1、重庆南开中学 2015 届高三 10 月月考数学（文）试题（解析版）本试卷是高三文科试卷，以基础知识和基本技能为为主导，在注重考查运算能力和分析问题解决问题的能力，知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：不等式、复数、导数、圆锥曲线、数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.【题文】一.选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的【题文】1已知 ， 为两个集合，若命题 ，都有 ，则AB:pxA2xBA. ，使得 B. ，使得:
2、px2x:C. ，使得 D. ，使得xx【知识点】命题及其关系 A2【答案解析】C 若命题 ，都有 ,则 ，使得 ，:pxA2xB:pA2B故选 C。【思路点拨】根据命题的关系确定非 P。【题文】2. 已知向量 ， ，则 与(5,6)a(,5)babA.垂直 B.不垂直也不平行 C平行且同向 D平行且反向【知识点】平面向量的数量积及应用 F3【答案解析】A 因为 =（-5） 6+6 5=0，所以 ，故选 A。【思路点拨】根据向量的数量积为 0，所以 。ab【题文】3.设集合 , ,则集合2|Mx|2,NyxM()RCNA. B. C. D.2,41,14【知识点】集合及其运算 A1【答案解析】
3、C 由题意得 M=x ,N=x 则 =M,2xx所以 故选 C.()RMN,1,【思路点拨】先求出 M ,N 再求 再求出结果。N【题文】4.设一直正项等比数列 中， 为前 项和，且 ，nanS2431,7aS5A. B. C. D.1523143172【知识点】等比数列及等比数列前 n 项和 D3【答案解析】B 正数组成的等比数列，则 q0 ，且 a23=a2a4=1，a 3=10；又 S3=a1+a2+a3= +1=7，即 6q2-q-1=0，解得 q= ，或 q=-21q123不符题意，舍去则 an=a3q（n-3） =（ ） （n-3） ；a 1=4；S 5= = 故答案为 B54(1
4、)24【思路点拨】先根据等比中项的性质可知 a23=a2a4 求得 a3，进而根据 S3=a1+a2+a3 求得q，根据等比数列通项公式求得 an，进而求得 a1，最后利用等比数列的求和公式求得答案【题文】5.对于平面 、 、 和直线 、 、 、 ，下列命题中真命题是bmnA.若 / ， ，则 / B.若 / ， ，则 /,aaabaC.若 则 D.若 ，则,amn,【知识点】空间中的平行关系空间中的垂直关系 G4 G5【答案解析】若 ，=，=b，则由面面平行的性质定理可得：ab，故 A 正确；若 ab，b ，则 a 或 a，故 B 错误；若 am ，a n，m，n ，则 m，n 相交时 a
5、，否则 a 不一定成立，故 C 错误；若 ，a ，则 a 与 可能平行，可能垂直，也可能线在面内，故 D 错误；故选：A【思路点拨】由面面平行的性质定理可判断 A；由线面平行的判定定理可判断 B；由线面垂直的判定定理可判断 C；由面面垂直的性质定理可判断 D【题文】6.若实数 、 满足约束条件 ，则目标函数 是最小xy2350xy|1|zxy值是A.0 B.4 C. D.8372【知识点】简单的线性规划问题 E5【答案解析】A 作出 可行域如图，由 ，可得 A( ， 0)，250xy350xy52由 ，可得 B（0, ），由 ，可得 C（0，-5）2350xy53250xyA、BC 坐标代入
6、z=|x+y+1|，分别为： ； ，4，7283又 z=|x+y+1|0，当 x=0，y=-1 时，z 取得最小值 0z=|x+y+1|取可行域内的红线段 MN时 x+y+1=0z 都取得最小值 0故选 A【思路点拨】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线x+y+1=0 时，z 最小值即可【题文】7.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则改几何体的体积为A. B. C. D.2931693【知识点】空间几何体的三视图和直观图 G2【答案解析】C 由三视图知几何体是圆锥的一部分，由正视图可得：底面扇形的圆心角为 120，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为 2
