1、第一章 概率论的基本概念,第一节 样本空间、随机事件,第二节 概率、古典概型,第三节 条件概率、全概率公式,第四节 独立性,第一节 样本空间 随机事件,在一定条件下，试验有多种可能的结果，但事先又不能预测是哪一种结果的现象称随机现象。,1、随机试验,概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门基础学科。,上一页,下一页,返 回,则把这一试验称为随机试验，常用E表示。,对随机现象进行的观察或实验称为试验。,（2）每次试验的可能结果不止一个，并且事先可以知道试验的所有可能结果。,（3）进行一次试验之前，不能确定会出现哪一个结果。,若一个试验具有下列三个特点：,（1）在相同条件下可重复进行。
2、,上一页,下一页,返 回,例1 : 从一批产品中任取8件，观察其中的正品件数， 则这一试验的样本空间为：, =0，1，2，3，4，5，6，7，8,引入下列随机事件:,A=正品件数不超过3=0，1，2，3,B=取到2件至3件正品=2，3,C=取到2件至5件正品=2，3，4，5,D=取到的正品数不少于2且不多于5=2，3，4，5,E=取到的正品数至少为4=4，5，6，7，8,F=取到的正品数多于4=5，6，7，8,上一页,下一页,返 回,2、随机事件与样本空间,随机事件（简称事件）： 在随机试验中，可能发生也可能不发生的结果。 通常用大写字母A、B,表示。,基本结果： （1）每次试验必然出现且只能
3、出现其中一个基本结果。 （2）任何结果，都是由其中一些基本结果组成，每个基本结果称样本点。,上一页,下一页,返 回,随机事件中有两个极端情况： 每次试验中都必然发生的事件，称为必然事件 。 每次试验中都不发生的事件，称为不可能事件 。,基本事件是样本空间的单点集。 复合事件是由多个样本点组成的集合。 必然事件包含一切样本点，它就是样本空间。 不可能事件不含任何样本点，它就是空集 。,样本空间： 随机试验E的全体基本事件组成的集合。记为。,上一页,下一页,返 回,表示事件A包含于事件B或称事件B包含事件A,指事件A发生必然导致事件B发生.,3、事件间的关系及其运算,事件A1，A2，An 的和记为
4、 ,或A1 A2 An,表示事件A与事件B中至少有一个事件发生,称此事件为事件A与事件B的和（并）事件,或记为A+B.,上一页,下一页,返 回,表示事件A与事件B同时发生, 称为事件A与事件B的积（交）事件，记为AB。积事件AB是由A与B的公共样本点所构成的集合。,可列个事件A1 , A2 , , An 的积记为A1 A2 An 或A1A2 An ，也可简记为 。,在可列无穷的场合，用 表示事件“A1、A2 、 诸事件同时发生。”,上一页,下一页,返 回,事件A发生但事件B不发生,称为事件A与事件B的差事件。,显然有：,则称A和B是互不相容的或互斥的,指事件A与B不可能同时发生。,基本事件是两
5、两互不相容的。,上一页,下一页,返 回,则称A和B互为对立事件，或称A与B互为逆事件。 事件A的逆事件记为 , 表示“A不发生”这一事件。,对于任意的事件A，B只有如下分解：,上一页,下一页,返 回,A,B,B,A,A,B,B,A,A,B,B,A,A,上一页,下一页,返 回,事件的运算律,（1）交换律：AB=AB，AB=BA,（2）结合律（AB）C=A（BC）,（3）分配律：A （BC）= （AB）（ A C ）,（AB）C=A（BC）,A（B C）=（AB）（AC）,（4）德摩根律（De Morgan）：,上一页,下一页,返 回,例2: 设A，B，C为三个事件，试用A，B，C表示下列事件：
6、（1）A发生且B与C至少有一个发生； （2）A与B都发生而C不发生； （3）A，B，C恰有一个发生； （4）A，B，C中不多于一个发生； （5）A，B，C不都发生； （6）A，B，C中至少有两个发生。,上一页,下一页,返 回,上一页,下一页,返 回,第二节 概率、古典概率,1、概率,定义1: 在相同条件下，进行了n次试验.若随机事件A在这n次试验中发生了k次，则比值 称为事件A在n次实验中发生的频率，记为,频率具有下列性质：,(1)对于任一事件A，有,(2),上一页,下一页,返 回,上一页,下一页,返 回,历史上著名的统计学家蒲丰（Buffon）和皮尔逊（Pearson）曾进行过大量抛硬币的试
