1、定义：已知平面上两点 A,B,则所有满足 PA/PB=k 且不等于 1 的点 P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，具体的描述：一动点 P 到两定点 A、B 的距离之比等于定比 m：n，则 P点的轨迹，是以定比 m：n 内分和外分定线段 AB 的两个分点的连线为直径的圆。该圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆。解题策略：利用两边成比例且夹角相等构造相似三角形（简称美人鱼相似）“阿氏圆”一般解题步骤第一步:连接动点至圆心 0(将系数不为 1 的线段的两个端点分别与圆心相连接),则连接 0P、OB;第二步:计算出所连接的这两条线段 OP、OB 长度;第三步:计算这两条线段长度的比
2、 =k;第四步:在 0B 上取点 C,使得 ;=第五步:连接 AC,与圆 0 交点即为点 P.阿氏圆最值问题例题精讲例 1:问题提出:如图 1,在 RABC 中, ACB=90 ,CB=4,AC=6.圆 C 半经为 2,P为圆上一助点,连结 AP,BP,求 AP+ BP 的最小值12尝试解决：为了解块这个间题,下面给出一种解题思路、如图 2,连接 CP,在 CB 上取点 D,使 CD=1 则有,又PCD=BCP,PCD BCP,=12 ，PD= ,AP+ AP+PD=12 12 12=请你完成余下的思考,并直接写出答案:AP+BP 的最小值为 。自主探索:在“间题提出”的条件不变的情况下,AP
3、+BP 的最小值为 。拓展延伸:已知扇形 COD 中,COD=90 ,0C=6,OA=3,0B=5,点 P 是弧 CD 上一点,求 2A+PB 的最小值。强化训练向内构造类型1,如图,已知 AC=6,BC=8,AB=10,圆 C 的半经为 4,点 D 是圆 C 上的动点,连接 AD、BD,则 AD+ BD 的最小值为 。122.在 RtABC 中,ACB=90 AC=4,BC=3,点 D 为ABC 内一动点,且满足 CD=2，则 AD+ BD 的最小值为 。 233、如图, 在 R ABC 中,C=90,CA=3,CB=4.C 的半径为 2,点 P 是C 上一动点,则 AP+ PB 的最小值为
4、 。124、如图, 四边形 ABCD 为边长为 4 的正方形, B 的半径为 2,P 是B 上一动点,则 PD+ PC 的最小值为 12。 PD+4PC 的最小值为 。25、如图, O 的半径为 ,PO= ,MO=2,POM=90 ,Q 为O 上一动点,则2 10 PQ+ QM 的最小值为 。226、如图, 已知菱形 ABCD 的边长为 4,B=60,B 的半径为 2,P为B 上一动点则 PD+ PC 的最小值为 。127、如图，点 C 坐标为(2 ，,5),点 A 的坐标为(7,0) ，C 的半为 ,点 B 在C 上一动10点,OB+ AB 的最小值为 。558、如图, 在面直角坐标系 xo
5、y 中， A(6，-1)，M(4,4)，M 为圆心,2 为半径画圆,02为原点,p 是M 上分动点,则 PO+2PA 的最小值为 .9、在平面直角坐标系中,A(2,0),B(0,2),C(4,0),D(3,2) 、P 是AOB 外部的第一象限内一动点,且BPA=135 则,2PD+PC 的最小值是 .10、如图,AB 为 O 的直径,AB=2,点 C 与点 D 在 AB 的同侧,且 ADAB,BC AB,AD=1,BC=3,点 P 是O 上的一动点,则 PD+PC 的最小值为 .2211、在 ABC 中,AB=9,BC=8,ABC=60,A 的半径为 6,P 是A 上的动点连接 PB、PC,则
6、 3PC+2PB 的最小值为 .12 如图,边长为 4 的正方形,内切圆记为O,P 是O 上一动点,则 PA+PB2的最小值为 。13、如图,等边ABC 的边长为 6,内切圆记为O,P 是O 上一动点,则2PB+PC 的最小值为 。14、如图,在ABC 中, B=90 AB=CB=2,以点 B 为圆心作圆 B 与 AC 相切,，点 P 为圆 B 上任一动点 ,则 PA+ PC 的最小值是 。2215、如图,菱形 ABCD 的边长为 2,ABC=60,A 与 BC 相切于点 E,点 P 是A 上一动点,PB+ PD 的最小值为 。3216 如图,Rt ABC 中,ACB=90 AC=8,BC=6
7、,点 P 是 AB 上一点,且 ，=，点 F 在以点 p 为圆心,AP 为半径的P 上, 则 CF+mBF 的最小值为 。17、 (1)如图 1,已知正方形 ABCD 的边长为 4,圆 B 的半径为 2,点 P 是圆 B上的一个动点,求 PD+ PC 的最小值和 PD PC 的最大值；12 12(2)如图 2,已知正方形 ABCD 的边长为 9,圆 B 的半径为 6,点 P 是圆 B 上的一个动点求 PD+ PC 的最小值23和 PD PC 的最大值；23(3)如图 3,已知菱形 ABCD 的边长为 4,B=90 圆 B 的半径为 2,点 P 是圆 B 上的一个动点,求 PD+ PC，12的最小值和 PD PC 的最大值。1218.如图, 在 R ABC 中,A=30 ,AC=8,以 C 为圆心,4 为半径作C。(1)试判断C 与 AB 的位置关系, 并说明理由；(2)点 F 是C 上一动点,点 D 在 AC 上且 CD=2,试说明FCD ACF；(3)点 E 是 AB 边上任意一点,在 (2)的情况下,试求出 EF+ FA 的最小值.12
