1、四川省成都高新区 2015 届高三 10 月统一检测数学（理）试题第卷（选择题，共 50 分）一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,请将答案写在答题卷上）1设集合 A x|x20 ，集合 B x|x240，则 AB 等于A 2 B2 C2,2 D 2有一个容量为 60 的样本，数据的分组及各组的频数如下：11.5， 15.5) 2 15.5,19.5) 4 19.5，235) 9 23.5,27.5) 16 27.5， 31.5) 9 31.5，35.5) 11 35.539.5) 6 39.5,43.5) 3 根据
2、样本的频率分布估计，数据落在31.5，43.5)的概率约是A. B. C. D.161312233 为虚数单位，复数 的实部和虚部之和为i iA.0 B.1 C.2 D.34一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是5如图所示的流程图，若输入的 x5.5，则输出的结果为A2 B1 C 0 D16.(x2- )5展开式中的常数项为3xA80 B-80 C40 D-407函数 f(x)2sin( x )( 0， xh),1)(2/ +=xhxf-称函数 具有性质 ，给出下列四个函数：f)(a ； ；131)(2+=xxf- 14ln)(+=xf ； xef)54()2- 2)(f其中具有
3、性质 的函数 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16 （本小题共 12 分）已知函数 2()2sinco3cs,.fxxxR（1）求函数 f（x）的周期和最小值及取得最小值时的 x 的集合；（2）当 时，求 f（x）的值域； ,0（3）在锐角ABC 中，若 ，求ABC 的面积.()1,2ABC17 （12 分）如图，直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，D ，E 分别是 AB，BB 1 的中点，AA 1ACCB AB.22(1)证明：BC 1平面 A1CD；(2)求二面角 DA 1CE 的正弦值 .18.(本小题满分 l2 分)某公司为了测试某款
4、电脑游戏软件的性能，要举行一种叫“电脑闯关比赛”的有奖活动，在一次“电脑闯关比赛”中，甲、乙两位选手在同等的条件下闯关成功的概率分别为和 。设甲、乙两位选手手闯关相互独立。325()求至少有一位选手闯关成功的概率；()公司根据以往参赛选手对这项活动支持的程度规定：若甲闯关成功可获得奖励300 元，若乙闯关成功可获得奖励 250 元，求该公司奖励的分布列和数学期望。19 （本小题共 12 分）在等比数列 14,2,6.naa中 已 知（I）求数列 的通项公式；（II）若 分别为等差数列 的第 3 项和第 5 项，试求数列 的通项公式及35,nbnba.nS前 项 和20 （本小题满分 14 分）
5、设函数 （ 为常数） ， ,)()(xagfxF2)(xef, ( 是自然对数的底数， ）. xgln2)(e7182.e()求曲线 在点 处的切线方程；)gy)1(,（）当 时，求函数 的最大值和最小值；0axF（）若函数 在 内存在两个极值点，求 的取值范围.)(x2, a21.（13 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知三点 A（-1，0 ） ，B（1，0） ， ，以)23,1(CA、B 为焦点的椭圆经过点 C。（I）求椭圆的方程；（II）设点 D（0，1） ，是否存在不平行于 x 轴的直线 与椭圆交于不同两点 M、N，使l？若存在，求出直线 斜率的取值范围；若不存在，请说明理由：)(
6、MNl（III）对于 y 轴上的点 P（0，n） ，存在不平行于 x 轴的直线 与椭圆交于不同)0(l两点 M、N，使 ，试求实数 n 的取值范围。0)(MNP高新区高 2015 届 2014 年第 10 学月数学试题答案数学（理）一选择题：本大题 10 小题；每小题 5 分，共 50 分。请把答案填写在后面的答题卡内。题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 A B B D D C A B D C二填空题：本大题共 5 个小题；每小题 5 分，共 25 分。请把答案填在下列横线上。11、 ；12、 (0， 13、 180； 14、0 a1. 15、 32 3三解答题：本大题共 6
7、个小题；共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 （本小题共 12 分）已知函数 2()2sinco3cs,.fxxxR（1）求函数 f（x）的周期和最小值及取得最小值时的 x 的集合；（2）当 时，求 f（x）的值域； ,0（3）在锐角ABC 中，若 ，求ABC 的面积.()1,2ABC解： ()sin3(1cos23fxxsin3cosx2in()3x（2 分）（1） （3 分） T2k即 时 （4 分） （5 分）zkx,5 min()fx（2） ， （6 分）3,2,0x（7 分） 1,3)sin(x所以 f（ x）的值域是 （8 分）2,（3） （9 分）()2si