7、，几何体的体积 V= 224= 故答案为：C1036169【思路点拨】根据三视图判断几何体是圆锥的一部分，再根据俯视图与左视图的数据可求得底面扇形的圆心角为 120，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为 2，把数据代入圆锥的体积公式计算【题文】8.将函数 的的图像向右平移 个单位，再将图象上每一点7()sin12fx6横坐标伸长为原的 2 倍后得到 图像，若在 上关于 的方程()ygx0,2xx有两个不等的实根 ，则 的值为()gxm12,12A. 或 B. 或 C. 或 D. 或523352【知识点】三角函数的图象与性质 C3【答案解析】D 将函数 f（x）=sin（2x+ ）的图象向
8、右平移 个单位，可得函数7126y=sin2（x- ）+ =sin（2x+ ）的图象；再将图象上横坐标伸长为原的 2 倍后得到67124y=g（x）=sin（x+ ）图象由 x+ =k+ ，kz，求得 g（x）的图象的对称轴方程4为 x=k+ 若 x0，2），则 g（x）的对称轴方程为 x= ，或 x= 关于 x 的方程 g（x）=m45在0，2）上有两个不等的实根 x1，x 2，则 x1+x2 =2 ，或 x1+x2 =2 ，故选：D54【思路点拨】由条件根据函数 y=Asin（x+）的图象变换规律，可得 g（x）的图象的对称轴方程，从而求得 x1+x2 的值【题文】9.已知函数 是定义在
9、上的奇函数，且 （其中()yfR()0ff是 的导函数）恒成立。若 ，则 的大()fxf (ln3)l2,(1)fabce,abc小关系是A. B. C. D.abcbc【知识点】导数的应用 B12【答案解析】令 h(x)= h(x)= ，lnf 2(ln)(l)ffx任意的 xR 都有 f（x）f（x）成立，f（lnx）f（lnx）h（x）0， h （x）在（0，+）上单调递增h（1）h（2）h（e）h （3），又h（1）= =f(0)=0，0ba ；而 c=-ef（1）lnf=-ee =-e2h（e ） 0，abc故选：A()【思路点拨】由已知条件，得出构造的新函数是单调增函数，利用单调性
10、判断 a，b，c 的大小【题文】10.已知函数 ，若对任意的实数 ，不等式421()xxkf123,x恒成立，则实数 的取值范围是123()fxffA. B. C. D.0k14k132k42k【知识点】函数的单调性与最值 B3【答案解析】D 函数 =()41xxf12xx令 t=2x+1+ ，（t3）则 f（x）=y=1+ 若 k-10，即 k1，函数 y=1+ 在x kt1kt3，+）上为增函数此时的函数 f（x）=y 值域为 1+ ，1）若不等式 f（x 1）+f （x 2）f（x 3）恒成立3则 2（1+ ）1 ，就可以满足条件解得- k113k2若 k-1=0，即 k=1，f（x）=
11、1 ，不等式 f（x 1）+f（x 2）f（x 3）显然成立若 k-10，即 k1 函数 y=1+ 在3，+ ）上为减函数1kt此时的函数 f（x）=y 值域为（ 1，1+ 3若不等式 f（x 1）+f （x 2）f（x 3）恒成立,则 1+11+ ，13k解得 1k4 综上所述：- k4 故答案为：D【思路点拨】函数 的解析式可化为 f（x）= ，421()xxf 12xxk令 t=2x+1+ ，（t3），则 f（x）=y=1+ ，结合反比例函数的单调性，分类讨x kt论函数的单调性，并分析出函数的值域，构造关于 k 的不等式，求出各种情况下实数 k 的取值范围，最后综合讨论结果，可得实数
12、k 的取值范围第卷（非选择题 共 100 分）【题文】二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。把答案填写在答题卡相应位置上。【题文】11.复数 对应的复平面上的点在第_象限.21iz【知识点】复数的基本概念与运算 L4【答案解析】四 = =2-i，i()i复数 对应的复平面上的点的坐标为（2，-1），位于第四象限故答案为：1iz四【思路点拨】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标得答案【题文】12.若 ，则 的值为_123,()log()xef(2)f【知识点】指数函数对数函数 B6 B7【答案解析】2 因为 f(2)=1,所以 f(f(2)=2 故答案为
