1、第一章 概率论的基本概念,1 随机试验,2 样本空间、随机事件,3 频率与概率,4 等可能概型（古典概型）,5 条件概率,6 独立性,5 条件概率,一、条件概率,二、乘法定理,三、全概率公式,四、贝叶斯公式,设,解:,问题(1)的样本空间为,问题(2)的样本空间为,已经发生的条件限制了的样本空间.,相对于原问题即问题(1),称 为缩减样本空间,任取一个两位数能被2整除,任取一个两位数能被3整除,即由已知,例 在所有的两位数10到99中任取一个数,(1)求此数能被2或3整除的概率,(2)若已知此数是偶数,问这个数能被3整除的概率,一、条件概率,例 在所有的两位数10到99中任取一个数,(1)求此
2、数能被2或3整除的概率,(2)若已知此数是偶数,问这个数能被3整除的概率,一、条件概率,容易求得,称作是已知 发生的条件下, 发生的条件概率,记为 .,从以上数据上看,有,AB,定义1,为事件B在条件A发生下的条件概率.,相对地,有时就把概率 等称为无条件概率.,此公式很重要，虽然我们是从特殊的例子得到的，但对,于古典概率、几何概率问题，可以证明这个公式都是正确的,。因此，我们就把这个公式作为条件概率的一般定义：,A发生的条件,条件概率,件下B发生的,用文氏图解释：,条件概率P(B|A)是在,(即投点落在A之内),问B发生的概率,(即点落在B内),确知A发生的条件下,也就是说,在已知点投在A内
3、的条件下,点也落在B内的概率.,显然,已知点投在A内,点也落在B内,则点只能落在AB内.,AB,从而,定理2 条件概率的性质：,（1）非负性,（2）规范性,（3）可加性,事件，则有,特别地,特别地,证明:略.,在计算条件概率时,一般有两种方法:,(1) 由条件概率的公式;,(2) 由P(B|A)的实际意义,按古典概型用缩减样本空间计算.,例1 一盒中混有100只新、旧乒乓球，各有黄、白两色，分类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的是一只黄球，试求该黄球是新球的概率。,解法一:,设A=取到一只黄球,B=取到一只新球.,10,由已知有,30,于是,则条件概率公式,有,20,40,新球,旧球,黄 球
4、,白 球,例1 一盒中混有100只新 ,旧乒乓球，各有黄、白两色，分类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的是一只黄球，试求该黄球是新球的概率。,解法二:,设A=取到一只黄球,B=取到一只新球.,10,当A发生时，样本空间缩减为60个样本点，其中B的有利益场合数为40，,30,于是, 有,20,40,新球,旧球,黄 球,白 球,用缩减样本空间计算,例2 已知某种动物自出生能活过20岁的概率是0.8，能活过25岁的概率是0.4。问现龄20岁的该种动物能活25岁的概率是多少？,解：,以 表示某该种动物“能活过20岁”的事件；,以 表示某该种动物“能活过25岁”的事件；,由已知,有：,于是，所求概率,
5、例2 已知某种动物自出生能活过20岁的概率是0.8，能活过25岁的概率是0.4。问现龄20岁的该种动物能活25岁的概率是多少？,条件概率是概率论中最重要的概念这一，作为一项描述与计算的工具，其重要性首先表现在当存在部分先验信息（如A已发生，在这里即动物已活过20岁）可资利用时，可归结为条件概率而对概率作出重新估计（如这里P(B|A)=0.5而不是P(B)=0.4了）。另外，条件概率也是计算某些概率的有效工具。,根据条件概率公式：,我们有：,定理3,乘 法 定 理,二、乘法定理,乘法定理的推广:,(1) 若P(AB)0,则有,证明:,由乘法定理,有,(2) 若 ,则有,证明:,由乘法定理,有,证
6、毕.,乘法定理的推广:,(1) 若P(AB)0,则有,例3 一批零件共100件，已知有10个是次品，现从中任意逐 次取出一个零件（取出后不放回），问第三次才取得正品的 概率是多少？,解：,设,“第 次取出的零件是正品”，,则所求概率为,由乘法公式，有,解：,设,由已知有,法一：,例4 对某种产品要依次进行三项破坏性试验。已知产品不能通 过第一项试验的概率是0.3；通过第一项而通不过第二项试验的 概率是0.2；通过了前面两项试验却不能通过最后一项试验的概 率是0.1。试求产品未能通过破坏性试验的概率？,于是，,又,代入上式，得,由,“产品未能通过第 项破坏性试验”，,“产品未能通过这三项破坏性试
