1、云南省玉溪一中 2015 届高三上学期第二次月考数学（理）试题（解析版）【试卷综析】试题的题型比例配置与高考要求一致，全卷重点考查中学数学主干知识和方法，侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查，侧重于知识交汇点的考查.在函数、三角函数、数列、立体几何、导数、圆锥曲线、概率统计等仍然是支撑整份试卷的主体内容，尤其在解答题，涉及高中数学的重点知识.明确了教学方向和考生的学习方向.本卷具有一定的综合性，很多题由多个知识点构成，在适当的规划和难度控制下，效果明显，通过知识交汇的考查，对考生数学能力提出了较高的要求，提高了区分度，完全符合课改的要求和学生学习的实际情况.一.选择题：本大题共 12
2、小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若 为虚数单位，则 等于 ii1A. B. C.1 D.1【知识点】复数代数形式的混合运算L4 【答案解析】A 解析： = = =i，故选 Ai1【思路点拨】利用两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，运算求得结果【题文】2.已知集合 ， ，且 都是全集 的97|xM29|xyNNM,U子集，则右图中阴影部分表示的集合是 A. B. 23|x16|C. D.| |x【知识点】Venn 图表达集合的关系及运算A1 【答案解析】C 解析：M=x|x 7|9=x|2x16，则 CUMx|x16 或 x2
3、，又N=x|y= =x|3x3，C UMN=x| 3x2故选 C【思路点拨】先化简 M 集合，再求得其补集，再与 N 集合求交集即可。【题文】3.从 6 名男生和 2 名女生中选出 3 名志愿者，其中至少有 1 名女生的选法共有A36 种 B30 种 C42 种 D60 种【知识点】计数原理的应用J1 【答案解析】A 解析：从 6 名男生和 2 名女生中选出 3 名志愿者，共有 C83 种结果，其中包括不合题意的没有女生的选法，其中没有女生的选法有 C63，至少有 1 名女生的选法有 C83C63=5620=36，故选 B【思路点拨】从 6 名男生和 2 名女生中选出 3 名志愿者，共有 C8
4、3 种结果，其中包括不合题意的没有女生的选法，其中没有女生的选法有 C63 用所有的结果是减去不合题意的数字，得到结果【题文】4.双曲线 的渐近线方程为2145xyA B C Dy2x5yx25yx【知识点】双曲线的标准方程.H6 【答案解析】B 解析：双曲线 的渐近线方程整理得 4y2=5x2，解得2145xy52yx故选：B【思路点拨】在双曲线的标准方程中，利用渐近线方程的概念直接求解【题文】5一平面截球得到直径为 25cm的圆面，球心到这个平面的距离是 2cm，则该球的体积是A12 cm3 B. 36 cm3 C 64cm3 D 108cm3【知识点】球的体积和表面积.G8 【答案解析】
5、B 解析：作出对应的截面图， 截面圆的半径为 ，即 BC= ，球心 O 到平面 的距离为 2，OC=2 ，设球的半径为 R，在直角三角形 OCB 中，OB 2=OC2+BC2=4+（ ） 2=9即 R2=9，解得 R=3，该球的体积为 R3= 33=36，故选：B【思路点拨】根据条件求出截面圆的半径，根据直角三角形建立条件根据即可求出球的半径【题文】6.在等比数列 中， ， ，则na315413a52A B C 或 D 或399【知识点】等比数列的通项公式D3 【答案解析】D 解析：由等比数列 an的性质可得，a 5a11=3=a3a13，又 a3+a13=4，i=1s=0p=0WHILE i
6、2013 p=i*（i+1）s=s+1/pi=i+1WEND PRINT s END解得 a3=3，a 13=1 或 a3=1，a 13=3q 10=3 或 则 =q20=9 或 故选：D【思路点拨】由等比数列a n的性质可得，a 5a11=3=a3a13，又 a3+a13=4，联立解出，再利用等比数列的通项公式即可得出【题文】7.右图是一容量为 的样本的重量的频率分布直方图，10则由图可估计样本重量的中位数为 A B C D1.521.5【知识点】众数、中位数、平均数I2 【答案解析】C 解析：由题意， 5，10的样本有50.06100=30，10，15的样本有 50.1100=50，由于1