13、 2.【思路点拨】先根据所给的范围求出 f(2)，再求结果。【题文】13.已知正实数 成等差数列， 成等比数列，则 的最12,xay12,xby12()ab小值是_【知识点】基本不等式 E6b【答案解析】4 成等差数列， 成等比数列，12,xay12,xby根据等差数列和等比数列的性质可知： =x+y， =xy，a = =4.当且仅当 x=y 时取 “=”，故答案为 4.12()ab2()xy2()x【思路点拨】首先由等差数列和等比数列的性质可得 =x+y， =xy，然后利用均12a12b值不等式求解即可【题文】14.在 中，角 A，B，C 对应的编分别是 a，b ，c ，若 ，且3,，则边
14、的长为_2coscosaAbc【知识点】解三角形 C8【答案解析】2 根据正弦定理， =k，3sinisinaBCa=ksinA，b=ksinB，c=ksinC，2acosA=bcosC+ccosB， 2sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB2sinAcosA=sin（B+C），A+B+C=， B+C=-A，2sinAcosA=sinA，sinA0，cosA= ，A= ，sinA= = ，12321cosA3根据正弦定理，得 ，sinB= sinA= = ，siniabABba1B= ，C= ，c= =2 故答案为：2 62233【思路点拨】首先，根据正弦定理，化简 2acosA
15、=bcosC+ccosB，得到2sinAcosA=sin（B+C ），然后，根据三角形的性质得到 A 的值，然后，再借助于正弦定理，得到 B= ，从而得到 C= ，最后，利用勾股定理求解其值2【题文】15.如图，已知边长为 1 的正方形 ABCD 位于第一象限，且顶点 A、D分别在 的正半轴上（含原点）滑动，则 的最大,xyOBC值是_【知识点】平面向量的数量积及应用 F3【答案解析】2 如图令OAD=，由于 AD=1 故0A=cos，OD=sin ，如图BAX= -，AB=1，故 xB=cos+cos（ -）22=cos+sin，y B=sin（ -）=cos故 =（cos+sin，cos）
16、同理可求得 C（sin ，cos+sin），即O=（sin ，cos+sin ），C =（cos+sin，cos）（sin ，cos+sin） =1+sin2，OBC 的最大值是 2故答案为 2【思路点拨】令OAD=，由边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A、D 分别在 x 轴、y 轴正半轴上，可得出 B，C 的坐标，由此可以表示出两个向量，算出它们的内积即可【题文】三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤。【题文】16.（本小题满分 13 分）某公司有男职员 45 名，女职员 15 名，按照分层抽样的方法组建了一个 4 人的科研攻关小组。（1
17、）科研攻关小组中男、女职员的人数；（2 ）经过一个月的学习、讨论，这个科研攻关组决定选出两名职员做某项实验，方法是先从小组里选出 1 名职员做实验，该职员做完后，再从小组内剩下的职员中选一名做实验，求选出的两名职员中恰有一名女职员的概率；【知识点】随事件的概率 K1【答案解析】 （）1（） 2（）P= ，某同学被抽到的概率为4605nm15设有 x 名男同学，则 = ，x=1 女同学的人数是 1。 x（）把 3 名男同学和 1 名女同学记为 a1，a 2，a 3，b，则选取两名同学的基本事件有（a 1，a 2），（a 1，a 3），（a 1，b），（a 2，a 1），（a 2，a 3），（a
18、2，b ），（a 3，a 1），（a 3，a 2），（a 3，b ），（b，a 1），（b ，a 2），（b ，a 3）共 12 种，其中有一名女同学的有 6 种选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为 P= 612【思路点拨】 （）某同学被抽到的概率是抽取人数与总人数的比值；根据分层抽样，男同学抽取的人数与抽取人数的比值和男同学的人数与总人数的比值相等，可以求出抽取的男同学的人数，进而可以求出抽取的女同学的人数；（）先列出总的基本事件，然后找出“选出的两名同学中恰有一名女同学” 的基本事件的个数，根据古典概型公式求出概率【题文】17.（本小题满分 13 分）已知递增等差数列 首项 ， 为其前
