1、北京市北师大二附中2015届高三上学期期中考试数学（理）试题一.选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）1. 的值为 ( ) sin5A B C D2232322. 与函数 yx 有相同图象的一个函数是 ( ) A. B. ( 0 且 )logaxy1C. D. ( 0 且 ) 2x a3. 在数列 na中，若 12，且对任意的正整数 n 都有 ，则 8a的值为 2n（ ）A256 B128 C64 D324. 预测人口的变化趋势有多种方法， “直接推算法”使用的公式是，其中 为预测人口数， 为初期人口数， 为预测年内增长率，01()nnPknP0Pk为预测期间隔年数如果在某
2、一时期有 ，那么这期间人口数 1k( )A. 呈上升趋势 B. 呈下降趋势C. 摆动变化 D. 不变5. 已知抛物线 的焦点为 ，准线与 轴的交点为 ，点 在 上且2:8CyxFxKAC，则 的面积为 ( ) AKFAKA. B. C. D.416326. 若函数 ()yfx的导函数在区间 ,ab上是增函数，则函数 ()yfx在区间 ,ab上的图象可能是 ( ) 7.已知点yababa o xo xyba o xyo xybA B C D),(yxP的坐标满足条件 0321yx，那么点 P 到直线 0943yx的距离的最小值为 ( ) A. 514 B. 56 C.2 D.18. 如果对于函数
3、 的定义域内的任意 ，都有()yfxx()NfxM（ 为常数）成立，那么称 为可界定函数， 为上界值， 为下界值设上界,MN)(f值中的最小值为 ，下界值中的最大值为 给出函数 ， ，那么mn2()fx1(,)x的值 （ ）nA大于 9 B等于 9 C小于 9 D不存在二填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）9. 设集合 ，则 = . 1|3,|04xAxBAB10. 命题“ ，使得 ”的否定是 .R2511. 若双曲线 21xky的一个焦点是 (3,0)，则实数 k .12.设 ， ，若 是 的充分条件，则实数 的取值范围是 .41:m:m13. 在 ABC中，三个内角
4、A， B， C的对边分别为 a， b， c若 25，4B， 5sin，则 c ； a .14已知两个正数 ,ab,可按规则 b扩充为一个新数 c,abc三个数中取两个较大的数,按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作.（1）若 ,3,按上述规则操作三次,扩充所得的数是_；（2）若 0pq，经过 6 次操作后扩充所得的数为 (1)mnqp（ ,mn为正整数） ，则 ,n的值分别为 .三解答题（本大题共 6 小题，共 80 分）15 （本小题满分 13 分）已知函数 xxf 2sin1co3)(2（）求 )(xf的最小正周期；（）求 在区间 46， 上的最大值和最
5、小值16 （本小题满分 13 分） 已知以点 P为圆心的圆经过点 1,0A和 3,4B，线段 A的垂直平分线交圆 P于点 C和 D，且 |10.（）求直线 的方程及圆 的方程；（）设点 Q在圆 上，试问使 QAB的面积等于 8 的点 Q共有几个？证明你的结论.17 （本小题满分 13 分） 已知公差不为 0 的等差数列 的首项 为 ，且 ，na1)(Ra1， 成等比数列21a4（）求数列 的通项公式；na（）对 ，试比较 与 的大小*N23211.naa18 （本小题满分13分）已知函数 ( 为实常数).xxf l)()(2（）若 2a，求曲线 在 处的切线方程；y1（）讨论函数 )(xf在
6、上的单调性；1,e（III）若存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围.()0fxa19（本小题满分 14 分）已知椭圆的中心在坐标原点 O，焦点在 x 轴上，短轴长为 2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点过右焦点 F 与 x 轴不垂直的直线交椭圆于 P，Q 两点（）求椭圆的方程；（）当直线 的斜率为 1 时，求POQ 的面积；l（III）在线段 OF 上是否存在点 M(m,0)，使得以 MP，MQ 为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由20 （本小题满分 14 分）已知有穷数列 ： ，( ).若数列 中各项都是集A12,na 2A合 的元素，
7、则称该数列为 数列.对于 数列 ，定义如下操作过程 ：从|1xT中任取两项 ，将 的值作为 的最后一项，然后删除 ,这样得到一个A,ija1ijaija项的新数列1n(约定:一个数也视作数列). 若 还是 数列，可继续实施操作过程 ，得到的新数列记1AT作 ， ,如此经过 次操作后得到的新数列记作 .2A kkA（）设 请写出 的所有可能的结果；1:0.31（）求证：对于一个 项的 数列 ,操作 T 总可以进行 次；n1n（）设 求 的可能结果，并说明理由.551:764236A， ， ， ， ， ， ， ， 9A答案 一 选择题（每题5分共40 分）二填空题（每题5分共30 分）9. 10.