7、验”，,例4 对某种产品要依次进行三项破坏性试验。已知产品不能通 过第一项试验的概率是0.3；通过第一项而通不过第二项试验的 概率是0.2；通过了前面两项试验却不能通过最后一项试验的概 率是0.1。试求产品未能通过破坏性试验的概率？,解：,设,由已知有,法一：,于是，,又,代入上式，得,由已知，有,“产品未能通过第 项破坏性试验”，,“产品未能通过这三项破坏性试验”，,法二:,利用对立事件性质，有,发生即为 中至少有一发生，,故有,三、全概率公式,1、划分（完备事件组）,设S为E的样本空间， 为E的一组事件，若,（1）,（2）,则称 为样本空间S的一个划分（或完备事件组）。,2、几点说明:,若
8、 为样本空间的一个划分，,那么，在每次,事件 中必有一个且仅有一个发生。,任意事件A与其对立事件 构成最简单的完备事件组。,（1）,试验中,（2）,构成一个完备事件组。,证明:,证毕.,(利用乘法公式),设S为E的样本空间，A为E的事件，,为S的一个,划分，且,则有,2、全概率公式,由 构成完备事件组，有,全概率公式的文氏图解释：,A,即,从而有,将事件A分解为若干个互不相容的较简单事件之和。,例1 袋中有大小相同的a个黄球,b个白球.现做不放回的摸球两次,求第2次摸得黄球的概率?,解：,“第1次摸到黄球”,“第1次摸到白球”,设,则显然有,记 A=“第2次摸到黄球”，,由全概率公式，有,黄
9、球,白 球,个 数,第一次后,a,b,a - 1,b,a,b - 1,例2 盒中放有12个乒乓球,其中9个是新的,3个是旧的.第一次比赛时,从中任意地取出3个来用,用毕仍放回盒子中(新球用后成了旧球),第二次比赛时再从盒中取出3个球来用,求第二次取出的3个球均为新球的概率?,解:,第二次取球时,盒中有几个新球未知,这是与第一次取球的,A=“第二次取出3球全是新球”,“第一次取出3球中有 k 个新球”,按全概率公式,有:,各种可能结果有关,可设,例2 盒中放有12个乒乓球,其中9个是新的,3个是旧的.第一次比赛时,从中任意地取出3个来用,用毕仍放回盒子中(新球用后成了旧球),第二次比赛时再从盒中
10、取出3个球来用,求第二次取出的3个球均为新球的概率?,新 球,旧 球,第一次摸球后,第一次摸球前,9,3,第一次摸的球,0,3,9,3,1,2,8,4,2,1,7,5,0,3,6,6,例3 某工厂有四条流水线生产同一产品, 已知这四条流水线的产量分别点到总产量15%,20%,30%和35%,又知这四条流水线的次品率依次为0.05,0.04,0.03 及0.02.现从该工厂的这一产品中任取一件,问取到次品的概率是多少?,解:,设A=“任取一产品,结果为次品”,“任取一产品,结果是第 k 条流水线的产品”,由已知条件,可得,于是,由全概率公式,有,例3 某工厂有四条流水线生产同一产品, 已知这四条
11、流水线的产量分别点到总产量15%,20%,30%和35%,又知这四条流水线的次品率依次为0.05,0.04,0.03 及0.02.现从该工厂的这一产品中任取一件,问取到次品的概率是多少?,于是,由全概率公式,有,例3 某工厂有四条流水线生产同一产品, 已知这四条流水线的产量分别点到总产量15%,20%,30%和35%,又知这四条流水线的次品率依次为0.05,0.04,0.03 及0.02.现从该工厂的这一产品中任取一件,问取到次品的概率是多少?,四、贝叶斯公式,若取到的是次品，求此次品是由第一条流水线生产的概率。,设 满足下面条件,(1),(2),则对任一具有正概率的事件,有,且,贝叶斯公式,