7、0，15的组中值为 12.5，所以由图可估计样本重量的中位数 12故选：C【思路点拨】由题意，5，10的样本有 50.06100=30，10，15的样本有 50.1100=50，结合10，15的组中值，即可得出结论【题文】8. 函数 图象的一条对称轴方程可以为2cos()yxA B C D 4x334x【知识点】二倍角的余弦；余弦函数的图象C3 C6 【答案解析】D 解析： = = ，令 2x=k， x= （kZ） ，函数 图象的一条对称轴方程可以为x=故选：D【思路点拨】先利用二倍角公式化简，再利用三角函数的性质，可得结论【题文】9右边程序运行后，输出的结果为 A B C D20120132
8、013420145【知识点】程序框图L1 【答案解析】C 解析：由题意，S= + + =1 + + = 故选：C【思路点拨】由题意，S= + + ，利用裂项法即可得出结论O 5 10 15 20频 率组 距重量0.060.1【题文】10.已知某几何体的正视图和侧视图均是边长为的正方形，则这个几何体的体积不可能是A. B. C. D.21413【知识点】由三视图求面积、体积G2 【答案解析】D 解析：几何体的正视图和侧视图均是边长为 1 的正方形，故它必是一个柱体，当它的底面是一个以 1 为两直角边的直角梯形时，其面积为 ，故排除 A；当它的底面是一个以 1 为直径的圆时，其面积为 ，故排除 B
9、；当它的底面是一个以 1 为边长的正方形时，其面积为 1，故排除 C；由于正视图和侧视图均是边长为 1 的正方形，故俯视图的面积最大为 11=1，即几何体的体积最大为 1 而 1，故这个几何体的体积不可能是，故选 D【思路点拨】由已知中几何体的正视图和侧视图均是边长为 1 的正方形，可得俯视图的面积最大为 11=1，即几何体的体积最大为 1，分析四个答案，可得结论 【题文】11.已知圆 ： ，平面区域 ： .若圆心C)()(22byax 037yx，且圆 与 轴相切，则 的最大值为C2A. B. C. D.493795【知识点】简单线性规划E5 【答案解析】B 解析：作出不等式组对应的平面区域
10、如图：圆心为（a，b） ，半径为 1，圆心 C，且圆 C 与 x 轴相切， b=1， 则 a2+b2=a2+1， 要使 a2+b2 的取得最大值，则只需 a 最大即可，由图象可知当圆心 C 位于 B 点时，a 取值最大，由 ，解得 ，即 B（6，1） ，当 a=6，b=1 时，a 2+b2=36+1=37，即最大值为 37，故选：C。【思路点拨】作出不等式组对应的平面区域，利用圆 C 与 x 轴相切，得到 b=1 为定值，此时利用数形结合确定 a 的取值即可得到结论【题文】12.在实数集 中定义一种运算“ ”， ， 为唯一确定的实数，且RRba,具有性质：（1）对任意 ， ； a0a（2）对任
11、意 ， ,b(0)b关于函数 的性质，有如下说法：函数 的最小值为 ；函数1()xfe )(xf3为偶函数； 函数 的单调递增区间为 xf )(f (,其中所有正确说法的个数为( )A B C D0123【知识点】命题的真假判断与应用A2 【答案解析】C 解析：由于对任意 a，b R，a*b=ab+（a*0）+（b*0） ，则由对任意 aR，a*0=a ，可得 a*b=ab+a+b则有 f（x）= （e x） =ex +ex+ =1+ex+对于，由于定义域为 R，则 ex0，1+e x+ 1+2 =3，当且仅当 ex= ，即有 x=0，f （x）取最小值 3，故 对；对于，由于定义域为 R，关
12、于原点对称，且 f（ x）=1+e x+ =1+ex+ =f（x） ，则 f（x）为偶函数，故对；对于，f（x）=e xex，令 f（x）0，则 x0，即 f（ x）的单调递增区间为0，+） ，故错故选：C【思路点拨】性质（2）可由性质（1）化简得，a*b=ab+a+b则 f（x）=1+e x+ ，由基本不等式，即可判断；由奇偶性的定义，求出 f（x） ，即可判断；可求出 f（x）的导数，令导数不小于 0，解出即可判断。第卷二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.13.在平面直角坐标系中，若直线 (s 为参数 )和直线 (t 为yxl12:1 12:tyaxl参数)平行，则常数 的值为_
