1、一道求最值题目引发的探究这道题目乍一看，应该不是很难，求三角形的面积，有多种方法，可以用底高2，也可以用海伦公式（已知三角形三边 a,b,c，则（海伦公式）（p=(a+b+c)/2）S=sqrtp(p-a)(p-b)(p-c)=sqrt(1/16)(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)=1/4sqrt(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)），还可以用三角函数法求解（已知三角形两边 a,b,这两边夹角 C，则S= absinC，即两夹边之积乘夹角的正弦值。）这些都是代数方法，而数学往往是数形结合求解，尤其是在几何题目里。那如何用代数法求解呢？直接套用求面积最基
2、本的公式好像不是那么容易就能解决，因为高不知道是多少。代数法：（方法一，海伦公式）假设 AC=X,则 AB=2AC=2X，由海伦公式得：4256109 )42x3()24x3(-x3 SABC）（根据三角形三边关系可以得到：得出x2443x令 t=x2，则 ，169t所以 4256109 )42x3()24x3(-4x322 ttSABC）（当 t 为对称轴时， ，980-1t）（3164256091 )42x3()24x3(4x3224 ttSMAXBC）（(方法二、三角函数求解)由已知条件知， AxAxSABC 222cos1sini212224165)(cosxxA所以 4256109-
3、cosini212xAxSABC剩下的步骤和方法一样了。这两种方法都是把几何问题转化成为了代数问题。那如果用几何方法来解决的话怎么处理呢？几何法：（构建相似三角形）在 AB 上取点 D，使得 AC=2AD，则 AC:AD=AB:AC=2:1,又A 是公共角， ，则 CD:BC=1:2,所以 CD=2，又因为ACB2AD=AC，AB=2AC，所以 AD=1/4AB,所以 BCDABS34:而只有当 CDBC 时， BCD 的面积最大，此时ABC 的面积最大。如图AB=2X，AC=X，BC=4,CD=2，BD=3/2X,当 CDBC 时,在直角三角形BCD 里，由勾股定理求得，x 2=80/9,316134max CDBSBCDABC对比这三种方法，前面两种方法是把几何问题转化成为了代数问题，使得在求解过程中不需要考虑图形了，而最后面这种构建相似三角形的方法，通过作图和计算求出面积最大值，数形结合思想发挥了很大的作用。写于 2018.8.8 号