12、四、贝叶斯公式,四、贝叶斯公式,证明:,由条件概率的定义,有,上式分子应用乘法公式:,分母利用全概率公式：,即得。,四、贝叶斯公式,从推导上看,这个公式平淡无奇,其之所以著名,主要在于它的现实解释上: 概率 是在没有进一步信息(不知事件 A 是否发生)的情况下, 人们对各事件 发生可能性大小的认识,现在有了新的信息(已知A发生),人们对事件 发生可能性理应有新的估价.,四、贝叶斯公式,这种情况在日常生活中也屡见不鲜:原以为不大可能的事,可以因为发生了某种事件而变得可能,或者相反.而贝叶斯公式则从数量上刻画了这种变化.,例3(续) 某工厂有四条流水线生产同一产品,已知这四条流水线的产量分别点到总
13、产量15%,20%,30%和35%,又知这四条流水线的产品不合格率依次为0.05,0.04,0.03及0.02.现从该工厂的这一产品中任取一件,问取到不合格品的概率是多少?,若取到的是次品，求此次品是由第一条流水线生产的概率。,于是，由贝叶斯公式，有,例3(续) 某工厂有四条流水线生产同一产品,已知这四条流水线的产量分别点到总产量15%,20%,30%和35%,又知这四条流水线的产品不合格率依次为0.05,0.04,0.03及0.02.现从该工厂的这一产品中任取一件,问取到不合格品的概率是多少?,若取到的是次品，求此次品是由第一条流水线生产的概率。,同理，有,例3(续) 某工厂有四条流水线生产
14、同一产品,已知这四条流水线的产量分别点到总产量15%,20%,30%和35%,又知这四条流水线的产品不合格率依次为0.05,0.04,0.03及0.02.现从该工厂的这一产品中任取一件,问取到不合格品的概率是多少?,若取到的是次品，求此次品是由第一条流水线生产的概率。,同理，有,例3(续) 某工厂有四条流水线生产同一产品,已知这四条流水线的产量分别点到总产量15%,20%,30%和35%,又知这四条流水线的产品不合格率依次为0.05,0.04,0.03及0.02.现从该工厂的这一产品中任取一件,问取到不合格品的概率是多少?,若取到的是次品，求此次品是由第一条流水线生产的概率。,同理，有,例3(
15、续) 某工厂有四条流水线生产同一产品,已知这四条流水线的产量分别点到总产量15%,20%,30%和35%,又知这四条流水线的产品不合格率依次为0.05,0.04,0.03及0.02.现从该工厂的这一产品中任取一件,问取到不合格品的概率是多少?,若取到的是次品，求此次品是由第一条流水线生产的概率。,若将“抽检一件产品”说成一次试验,那么 是在试验之前就已经知道的概率,所以习惯上称为先验(先于试验)概率,这是过去已掌握情况的反映,这试验将出现的结果提供了一定的信息.在本例中,条件概率 反映了在试验以后,对A发生的各种“原因”(即不合格品的来源)的可能性的定量描述,通常称为后验概率.,在统计学中,依
16、靠收集的数据(相当于这里的事件A )去寻找感兴趣问题的答案.这是个“由结果找原因”性质的过程.,依据贝叶斯公式的思想发展的一整套统计推断的方法,称“贝叶斯统计”.,例4 用血清甲胎蛋白法普查肝癌.令,C =“受检查者患肝癌”,A=“受检查者的甲胎蛋白检验结果呈阳性”,检验方法虽相当可靠但还不尽完善,已知有,其中 表示“受检查者的检验结果呈阴性”,而 表示 “受检查者,又设人群中患肝癌的概率已知为,现若有一人被此检验法诊断为阳性(患肝癌),求此人确患肝癌的,并不患肝癌”.,概率,解:,由贝叶斯公式可得,6 独 立 性,一般情况下,即事件A 的出现对事件B 发生的概率是有影响的。,但在,一、两个事
17、件的独立性,即事件 A 的出现对事件B 发生的概率没有任何影响。,某些情况下，可能也有,从而有,这表明不论 A 发生还是不发生，都对B 发生的概率 没有影响。此时，直观上可以认为事件A与事件B 没有 任何“关系”，或者说 A 与B 独立。,引例 一袋子中装有4个白球、2个黑球，从中有放回取两次， 每次取一个。事件A = 第一次取到白球，B = 第二次取到 白球，求 P（B）及 P（B|A）？,解：,容易求出,P(AB)=P(A)P(B),定义2,对事件 ，若,则称事件 与事件 是相互统计独立的，,简称独立的。,注：,(1) 必然事件及不可能事件与任何事件都是独立的。,不能同时发生，而独立性则表
