1、广东省惠州市第一中学（惠州市）2015 届高三第二次调研考试数学（理）试题（解析版）【试卷综评】本试卷试题主要注重基本知识、基本能力、基本方法等当面的考察，覆盖面广，注重数学思想方法的简单应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评学生，有利于学生自我评价，有利于指导学生的学习，既重视双基能力培养，侧重学生自主探究能力，分析问题和解决问题的能力，突出应用，同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 请在答题卡上填涂相应选项.【题文】1设集合 |20Ax，集合 2|40Bx，则
2、AB( )A 2 B C , D 【知识点】集合的基本运算.A1 【答案解析】A 解析：由 240x，解得 2x，所以 2,，又 2，所以 2，故选 A.【思路点拨】先解出集合 A,B，再求交集即可。【题文】2. 复数 (1)zi（ i为虚数单位）在复平面上对应的点位于( )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【知识点】复数的乘法运算；复数的几何意义。L4 【答案解析】B 解析： (1)izi复数 z 在复平面上对应的点的坐标为1,，位于第二象限故选 B.【思路点拨】先利用复数的乘法运算求出 Z，再判断即可。【题文】3双曲线28xy的实轴长是( )A2 B2 C4 D 42 2【知识
3、点】双曲线方程及其简单几何性质。H6 【答案解析】C 解析：双曲线方程可变形为218xy，所以24,aa.故选 C.【思路点拨】先把双曲线28xy化成标准方程，再求出实轴长。【题文】4设向量 (1,0)a，1,b，则下列结论中正确的是 ( )A abB2abC /abD ab与 垂直【知识点】向量的数量积运算；向量的模的运算。F2 F3 【答案解析】D 解析：22110,()；102ab；()0ab，故 ab与垂直故选 D.【思路点拨】依次对每个选项排除即可。【题文】5为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取 30 名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为 e
4、m，众数为 0，平均值为 x，则( )A em0x B em0xC D【知识点】中位数、众数、平均数。I2 【答案解析】D 解析：由图可知，30 名学生的得分情况依次为： 2 个人得 3 分，3 个人得 4 分，10 个人得 5 分，6 个人得 6 分，3 个人得 7 分，2 个人得 8 分，2 个人得 9 分，2个人得 10 分中位数为第 15,16 个数(分别为 5,6)的平均数，即 em5.5,5 出现的次数最多，故 0m5 ，2341059103x5.97于是得 e.故选 D.【思路点拨】利用定义分别求出中位数，众数、平均数，再比较大小即可。【题文】6. 设平面 与平面 相交于直线 m
5、，直线 a在平面 内，直线 b在平面 内，且 bm，则“ ”是“ ab”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【知识点】充要条件。A2 【答案解析】A 解析：若 ，又 ,mb，根据两个平面垂直的性质定理可得 b，又因为 a，所以 ；反过，当 /a时，因为 bm，一定有 a，但不能保证 ，即不能推出 .故选 A。【思路点拨】对给出的结论双向判断即可。【题文】7已知 0a, x, y满足约束条件13()xya，若 2zxy的最小值为 1，则 a( )A.14B. 12C 1 D【知识点】简单的线性规划。E5 【答案解析】B 解析：由已知约束条件，作出可行域
6、如图中ABC 内部及边界部分，由目标函数 2zxy的几何意义为直线 l： 2yxz在 y轴上的截距，知当直线 l 过可行域内的点 (1,)Ba时，目标函数 z的最小值为 1，则12,2a。故选 B.【思路点拨】根据线性约束条件画出可行域，再利用目标函数所表示的几何意义求出 a 的值。【题文】8. 某学校要召开学生代表大会，规定各班每 10 人推选一名代表，当各班人数除以 10 的余数大于 6 时再增选一名代表那么，各班可推选代表人数 y与该班人数 x之间的函数关系用取整函数 yx ( 表示不大于 x的最大整数）可以表示为 ( )A 10xyB 310C410yD510xy【知识点】函数的解析式
