1、第二章 圆锥曲线与方程,2.2.1 椭圆的标准方程,启动思维,在圆柱形玻璃杯中盛半杯水，当杯体直立时，水面的边界是一个圆；当杯体倾斜一定角度时(水面与杯壁相交)，水面的边界就会变成另一种曲线，这种曲线将会给我们椭圆的直观形象这一现象反映在数学上就是如果用一个与圆柱体轴线斜交的平面截这个圆柱，那么平面与这个圆柱侧面的交线就是椭圆，椭圆究竟是什么样的点的轨迹呢？,走进教材,1椭圆的定义把平面内与两个定点F1，F2的 (大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，叫做椭圆的焦点，叫做椭圆的焦距,距离的和等于常数,这两个定点,两焦点间的距离,走进教材,2椭圆的标准方程,(c,0)，(c,0),(0，c)，(
2、0，c),c2a2b2, 2 2 + 2 2 =1(ab0), 2 2 + 2 2 =1(ab0),知识回顾,平面内与两个定点F1，F2的_的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的_，_叫做椭圆的焦距,两焦点间距离,距离的和等于常数(大于|F1F2|),焦点,1椭圆的定义,知识回顾,2.椭圆的方程, 2 2 + 2 2 =1(ab0), 2 2 + 2 2 =1(ab0),(-c,0)、(c,0),(0, -c)、(0, c),c2a2-b2,典例导航,题型一：利用椭圆的定义求轨迹方程,例1 已知B，C是两个定点，|BC|6，且ABC的周长 等于16，求顶点A的轨迹方程,以BC所在直线为x轴，
3、线段BC的中垂线为y轴，由已知|AB|AC|BC|16，又|BC|6，|AB|AC|10,即点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，, |BC|6，,解：,x,y,O,A,B,C,形成轨迹的 几何条件,定值,典例导航,由已知2c6, 2a10. c3，a5，b2523216. 又A、B、C三点不能共线， 点A的轨迹方程是 2 25 + 2 16 =1(y0),变式训练,1.求过点P(3,0)且与圆x2+6x+y2-91=0相内切的 动圆圆心的轨迹方程.,解：圆的方程化为(x+3)2+y2=102, 则圆心C1(-3,0),半径R=10. 设所求动圆圆心为C(x,y),半径为r, 依题意有|PC|=r
4、，|CC1|=R-r 消去r得R-|PC|=|CC1|PC|+|CC1|=R, 即|PC|+|CC1|=10. 又P(3,0),C1(-3,0),且|PC1|=610. 可见C点是以P,C1为两焦点的椭圆, 且c=3, 2a=10, a=5, 从而b=4, 故所求的动圆圆心的轨迹方程为 2 25 + 2 16 =1.,化为动点满足 的几何条件,典例导航,题型二：与椭圆有关的轨迹问题,例2 已知圆x2y29，从圆上任意一点P向x轴作垂线段 PP，点M在PP上，并且 =2 ，求点M的轨迹,设点M的坐标为(x，y)， 点P的坐标为(x0，y0)，则x0x，y03y. 因为P(x0，y0)在圆x2y2
5、9上， 所以 0 2 + 0 2 =9. 将x0x，y03y代入，得x29y29， 即 2 9 y21，点M的轨迹是椭圆,解：,代入法,变式训练,2.若将 “点M在PP上，并且 =2 ”改为 “点M在直线PP上，并且 = (0)”， 则M点的轨迹是什么？,解：当01时，点M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆； 当1时，点M的轨迹是圆； 当1时，点M的轨迹是焦点在y轴上的椭圆,典例导航,题型三：椭圆中的焦点三角形问题,例3 已知椭圆的方程为 2 4 + 2 3 =1，若点P在第三象限， 且PF1F2120，求PF1F2的面积,由已知a2，b 3 ，所以c1， |F1F2|2c2. 在PF1F2中，由余弦
6、定理，得 |PF2|2|PF1|2|F1F2|22|PF1|F1F2|cos 120， 即|PF2|2|PF1|242|PF1|， ,解：,焦点三角形 的边角关系,典例导航,由椭圆定义|PF1|+|PF2|=4，,即|PF2|=4-|PF1| ， ,代入，解得|PF1|= 6 5 ，,S= 1 2 1 2 sin120，,= 1 2 6 5 2 3 2 = 3 3 5 ，,即PF1F2的面积是 3 3 5 .,变式训练,3.已知椭圆的方程为 2 4 + 2 3 =1 ，P点是椭圆上的一点，且F1PF260，求PF1F2的面积,|PF1|PF2|2a,|F1F2|2c,F1PF260,求|PF1
7、|PF2|,变式训练,解：由椭圆方程知，a2，b 3 ，c1.又P在椭圆上，|PF1|PF2|2a4，由余弦定理知： |PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60，|F1F2|2(2c)24 ，,式两边平方，得 |PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|16， ，得3PF1|PF2|12， |PF1|PF2|4， S 1 2 |PF1|PF2|sin 60 3 .,课时训练,1椭圆4x29y21的焦点坐标是( ) A.( 5 ，0) B.(0， 5 ) C.( 5 6 ,0)D.( 5 36 ,0),C,2已知椭圆上 2 49 + 2 24 =1一点P与椭圆两焦点F1、F2连线的