18、示他们彼此不影响。,(2) 事件的独立性与互斥是两码事，互斥性表示两个事件,(4) 实际使用时往往从直观上去判断事件独立性，从而利 用各事件的概率计算事件的积的概率。,P(AB)=P(A)P(B),(3) 判断事件的独立性一般有两种方法:,B:由问题的性质从直观上去判断.,A:由定义判断,是否满足公式;,在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立.,事件A、B分别表示甲、乙两人患感冒。,例如,如果甲、乙两人的活动范围相距甚远，就认为A、B是相互独立的。,如果甲、乙两人同住一个房间，那就不能认为A、B相互独立。,(1)若抽取是有放回的,则A1与A2独立.,又如：,因为第二次抽取的结
19、果 不受第一次抽取的影响.,(2)若抽取是无放回的，则A1与A2不独立.,因为第二次抽取的结果受到第一次抽取的影响.,请问：如图的两个事件是独立的吗？,即: 若A、B互斥，且P(A)0, P(B)0,则A与B不独立.,反之，若A与B独立，且P(A) 0, P(B) 0, A 、B不互斥.,而 P(A) 0, P(B) 0,故A、B不独立,我们来计算：,P(AB)=0,例1 设随机事件与互不相容，,则下列结论中一定成立的有,（）,（）,（）,（）,设A、B为互斥事件，且P(A)0,P(B)0, 下面四个结论中，正确的是：,前面我们看到独立与互斥的区别和联系，,1. P(B|A)0 2. P(A|
20、B)=P(A) 3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B),设A、B为独立事件，且P(A)0,P(B)0, 下面四个结论中，正确的是：,1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A) 3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B),再请你做个小练习.,能否在样本空间S中找两个事件,它们既相互独立又互斥?,问题：,这两个事件就是S 和,因为,故 与S 独立且互斥.,不难发现， 与任何事件都独立.,定理1,若 ，则事件 与 独立的充分必要条件是,或,定理2,若事件 与事件 独立，则下面三对事件均独立：,证明：,从而 独立。,类似可以证明 的独立性。,解：,依题意，有
21、,故,即有,亦有,于是,从而,例2（2000年数一）,设两个相互独立的事件A和B都不发生的概,率为1/9，,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等。,求P（A）？,例3 商店经销的某种商品100件,经理声称其中只有5件带不影 响效果的小缺陷.工商部门对这批商品进行抽检时,采用有放回 每次抽一件检查的重复抽样检查法. 试问在接连抽检两件这种 商品时“第一件查出带缺陷”与“第二件查出带缺陷”这两个事件是否独立?被抽检的这两件产品皆是有缺陷的概率是多少?,解:,设 =“第i 件商品查出是带缺陷的”,按古典概率计算法,可直接算出:,于是,有,故知 是相互独立的.,二、多个事件的独立性,1、三个
22、事件的独立性,定义3 若事件A，B，C 满足下面三个条件,则称三个事件A，B，C 是两两独立的。,若A，B，C 还满足,则称此三事件A，B，C 是相互独立的。,由定义知，三个事件相互独立一定两两独立。,问题：,三个事件两两独立是否一定相互独立呢,？,例4（伯恩斯坦反例）一个均匀的正四面体, 其第一面染成 红色,第二面染成白色,第三面染成黑色,而第四面同时染上 红、白、黑三种颜色.现以A, B, C分别记投一次四面体出现 红,白,黑颜色朝下的事件,问A,B,C是否相互独立?,解：,由于在四面体中红, 白, 黑分别出现两面,因此,又由题意知,故有,从而A,B,C 两两独立，,但不相互独立。,定义,若事件A1，A2 ， ，An中任意两个事件相互独立，,定义,2、n 个事件的独立性,则称 两两独立。,即对于一切1i jn, 有,设 为n个事件，若对于任意 ,则称 相互独立。,定理6,设 是n 个相互独立的事件，则有,（1）将 中任意个事件换成其逆事件，所得的n个,事件都是独立的。,对多个事件的独立性，具有两个事件的独立性相同的性质：,（3）,证明：,