7、。B1 【答案解析】B 解析：当各班人数除以 10 的余数大于 6 时再增选一名代表，可以看作先用该班人数除以 10 再用这个余数与 3 相加，若和大于等于 10 就增选一名代表，将二者合并便得到推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系，用取整函数 yx ( 表示不大于 x的最大整数）可以表示为 10故选 B.【思路点拨】结合给出的新定义“取整函数 yx ( 表示不大于 x的最大整数） ”直接可得结果。二、填空题（本大题共 7 小题，分为必做题和选做题两部分每小题 5 分，满分 30 分）（一）必做题：第 9 至 13 题为必做题，每道试题考生都必须作答【题文】9已知24(0)()xf
8、，则不等式 ()fx的解集为 【知识点】分段函数的性质；一元二次不等式的解法。E3 【答案解析】 (5,0),) 解析：由 ()fx，可得240x或240x，解得 xx或 ，所以原不等式的解集为 (5,),)【思路点拨】把原不等式转化为不等式组，再求并集即可。【题文】10曲线 :Clnyx在点 (1,0)处的切线方程为 【知识点】导数的几何意义。B11 【答案解析】 1xy 解析：由ln()xf，则 21ln()xf.所以(1)f，即切线 L 的斜率为 1。又切线 L 过点(1,0) ，所以切线 L 的方程为 y. 一般方程为 0xy.【思路点拨】先对原函数求导，即可求出斜率，再利用点斜式写出
9、直线方程。【题文】11523x展开式中的常数项为 【知识点】二项式定理。J3 【答案解析】 40 解析：52 105132rrrr rrTCxCx ，令 0r，得 2r，故常数项为20354.【思路点拨】利用二项式定理的展开式得到 10512rrrTx，再令 r即可解得 ，可求结果。【题文】12锐角 ABC中，角 ,所对的边长分别为 ,ab，若 sinBb，则角 A等于 【知识点】正弦定理；解三角方程。C8 【答案解析】 6解析：由正弦定理得， 2sinaBb可化为 2sinsiAB，又sin0B，所以1sin2A，又 C为锐角三角形，得 6.【思路点拨】先由正弦定理转化成角与角的关系即可解得
10、 A.【题文】13在正项等比数列 na中， 512， 673a，则满足 1212na 的最大正整数 n的值为_【知识点】等比数列的基本性质.D3 【答案解析】 解析：设等比数列 na的公比为 (0)q由 5671,3,2a可得21()3,q即260,q所以 2q，所以62n，数列 n的前 项和5nS，所以 (1)11nnaa，由122na 可得(1)52nn，由(1)52n，可求得的最大值为 12，而当 3时， 813不成立，所以 的最大值为 12.【思路点拨】根据题意可得()52n，再求出 n的最大值即可。（二）选做题：第 14、15 题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的
11、得分【题文】14 （极坐标与参数方程）已知圆的极坐标方程为 4cos，圆心为 C，点P的极坐标为4,3，则 |CP_.【知识点】参数方程与极坐标。N3 【答案解析】 2 解析：由 4cos可得圆的直角坐标方程为 ()4xy，圆心 (2,0)点 P的直角坐标为 (2,3)，所以 23CP.【思路点拨】先把极坐标方程转化为普通方程，再求出 |P。【题文】15 （几何证明选讲）如图所示， O的两条切线 A和 B相交于点 ，与O相切于 ,AB两点， C是 上的一点，若 70，则 C_.（用角度表示）【知识点】弦切角。N1 【答案解析】55 解析：如图所示，连接 ,OAB，则 ,PAOB.故 10OAB
12、，152C.【思路点拨】连接 ,，则 ,.再根据 10OAB求出结果即可。三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤【题文】16 （本题满分 12 分）设向量 3sin,ax， cos,inbx，0,2.（1 ）若 b，求 的值；（2 ）设函数 ()fxa，求 ()fx的最大值【知识点】三角函数的性质；平面向量的模。C3 F3 【答案解析】 （1） 6；（2） 3解析：(1)由22(3sin)(i)sinaxx， . （1 分）22co)1b， .（2 分）及 a，得2sin4x.又0,x，从而1i， .（4 分）所以 6.（6 分）（2） 231(