13、 . a【知识点】直线的参数方程；参数方程化成普通方程N3 【答案解析】4 解析：直线 (s 为参数)，消去 s 得普通方程为 x2y1=0，yxl12:1直线 l2 的参数方程为 （t 为参数） ，消去 t 得普通方程为 2xaya=0，x2y1=0 的斜率为 k1= ，2xaya=0 的斜率 k2= ，l 1l2， ，解得：a=4验证 a=4 时两直线在 y 轴上的截距不等故答案为：4【思路点拨】化两直线的参数方程为普通方程，求出它们的斜率，由斜率相等验证截距不等得答案【题文】14已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，则 nanS1634a1S【知识点】等差数列的前 n 项和D2 【答案解析
14、】44 解析：设等差数列的公差为 d，则等差数列 an，a 1+a11=3a64， 2a 1+10d=3a1+15d4，a 1+5d=4，S 11=11a1+ d=11a1+55d=44故答案为：44【思路点拨】利用等差数列的通项公式化简 a1+a11=3a64，可得 a1+5d=4，再利用等差数列的求和公式，即可得出结论【题文】15. ，过定点 的动直线 和过定点 的动直线RmA0myxB交于点 ，则 的最大值是 03yx),(yP|P【知识点】点到直线的距离公式H2 【答案解析】5 解析：线 mxym+3=0 即 m（x 1）y+3=0，经过点定点 B（1，3） ，注意到动直线 x+my=
15、0 和动直线 mxym+3=0 始终垂直，P 又是两条直线的交点，则有 PAPB， |PA|2+|PB|2=|AB|2=10故|PA|PB| =5（当且仅当 时取“ =”）故答案为：5【思路点拨】先计算出两条动直线经过的定点，即 A 和 B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有 PAPB；再利用基本不等式放缩即可得出 |PA|PB|的最大值【题文】16.已知 ，正实数 满足 ，且 ，若 在|log|)(2xfnm,)(nfmf)(xf区间 上的最大值为 2，则 =_nm,2 【知识点】对数函数的单调性。B7 【答案解析】 解析：f（ x）=|log 2x|，且 f（m ）=f（n） ，mn=1
16、5若 f（x）在区间m 2，n上的最大值为 2，|log 2m2|=2， mn，m=n=2，n+m=故答案为：【思路点拨】先结合函数 f（ x）=|log 2x|的图象和性质，再由 f（m）=f（n） ，得到 m，n 的倒数关系，再由“若 f（x ）在区间m 2，n 上的最大值为 2”，求得 mn 的值得到结果3、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17. (本小题满分 10 分) 设函数 .()12fxxa（1）当 时，求函数 的定义域；5a()f（2）若函数 的定义域为 ，试求 的取值范围.()fxRa【知识点】函数的定义域及其求法B1 【答案解析】 （1） ；（2）4x或 ,
17、1解析：（1）当 时， ， 由5a()5fx1250x得 或 或 ，解得 或20x12x8204即函数 的定义域为()f4或（2）由题可知 恒成立，即 恒成立，而10xa12ax，所以 ，即 的取值范围为1()21x,1【思路点拨】 （1）在同一坐标系中作出函数 y=|x+1|+|x+2|和 y=5 的图象，结合图象写出：的解集，就是所求函数的定义域 （2）由题意知，xR 时，250|x+1|+|x+2|a 恒成立，故，|x+1|+|x+2|的最小值大于或等于a，从而得到 a 的取值范围【题文】18. (本小题满分 12 分) 已知 ABC的角 、所对的边分别是 bc、，设向量 ， ， （1，
