1、“胡不归”“阿氏圆”及旋转相似一、胡不归型【背景知识】有一则历史故事：说的是一个身在他乡的小伙子，得知父亲病危的消息后便日夜赶路回家。然而，当他气喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了。人们告诉他，在弥留之际，老人在不断喃喃地叨念：“胡不归？胡不归？”早期的科学家曾为这则古老的传说中的小伙子设想了一条路线。（如下图）A是出发地，B是目的地；AC是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧是沙地。为了急切回家，小伙子选择了直线路程AB。但是，他忽略了在驿道上行走要比在砂土地带行走快的这一因素。如果他能选择一条合适的路线（尽管这条路线长一些，但是速度可以加快），是可以提前抵达家门的。那么，这应该是那条路线呢
2、？显然，根据两种路面的状况和在其上行走的速度值，可以在AC上选定一点D，小伙子从A走到D，然后从D折往B，可望最早到达B。用现代的科学语言表达，就是：若在驿道上行走的速度为，在沙地上行走的速度为，即求的最小值.例题1、如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB2，则APBPCP的最小值为_解析：正方形ABCD为轴对称图形AP=PCABCDPAP+BP+CP=2AP+BP=即求的最小值接下去就是套路我们要构造一个出来连接AE，作DBE=30，交AC于E，过A作AFBE，垂足为F在RtPBF中，PBF=30由此我们把构造出来了的最小值即为AF线段的长BAE=45，AEB=60解直角ABE，
3、得AO=BO=，OE=，OB=根据面积法，=求出AF=（此外本题费马点亦可）例题2图1图2总结步骤：第一步：将所求线段和改写为的形式（1）第二步：在PB的一侧，PA的异侧，构造一个角度，使得sin=第三步：过A作第二步所构造的角的一边垂线，该垂线段即为所求最小值第四步：计算即可模型具体归纳如下：练习1如图，一条笔直的公路l穿过草原，公路边有一消防站A，距离公路5千米的地方有一居民点B，A、B的直线距离是13千米.一天，居民点B着火，消防员受命欲前往救火，若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时，而在草地上的最快速度是40千米/小时，则消防车在出发后最快经_小时可到达居民点B.(友情提醒：消防
4、车可从公路的任意位置进入草地行驶.)练习2练习4如图，ABC在直角坐标系中，AB=AC，A（0，2），C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为ADC，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为_练习5如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC=6，ABC=150，则线段AP+BP+PD的最小值为练习6如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（0，），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PB+PD的最小值为；练习
5、7如图，在ACE中，CA=CE，CAE=30，O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上（1）试说明CE是O的切线；（2）若ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示O的直径AB；（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为6时，求O的直径AB的长二、阿氏圆型阿氏圆也是形如的形式（1）最终还是化分为整。“阿波罗尼斯圆”：在平面上给定两点，设点在同一平面上且满足当且时，点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆。（时点的轨迹是线段的中垂线）如图：为固定值，则此时点P的运动轨迹为。证明：设B点坐标为（0，0）；A点坐标为（m，0）；P（x,y）.则，.由得整理得：所以当且
6、时，点的轨迹是个圆，圆心为，半径。所以此时有所以一定会有OPBOAP。例1.在ABC中，ABC=90，BC=8,AC=6,以C为圆心，4为半径的圆上有一个动点D,连接AD、BD、CD，则BD+AD最小值解析：根据阿氏圆定义=为定值，不妨设BC与圆C交与E点取EC中点F,由已知且FCD=DCB所以FCDDCBFD=BD所以BD+AD=FD+ADAF由勾股定理可得AF=2图1图2注意：阿氏圆本质与胡不归不同，构造的关键是利用相似三角形的判定：对应线段成比例夹角相等从而化分为整，最后转化为两点之间线段最短问题例2.如图，在ABC中，ACB=90，AC=BC=4，的半径为2，点D是上的动点，点E在BC
7、上，CE=1，连接AD、DE，则的最小值为_。例3.在ABC中，AB=9，BC=8，ABC=60，的半径为6，P是上的动点，连接PB、PC，则的最小值为_。练习1例2题图例3题图练习2如图，在RtABC中，ACB=90，CB=4，CA=6，C半径为2，P为圆上一动点，连结AP，BP，AP+BP的最小值为（）练习4练习5：（1）如图1，在ABC中，AB=AC，BD是AC边上的中线，请用尺规作图作出AB边上的中线CE，并证明BD=CE；问题探究：（2）如图2，已知点P是边长为6的正方形ABCD内部一动点，PA=3，求的最小值；问题解决：（3）如图3，在矩形ABCD中，AB=18，BC=25，点M是
8、矩形内部一动点，MA=15，当最小时，画出点M的位置，并求出的最小值。图1图2图3第25题图三、旋转相似旋转相似的由来：旋转相似成双对ABCABCABBACC（由相似判定二得来）常见几种特殊三角形的相似构造：1.等腰直角三角形的旋转相似以直角顶点为旋转中心以45角的顶点为旋转中心2.含30角的直角三角形的旋转相似例1如图，直线mn，且平行线之间的距离为3，直线n上有线段AB，始终保持AB2，点C是直线m上动点，连接AC，以AC为边，在AC左侧作矩形ACDE，使得边CD与边AC的比为，连接DB，求DB的最小值.例2，如图，BE、AC为四边形ABCE的对角线，CE=2，CAE=60，CAB=90，
9、CBA=30，连接BE，求BE的最大值.练习1如图，四边形ABCD中，BC=CD，BCD=90，BAD=45，SACD=9，求AD练习2在四边形ABCD中，BAC=ADC=90，且AD=CD,若BC=4，试求线段BD的最大值简析：构造等腰直角CBE，连接DE，取BC中点O，连接AO、EO,则AO+OEAE而CDBCAE,AE=DB,AO=2,OE=,故DB（max）=练习3如图，在凸四边形ABCD中，DAB=DBC=DCB=45，AB=,问ABC的面积是否为定值，若为定值求出这个定值；若不是请说明理由简析：作等腰直角AEB,易证EBDABCSAEB=SEBD所以SABC=16练习2如图O的半径为3，RtABC的顶点A，B在O上，A=30，B=90，点C在O内，当点A在圆上运动时，求OC的最小值简解：ABCOBD得BD=OD=又易得AOBCDB得DC=DB=OCOD-DC所以OC最小值为反思：如图O的半径为3，RtABC的顶点B，C在O上，B=90，BC:AB=3:4点A在O内，当点C在圆上运动时，求OA的最小值