13、)3sincosisincos2fxabxxx1sin(2)6x， .（9 分）当0,x时，5,6所以当2,63x即时，sin(2)x取得最大值 1 .（11 分）所以 ()fx的最大值为 2. .（12 分）【思路点拨】 （1）借助于 ab，得21sin4x，再解可得结果；（2）先化简整理得到函数 ()fx，再求最大值即可。【题文】17 （本题满分 12 分）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上 40件产品作为样本称出它们的重量(单位：克 )，重量的分组区间为490,5， ,0， 510,，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示（1 ）根据频率分布直方图，求重量超
14、过 克的产品数量；（2 ）在上述抽取的 40件产品中任取 2件，设 Y为重量超过 50克的产品数量，求 Y的分布列；（3 ）从该流水线上任取 5件产品，求恰有 件产品的重量超过 克的概率【知识点】频率分布直方图.I2 【答案解析】 （1）12 （2）见解析；（3）0.3087解析：(1)根据频率分布直方图可知，重量超过 505 克的产品数量为(0.5)40(件) .（2 分）(2)Y的可能取值为 0,1,2. .（3 分）284063()1CP.（4 分）28405()Y.（5 分）2140()3CPY.（6 分）Y 的分布列为.（ 7 分）(3)利用样本估计总体，该流水线上产品重量超过 50
15、5 克的概率为 0.3.（8 分）令 为任取的 5 件产品中重量超过 505 克的产品数量，则 (,0.3)B， .（10 分）故所求概率为235(0.).70.8PC.（12 分）【思路点拨】 （1）由频率分布直方图可计算得到结果；（2 ）依次求出概率就得到分布列；(3)由已知可得 (,.3)B，利用公式可求概率。【题文】18 （本题满分 14 分）如图，四棱锥 PACD中，底面 AB为平行四边形， 60DAB， 2，1AD， 底面 .（1 ）证明： ；（2 ）若 ，求二面角 PC的余弦值【知识点】线面垂直的判定定理；求作二面角的平面角。G5 G11 【答案解析】 （1）见解析；（ 2）27
16、7解析：（1）证明：因为 60DAB， AD，由余弦定理得 3. .（2 分）从而 22，故 . .（3 分）P面 ,ABC面 AB， PB.（4 分）又 D 所以 平面 . .（5 分）故 . .（6 分）（2 ）如图，以 D 为坐标原点，射线 DA，DB，DP 分别为 x,y,z 的正半轴建立空间直角坐标系 Dxyz ， 则 (1,0)(,30),(1,)(0,1)ABCP(,3BP， .（8 分）设平面 PAB 的法向量为 (,)nxyz，Y0 1 2P 63130 56130 11130则0nABP即30xyz因此可取 (,1)n .（10 分）设平面 PBC 的法向量为 m，则0PB
17、C可取 (0,13).（12 分）则427cos,n故钝二面角 APBC 的余弦值为 . .（14 分）277【思路点拨】 （1）先由余弦定理计算出 BD,再结合勾股定理证明出 BDA，然后利用线面垂直的判定定理即可；（2）以 D 为坐标原点，射线 DA，DB ，DP 分别为 x,y,z 的正半轴建立空间直角坐标系 Dxyz， 则 (1,0)(,30),(1,)(0,1)ABCP然后求出法向量 (3,1)n， m再代入公式即可。【题文】19 （本题满分 4分）设数列 na的前 项和为 nS，已知 1a，2123nSan， *N.（1 ）求数列 的通项公式；（2 ）证明：对一切正整数 n，有 1
18、274naa.【知识点】等差数列的通项公式；不等式的证明。D2 E7 【答案解析】 （1）2na；（ 2）见解析解析：（1） （解法一） 依题意， 12,3S又 1Sa，所以 24 （2 分）当321nan时 ，32112()()(1)()nnSan，两式相减得 32 321()()()()(1)n na n整理得 1()()na，即1a， （6 分）又21a，故数列n是首项为 1，公差为 1 的等差数列，所以(),n所以2na（8 分）（解法二） 2123nSa， 1，得 9432a， ， .（2 分）猜想6)(n.（3 分） 下面用数学归纳法证明：（1）当 时，猜想成立； （2）假设当 nk时，猜想也成立，即1(2)6kkS.（4 分）当 1时，213kkSa=21()63kk()() 21(3)1k（ ） （ ），. （5 分）11kkSa 22(2)(1)76)(1)2(3)6 6kkk（ ）1nk 时，猜想也成立 .（6 分）由（1） ， （2）知，对于 nN，猜想成立。
