi,(,mxa 14. 证明： 把圆周 变成椭圆周1wzzc。()cos,()sin,(02)uv15. 以 为对称点的圆周的方程为 当 时，退化为以 为对称点的,pq,zpkq1,pq直线。五：解答题：1.（1） （2）3iecos(1)i2.讨论下列级数的敛散性：（1） （2）1()nni1()nab3.考查函数 的奇点类型。()sifzz4. 试问函数 在单位圆 是否连续，是否一致连续？1()f5.问线性变换 将闭单位圆 映成 平面上的什么区域？wz1zw6.满足满足下列关系的点 是什么直线：（1） （2）Rearg7.解方程：（1） ， （2）lni
10、zcosin0z8.求积分 从而证明 。(:1),zCedcs0(i)ed9.求函数 在 的领域展开式（其中 ） 。()zab,zazb0ab10.函数 在 有一个二阶极点；这个函数又有下列洛朗展开式：21()f+ ,于是说 又是 得到本质奇点，此说法234511()()()()zzz 1z()fz对吗？11. 设函数 不恒为零且以 为解析点或极点，而函数 以 为本质奇点，()fa()za则 是分别为 什么类型奇点？za()(),zzfzf12 计算积分 ，其中 C 为单位圆周12()Cdiz 1,.zC13. 求出 的孤立奇点（包括无穷远点）处的留数（ 正整数）()snmfz m14. 在线性变换 下，下列图形分别变成什么图形？wi（1）以 为顶点的三角形123,1z（2）闭圆 1z15. 试将线性变换 分解四个简单线性变换组合。34zwi