8、n()13fA21)3sin(x 由 得 （10 分）o4A而 （11 分）cosCB|BAC （12 分）12|in2AS17 （12 分）如图，直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，D ，E 分别是 AB，BB 1 的中点，AA 1ACCB AB.22(1)证明：BC 1平面 A1CD；(2)求二面角 DA 1CE 的正弦值 .(1)证明 连接 AC1交 A1C 于点 F，则 F 为 AC1的中点.又 D 是 AB 的中点，连接 DF，则 BC1DF .因为 DF平面 A1CD，BC 1平面 A1CD，所以 BC1平面 A1CD.(2)解 由 ACCB AB 得，ACBC.22以 C 为坐标
9、原点， 的方向为 x 轴正方向， 的方向为CA CB y 轴正方向， 的方向为 z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 Cxyz.CC1 设 CA2，则 D(1,1,0)，E (0,2,1)，A 1(2,0,2)， (1,1,0) ， (0,2,1)， (2,0,2).CD CE CA1 设 n(x 1，y 1，z 1)是平面 A1CD 的法向量，则Error!即Error!可取 n(1 ，1，1).同理，设 m 是平面 A1CE 的法向量，则Error!可取 m(2,1，2).从而 cosn，m ，故 sinn，m .nm|n|m| 33 6318.(本小题满分 l2 分)某公司为了测试
10、某款电脑游戏软件的性能，要举行一种叫“电脑闯关比赛”的有奖活动，在一次“电脑闯关比赛”中，甲、乙两位选手在同等的条件下闯关成功的概率分别为和 。设甲、乙两位选手手闯关相互独立。325()求至少有一位选手闯关成功的概率；()公司根据以往参赛选手对这项活动支持的程度规定：若甲闯关成功可获得奖励300 元，若乙闯关成功可获得奖励 250 元，求该公司奖励的分布列和数学期望。解：()设“至少有一位选手闯关成功”为事件 ， 则 的对立事件 为“两位选手闯关AA都没有成功” ，因为甲、乙闯关成功的概率分别为 , ，则325， 3 分1523)51(32)( AP根据对立事件概率之间的公式可得 ，15)()
11、(AP所以至少有一位选手闯关成功的概率为 。6 分153() 设该公司奖励为 ，则 =0，250，300， 550 由独立试验的概率计算公式可得：152)3(21)0(P 513)2()50(P43所以 的分布列如下：10 分所以该公司奖励的数学期望为.12 分5201435201)(E 3502819 （本小题共 12 分）在等比数列 4,16.naa中 已 知0 250 300 550)(P1521542（I）求数列 的通项公式；na（II）若 分别为等差数列 的第 3 项和第 5 项，试求数列 的通项公式及35,nbnba.nS前 项 和解：（）由 得 （2 分）3418aq2q （3
12、分）12n（） （6 分）3135584bda12bd （7 分）6()2nn（8 分）128nab（9 分）23(4)(2)nnS（10 分）2 16140(2)n 123()8nn （11 分）2 1()56(nS = （12 分）121)568nn 802)33nnS20 （本小题满分 14 分）设函数 （ 为常数） ， ,()(xagfxF2)(xef, ( 是自然对数的底数， ）. xgln2)(e7182.e()求曲线 在点 处的切线方程；)gy)1(,（）当 时，求函数 的最大值和最小值；0axF（）若函数 在 内存在两个极值点，求 的取值范围.)(x2, a解：()函数 的定义
13、域为 ， .gln),0(21(g因为 ，所以所求切线斜率为 . 2 分xx1)(2 故曲线 在点 处的切线方程为)(xgy)1(,，即 . 3203yx分（）函数 的定义域为 .)ln2()(xaxeF),()1()(242x23)xae. 5 分3)(x由 可得 ，令 得 .0a0aex 0)(xF2所以，当 时， ，函数 单调递减；)2,()(xy当 时， ，函数 单调递增.x)(xF所以，当 时，函数 取得极小值 ，函数 无极2F)2ln1(4)2(ae)(xF大值.故函数 的最小值为 ，函数 无最大值 . 8 分)(xF)2ln1(42ae)(xF（）由（）知， 时，函数 在 内单调
14、递减，0axF,0故函数 在 内不存在极值点； 9 分)(x2,当 时，设函数 .),)(xaexh因为 ,xaehln)(当 时 ,10当 时， , 单调递增,)2(x0)(aexh)(xhy故 在 内不存在两个极值点；11f0,分当 时，1a得 时， ，函数 单调递减，)ln,0(x0)(xh)(xhy时， ，函数 单调递增.所以，函数 的最小值为 ,)(xy)ln1()(la函数 在 内存在两个极值点,)(F02当且仅当 13 分2ln0)(lah解得 .e综上所述，函数 在 内存在两个极值点时， 的取值范围为 14 分)(xF0,2a2(,)e21.（13 分）在平面直角坐标系 xOy
15、 中，已知三点 A（-1，0 ） ，B（1，0） ， ，以3,1CA、B 为焦点的椭圆经过点 C。（I）求椭圆的方程；（II）设点 D（0，1） ，是否存在不平行于 x 轴的直线 与椭圆交于不同两点 M、N，使l？若存在，求出直线 斜率的取值范围；若不存在，请说明理由：)(MNl（III）对于 y 轴上的点 P（0，n） ，存在不平行于 x 轴的直线 与椭圆交于不同)0(l两点 M、N，使 ，试求实数 n 的取值范围。)(解：（I）设椭圆方程为 ，据 知，)0(12bayx )23,1()0,1(CBA所求椭圆方程为 6341)23(22bba解 得 342yx分（II） |0)( DNMNDM等 价 于条 件