8、 34x2,50xRx使11. 12. 184m13. 2； 6 14. 255； 8,13 三解答题15. （本题 13 分）解：（） xxf 2sin1co3)( 3i2sx)3in( T 7 分 （）因为 46x，所以 65320x 当 23x时，即 1时， )(f的最大值为 21 当 0时，即 6x时， xf的最小值为 3. 13 分16. （本题 13 分）解：直线 AB的斜率 1k ， AB中点坐标为 1,2 ，1 2 3 4 5 6 7 8A D A B B A C B直线 CD方程为 21yx即 +y-3=0 （3 分）设圆心 ,abP，则由 在 上得：30 又直径 |41C,
9、 |210A,2()ab （6 分）由解得 36ab或52ab圆心 ,P 或 , 圆 的方程为 22340xy 2540xy8 分 （2） 2AB ， 当 QAB面积为 8时 ，点 Q到直线 AB的距离为。 又圆心 P到直线 的距离为 42，圆 P的半径 210r 且 4210每个圆上都有两个点 Q使 AB的面积为 8所以，共有 4 个点满足条件 13 分 17. （本题 13 分）解：（）设等差数列 的公差为 ，由题意可知nad214()a即 ，从而211()(3)ad21a因为 0,.所 以故通项公式 5 分.na（）记 2 2211,nnTa 因 为所以 21()112()()2nnnn
10、Taaa从而，当 时， ；当 13 分01nT10,.nT时18. （本题13分） 解:(1) 2a时， xxfln2)(， ，)(f所求切线方程为y=1. 3分 xaxaxxf 12)()(2 e,当 即 时，12a， ，此时， 在 上单调增；ex,0)(xf)(xfe,1当 即 时，a21e2时， ， 上单调减；,x0)(xf)(f2,1a时， ， 在 上单调增；ea,2)(f)(xfe,当 即 时， ，此时， 在 上单调减； 8分ex,10)(xf)(xfe,1 方法一：当 时， 在 上单调增， 的最小值为2a)(xf 1)(af当 时， 在 上单调减，在 上单调增ea2)(xf2,1a
11、ea,2的最小值为)(xf14lnl4f， 12ln02aea1430142ln)(afe当 时， 在 上单调减， 的最小值为ea2)(xf,)(xf aeef2)(212e0)(efa综上， 13分方法二：不等式 ，可化为 xxa2)ln(0)(xf ,1e, 1ln且等号不能同时取，所以 xln，即 0lnx，因而 xal2（ ,e）令gln)(2（ ,1） ，又2)ln(1)(xxg，当 ,1ex时， l,0x， 0l2，从而 )(g（仅当x=1时取等号） ，所以 )(xg在 ,1e上为增函数，故 x的最小值为 1)(g，所以 a的取值范围是 ),13分19. （本题 14 分）解：(1
12、)由已知，椭圆方程可设为 1( ab0)x2a2 y2b2两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为 2， b c1， a .2所求椭圆方程为 y21. 4 分x22(2)右焦点 F(1,0)，直线 l 的方程为 y x1.设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)，由Error! 得，3 y22 y10，解得 y11， y2 .13 S POQ |OF|y1 y2| |y1 y2| .12 12 23(3)假设在线段 OF 上存在点 M(m,0)(0m1)，使得以 MP、 MQ 为邻边的平行四边形是菱形因为直线与 x 轴不垂直，所以设直线 l 的方程为 y k(x1)( k0)由
13、Error! 可得，(12 k2)x24 k2x2 k220. x1 x2 ， x1x2 .4k21 2k2 2k2 21 2k2( x1 m， y1)， ( x2 m， y2)， ( x2 x1， y2 y1)其中 x2 x10 以MP MQ PQ MP， MQ 为邻边的平行四边形是菱形( ) ( ) 0MP MQ PQ MP MQ PQ ( x1 x22 m， y1 y2)(x2 x1， y2 y1)0( x1 x22 m)(x2 x1)( y1 y2)(y2 y1)0( x1 x22 m) k(y1 y2)0 k2 0(4k21 2k2 2m) ( 4k21 2k2 2)2 k2(24
14、k2)m0 m (k0)k21 2k20 m . 14 分1220. （本题 14 分）解：（） 有如下的三种可能结果： 3 分1A1115:,;:,;:0,327AA（） ，有,|abx且()011().11abab所以 ，即每次操作后新数列仍是 数列.ab|x 又由于每次操作中都是增加一项，删除两项，所以对 数列 每操作一次，项数就减少一A项，所以对 项的 数列 可进行 次操作（最后只剩下一项） nA1n7 分（）由（）可知 中仅有一项.9对于满足 的实数 定义运算： ，下面证明,|1)abx,ab1ab:这种运算满足交换律和结合律。因为 ，且 ，所以 ，即该运算满足交换律；1:因为 1()bcacacbabc 且 ()11cabccba:所以 ，即该运算满足结合律.()()aba所以 中的项与实施的具体操作过程无关 12 分9A选择如下操作过程求 ： 9A由（）可知 ；15237:易知 ； ； ； ；50704105:106:所以 ；5:A,6易知 经过 4 次操作后剩下一项为 .6综上可知： .14 分9:6