19、项和，且 成等比数列.na12nS123,S（1 ）求函数 的通项公式；（2 ）设 ，求数列 的前 项和 .14nbananT【知识点】等比数列数列求和 D3 D4【答案解析】 （1）a n=2（ ） n-1（2） (9n-1)134（1）设等比数列a n的公比为 q，S 1，2S 2，3S 3 成等差数列，4S 2=S1+3S3，a 1=2，4（2+2q）=2+6（1+q+q 2），即 3q2-q=0，解得 q=0（舍去）或 q= a n=2（ ） n-11（2）b n= =1n231()3nnT n=3-1+3+33+35+32n-3= = (9n-1)24【思路点拨】 （1）利用 S1，
20、2S 2，3S 3 成等差数列，确定数列的公比，即可求得数列的通项（2） = ，由此利用等比数列求和公式能求出数列b n的14nba12()3nn前 n 项和 Tn【题文】18.（本小题满分 13 分）如图所示， 平面 ，四边形 ，为正方形，且 、 、 、 分别是PABCDAEFGH线段 、 、 的中点.（1 ）求证：BC/平面 EFG；（2 ）求证： 平面 .DHAEG【知识点】空间中的平行关系空间中的垂直关系 G4 G5【答案解析】 （）略（）略（）BCAD，AD EF，BCEF ，BC平面 EFG，EF平面 EFG，BC平面 EFG；（）PA平面 ABCD，DH平面 ABCD，PADH，
21、即 AEDH ADGDCH，HDC=DAG，AGD+DAG=90AGD+ HDC=90DH AG又AEAG=A，DH平面 AEG【思路点拨】 （）利用平行公理证明 BCEF ，再利用线面平行的判定，证明 BC平面EFG；（）利用 PA平面 ABCD，证明 AEDH，利用ADGDCH，证明 DHAG，从而可证 DH平面 AEG【题文】19.（本小题满分 12 分）设函数 在 处取最小值.2()sincosin(0)fxxxx（1 ）求 的值；（2 ）若实数 满足 ，试求上 的值.1(),(,)52ffsin2cos1【知识点】两角和与差的正弦、余弦、正切 C5【答案解析】 （1） （2 ）- 8
22、（1）f（x）=2sinxcos 2 +cosxsin-sinx，f（x）=2sinx +cosxsin-sinx=sinx+sinxcos+cosxsin-sinx=sin（x+），cosf（x）=sin（x+），函数 f（x）在 x= 处取最小值且 0，= 2（2）根据（1）得 f（x）=sin（x+ ）=cosx，2f（）+f（ -）=cos+cos（ -）= ，sin+cos= ，1515 = = =-2sinsincos212sincosini(cosin)sin+cos= ，且 （ ，），5sin-cos= ，sin= ， 的值为- 74sin2cos85【思路点拨】 （1）首先，
23、化简函数解析式，得到 f（x）=sin（x+），然后，根据函数 f（x）在 x= 处取最小值，确定 = ；（2）根据（1），得到 f（x）=cosx，然后，根据 f（ ）+f（ -）= ，215得到 sin+cos= ，从而得到 sin-cos= ，最后，化简 =-2sin，1575sincos2从而确定其值【题文】20.（本小题满分 12 分）如图底面 ABCD 为菱形的直四棱锥 ，所有棱长都为1ABCD2， ，E 为 BB1 的延长线上一点， 面60BAD E.1C（1 ）求线段 的长度及三棱锥 的体积 ；1BE1EDAC1EDACV（2 ）若 AC 和 BD 交于点 O，在线段 是否存在
24、一点 P，使 /面 ？若存在，求O1P的值；若不存在，说明理由.1:DP【知识点】空间向量及运算 G9【答案解析】 （1） （2 ）253（1）如图所示，建立空间直角坐标系由题意可得 A( ， -1， 0)，C （0，2 ，0），D1（0，0 ，2），B( ， 1， 0)，3B1( ， 1， 2)设 E( ， 1， z)，3=( ， 1， z-2)， =( ， -1， -2)，EDA=（0，2，-2 ）=（0 ，2 ，-2）1DCD 1E面D1AC， ，解得 z=313102()zE( ， 1， 3)|B 1E|=2|D 1A|=2 =|D1C|，|AC|=2 ，3S ACD1= 2 = ，2()(35|D 1E|= = ()三棱锥 E-D1AC 的体积 V E-D1AC= SACD1|D1E|= = 3353（2）假设在线段 D1E 上存在一点 P，使 EO面 A1C1P连接 A1C1、B 1D1，相交于点 O1，连接 O1P，则 O1POE O( ， ， 0)，O 1( ， ， 2)，3 = =( ， ， 3)， ，另一方面 = ，1PE2321xy1DP1E