8、夹角为直角，则|PF1|PF2|_.,48,自主练习,1.已知椭圆 2 10 2 2 1，焦点在y轴上，若焦距为4， 则m等于( ) A4 B5 C7 D8,c=2,a2,b2,D,自主练习,2.椭圆 2 25 y21上一点P到一个焦点的距离为2， 则点P到另一个焦点的距离为( ) A5 B6 C7 D8,定义,D,自主练习,3.椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2 15 ，则此椭圆的标准方程为_,椭圆类型,2c=2 15,2a=8, 2 16 x21,典例导航,题型四：求椭圆的标准方程,例4 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点坐标分别是(3,0)，(3
9、,0)，椭圆经过点(5,0)； (2)两个焦点坐标分别是(0,5)，(0，5)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26； (3)焦点在坐标轴上，且经过A( 3 ，2)和B(2 3 ，1)两点,典例导航,解：椭圆的焦点在x轴上， 设标准方程为 2 2 2 2 1(ab0) 由定义2a (5+3) 2 + 0 2 (53) 2 + 0 2 10, 又2c6， a5，c3， b2a2c2523216. 所求椭圆的方程为 2 25 2 16 1.,(1)两个焦点坐标分别是(3,0)，(3,0)，椭圆经过点(5,0),典例导航,(2)两个焦点坐标分别是(0,5)，(0，5)， 椭圆上一点P到两焦点的距离之
10、和为26.,解：椭圆的焦点在y轴上， 设标准方程为 2 2 2 2 1(ab0) 由定义2a26, 即a13， 又c5，b2a2c2144. 所求椭圆的方程为 2 169 2 144 1.,典例导航,(3)焦点在坐标轴上，且经过A( 3 ，2)和B(2 3 ，1),解：,若椭圆的焦点在x轴上， 设标准方程为 2 2 2 2 1(ab0)，,由已知,解得：a2=15, b2=5，,椭圆的方程为 2 15 2 5 1.,3 2 + 4 2 =1， 12 2 + 1 2 =1，,(3)焦点在坐标轴上，且经过A( 3 ，2)和B(2 3 ，1),解：,若椭圆的焦点在y轴上， 设标准方程为 2 2 2
11、2 1(ab0)，,由已知,4 2 + 3 2 =1，,1 2 + 12 2 =1，,解得：a2=5, b2=15，,综上：椭圆的方程为 2 15 2 5 1.,与ab矛盾，,典例导航,典例导航,(3)焦点在坐标轴上，且经过A( 3 ，2)和B(2 3 ，1).,思考：在上述的解题过程中，将方程组看作是关于1 2 、 1 2 的方程组，解题过程还可以做怎样的优化？,另解：,设所求椭圆的方程为mx2ny21(m0，n0)，,则由已知,3m+4n=1，,12m+n=1，,解得：m= 1 15 ，n= 1 5 ，,椭圆的方程为 2 15 2 5 1.,变式训练,4.(1)已知椭圆的焦点F1(4,0)
12、，F2(4,0)，且过点A(4, 9 5 )，求椭圆的标准方程,解：由已知2a|AF1|AF2|10， a5，c4， b2a2c225169. 椭圆的方程为 2 15 2 5 1 .,变式训练,(2)求以椭圆9x25y245的焦点为焦点， 且经过点M(2， 6 )的椭圆的标准方程,解：由9x25y245，得 2 5 2 9 1， c2954. 焦点坐标为F1(0，2)，F2(0,2) 由点M(2， 6 )在椭圆上， 知2a|MF1|MF2|=4 3 ， 又c2，b2a2c28， 所求椭圆的标准方程为 2 8 2 12 1.,典例导航,题型五：椭圆定义的应用,例5 如图所示，已知F1，F2是椭圆
13、 2 100 2 36 1的两个焦点 (1)求椭圆的焦点坐标； (2)过F1作直线与椭圆交于A，B两点，试求ABF2的周长,典例导航,(1)由椭圆方程得a2100，b236， 于是a10，c8， 所以椭圆的焦点坐标为F1(8,0)，F2(8,0) (2)ABF2的周长为|AB|AF2|BF2| (|AF1|BF1|)|AF2|BF2| (|AF1|AF2|)(|BF1|BF2|)， 由椭圆的定义可知|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a， 故|AB|AF2|BF2|4a40.,解：,变式训练,5.如图所示，点P是椭圆 2 4 2 5 1 上的一点，F1和F2是焦点，且F1PF230，求
14、F1PF2的面积,变式训练,解：由椭圆方程知，a 5 ，b2，c1.又P在椭圆上，|PF1|PF2|2a2 5 ， 由余弦定理知： |PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 30|F1F2|2(2c)24 ，,式两边平方，得 |PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|20， ，得(2 3 )|PF1|PF2|16， |PF1|PF2|16(2 3 )， S 1 2 |PF1|PF2|sin 3084 3 .,归纳小结,1椭圆的定义的应用 (1)应用椭圆的定义和方程，把几何问题转化为 数学问题，再结合代数知识解题而椭圆的定义 与三角形的两边之和联系紧密，因此，涉及线段 的问题常利用三
15、角形的边角关系处理 (2)椭圆的定义式：|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)， 在解题中经常将|PF1|PF2|看成一个整体或者配方 等灵活应用,归纳小结,2利用待定系数法确定椭圆的标准方程 求椭圆的标准方程常用待定系数法，要恰当地选择方程的形式，如果不能确定焦点的位置，那么有 两种方法来解决问题，一是分类讨论全面考虑问题；二是设椭圆方程一般式,归纳小结,求轨迹方程的方法有多种: 定义法、直接法、代入法、相关点坐标分析法等. 具体求轨迹方程时,我们既应严格按一般步骤去展开 过程,又应注意到思考方法的灵活性的尝试. 通过本课的学习我们还可以看到确定椭圆的几何条件 有多种,这些条件能让我们开拓眼见.,