18、1） .),bmcos,(inp（1）若 /,mn求角 B 的大小； （2）若 ， 边长 ，角 ,3C求 AB的面积4p2c【知识点】余弦定理；平面向量数量积的运算；同角三角函数基本关系的运用菁优网版权所有 C2 C8 F3 【答案解析】 （1） ；（2）4B解析：（1） /mncosinabA2sicoiRAR,t1.0,4BB（2）由 得4pba由余弦定理可知： 2cos3a22()3baba于是 ab =4 所以 1inABCS.【思路点拨】 （1）根据平面向量平行时满足的条件，得到一个关系式，利用正弦定理化简即可求出 tanB 的值，由 B 的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出 B
19、的度数；（2）根据平面向量的数量积的运算法则化简 ，得到 a+b 的值，然后由 c 及 cosC 的值，4pm利用余弦定理表示出 c2，变形后把 a+b 的值代入即可求出 ab 的值，然后由 ab 及 sinC 的值，利用三角形的面积公式即可求出ABC 的面积【题文】19.（本小题满分 12 分）在一次购物抽奖活动中，假设某 10 张券中有一等奖券 1张，可获价值 50 元的奖品；有二等奖券 3 张，每张可获价值 10 元的的奖品；其余 6 张没有奖.某顾客从此 10 张券中任抽 2 张，求：（1）该顾客中奖的概率；（2）该顾客获得奖品总价值 （元）的概率分布和期望 E( ).【知识点】离散型
20、随机变量及其分布列；等可能事件的概率；离散型随机变量的期望与方差菁优网版权所有 K6 K8 【答案解析】 （1） （2）分布列见解析，E( )=163解析：（1）P=1- =1- = .即该顾客中奖的概率为 . 2106C453232(2) 的所有可能值为：0，10，20，50，60（元）.且 P（ =0）= = ， P（ =10）= = ， P（ =20）= = ，2106C321063C52103C5P（ =50）= = . P（ =60）= = .210652103故 的概率分布为：0 10 20 50 60P 31521521从而期望 E( )=0 +10 +20 +50 +60 =1
21、6. 5【思路点拨】 （1）先求中奖的对立事件“没中奖”的概率，求“没中奖” 的概率是古典概型（2 ） 的所有可能值为： 0， 10，20 ，50，60，用古典概型分别求概率，列出分布列，再求期望即可【题文】20.（本小题满分 12 分）如图,在四棱柱 中，侧棱 底面1DCBA1A，ABCD， ， ， , ， （ ,/1kAB3D4k56)0(k(1)求证: 平面1(2)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ,求 的值;1C76k【知识点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定G5 G11 【答案解析】 （1）见解析；（2） 1k解析：（1）取 中点 ,连接 CDEB, /ABQ3四边形 为平行
22、四边形 且 4Ak在 中, V,5Ck22BEC,即 ,又 ,所以 90BECD/BEAQCD平面 , 平面 1AQ,又 , 1AI平面 D（2）以 为原点 , 的方向为 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标1,CDurr,xyz系 , , , (40)Ak(60)k(43)Bk1(40)A所以 , , (4,60)ACkur1(3)ABkur1(0,)Aur设平面 的法向量 ,则由 1Bnxyz1CnBr得 取 ,得 4603kxyz2(3,6)k设 与平面 所成角为 ,则 1A1BC11,sin|co,|Anurr,解得 .故所求 的值为 1 2673kkk【思路点拨】 （1）取 CD 的中点 E，连结 BE，证明 BECD，可得 CDAD，利用 AA1平面ABCD，可得 AA1CD，即可证明 CD平面 ADD1A1；（2）以 D 为原点， ， ， 的方向为 x，y， z 轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面 AB1C 的法向量，利用直线 AA1与平面 AB1C 所成角的正弦值为 ，建立方程，即可求 k 的值【题文】21.（本小题满分 12 分）已知定点 及椭圆 ,过点 的动直线)0,1(C532yx