7、验，其结果如表所示.,可见出现正面的频率总在0.5附近摆动.随着试验次数的增加,它会逐渐稳定于0.5.,上一页,下一页,返 回,定义2: 设事件A在n次重复试验中发生了k次, n很大时,频率 稳定在某一数值p的附近波动,而随着试验次数n的增加，波动的幅度越来越小，则称p为事件A发生的概率，记为,上一页,下一页,返 回,定义3：,2、概率的公理化定义,上一页,下一页,返 回,概率的性质：,上一页,下一页,返 回,上一页,下一页,返 回,3、古典概型,定义4： 设随机试验E满足如下条件: 试验的样本空间只有有限个样本点，即(2) 每个样本点的发生是等可能的，即则称试验为古典概型，也称为等可能概型。
8、,古典概型 中事件A的概率计算公式为,上一页,下一页,返 回,例3：从0,1,2, ,9共10个数字中随机地有放回地接连取4个数字,并按其出现的先后排成一行.试求下列事件的概率,上一页,下一页,返 回,上一页,下一页,返 回,例4： (一个古老的问题)一对骰子连掷25次.问出现双6与不出现双6的概率哪个大?,上一页,下一页,返 回,4、几何概型,若试验具有如下特征:,上一页,下一页,返 回,例5 (约会问题)甲、乙两人相约在某一段时间T内在预定地点会面。先到者等候另一人，经过时间t(tT)后即离去,求甲乙两人能会面的概率.(假定他们在T内任一时刻到达预定地点是等可能的),上一页,下一页,返 回
9、,上一页,下一页,返 回,第三节 条件概率、全概率公式,1、条件概率的定义,上一页,下一页,返 回,上一页,下一页,返 回,(2)在原样本空间中计算,由于,(1)在缩减的样本空间中计算.因第一次已经取得了次品, 剩下的产品共19件其中3件次品,从而P(BA)=3/19,例1： 某批产品共20件,其中4件为次品,其余为正品,不放回地从中任取两次,一次取一件.若第一次取到的是次品,问第二次再取到次品的概率是多少?,解 ：令A=第一次取到次品,B=第二次取到次品,需求P(BA).,上一页,下一页,返 回,设P(A)0,则有P(AB)=P(A)P(BA) 同样,当P(B)0时,有： P(AB)=P(B
10、)P(AB),2、乘法定理,乘法定理可推广至任意有限个事件的情形:,上一页,下一页,返 回,例2： 设袋中有a只白球,b只黑球.任意取出一球后放回,并再放入与取出的球同色的球c只,再取第二次,如此继续,共取了n次,问前n1次取出黑球,后n2 =n -n1 次取白球的概率是多少?,上一页,下一页,返 回,上一页,下一页,返 回,上一页,下一页,返 回,3、全概率公式与贝叶斯公式,上一页,下一页,返 回,全概率公式,上一页,下一页,返 回,贝叶斯公式,上一页,下一页,返 回,例3：某工厂由甲,乙,丙三台机器生产同一型号的产品,它们的产量各占30%,35%,35%,废品率分别为5%,4%,3%.产品
11、混在一起.(1)从该厂的产品任取一件,求它是废品的概率.(2)若取出产品是废品,求它是由甲,乙,丙三台机器生产的概率各是多少?,上一页,下一页,返 回,上一页,下一页,返 回,例4： 对以往的数据分析结果表明,当机器调整良好时,产品的合格率为90%,而机器未调整良好时,其合格率为30%.每天机器开动时,机器调整良好的概率为75%.试求已知某日生产的第一件产品是合格品,机器调整良好的概率是多少?,解: 设A=机器调整良好,B=生产的第一件产品为合格品.已知,上一页,下一页,返 回,第四节 独立性,1、事件的独立性,定理,定义7:,定义8:,上一页,下一页,返 回,定义9:,上一页,下一页,返 回
12、,例1： 假设我们掷两次骰子,并定义事件A=第一次掷得偶数,B=第二次掷得奇数,C=两次都掷得奇数或偶数,证明A,B,C两两独立,但A,B,C不相互独立.,证明： 容易算出,上一页,下一页,返 回,例2： 甲、乙两射手射击同一目标,他们击中目标的概率分别为0.9与0.8,求在一次射击中(每人各射一次)目标被击中的概率.,上一页,下一页,返 回,2、 贝努里试验模型,定义10:,上一页,下一页,返 回,定理1:,上一页,下一页,返 回,例3: 一副扑克牌(52张)，从中任取13张，求至少有一张“A”的概率。,解: 设A=任取的13张牌中至少一张“A”，并设Ai=任取的13张牌中恰有i张“A”，i=1，2，3，4则,上一页,下一页,返 回,
