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概率论的基本概念 PPT课件.ppt

上传人:君。好 文档编号:1423949 上传时间:2018-07-15 格式:PPT 页数:119 大小:852KB
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1、概率论与数理统计是研究什么的?,什么是随机现象?什么是统计规律性?,概率论与数理统计主要内容,概率论的基本概念随机变量及其分布多维随机变量及其分布随机变量的数字特征大数定律及中心极限定理,参考教材:概率论与数理统计 盛骤谢式千潘承毅主编高等教育出版社,样本及抽样分布参数估计假设检验方差分析及回归分析,退出,概率论的基本概念,随机试验、样本空间、随机事件频率与概率等可能概型(古典概型)几何概率概率的一般定义条件概率独立性,返回,退出,本章小结习题,随机试验是具有以下特征的试验:可以在相同条件下重复进行;每次试验的结果不止一个,但结果事先可以预知;每次试验前不能确定哪个结果会出现。,样本空间、样本

2、点,随机试验的所有可能结果的集合称为样本空间。试验的每个可能结果称为样本点。记为Se。,随机试验,例1:E1:抛一枚硬币,观察正面、反面了出现的情况。 S1:H,T; E:将一枚硬币抛掷三次,观察正面H、反面T出现的情况。S2:HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT; E:将一枚硬币抛掷三次,观察出现正面的次数。 S3:0,1,2,3; E:抛一颗骰子,观察出现的点数。 S4:1,2,3,4,5,6; E:记录某城市120急救电话台一昼夜接到的呼唤次数。 S5:0,l,2,3,; E:在一批灯泡中任意抽取一只,测试它的寿命。 S6:tt0; E:记录某地一昼夜的最高温度

3、和最低温度。S7:(x,y) T0xyT1,这里x示最低温度,y表示最高温度,并设这一地区的温度不会小于To,也不会大于T1。,试验E的样本空间S的子集称为试验的随机事件,简称事件。在每次试验中,当且仅当这一子集中的一个样本点出现时,称这一事件发生。,随机事件,基本事件(简单事件)、复合事件,由一个样本点组成的单点集,称为基本事件。由两个或两个以上样本点组成的集合,称为复合事件。,必然事件、不可能事件,样本空间S包含所有的样本点,它是S自身的子集,在每次试验中它总是发生的,称为必然事件。空集不包含任何样本点,它也作为样本空间的子集,它在每次试验中都不发生,称为不可能事件。,例2:在E中事件A:

4、“第一次出现的是H”,即AHHH,HHT,HTH,HTT; 事件A:“三次出现同一面”,即A2HHH,TTT; 在E中事件A3 :“寿命小于1000小时”,即A3t0t1000; 在E中事件A3:“最高温度和最低温度相差10摄氏度”,即A7(x,y) y-x=10,T0xyT1。例3:某袋中装有4只白球和2只黑球,我们考虑依次从中摸出两球所可能出现的事件。若对球进行编号,4只白球分别编为1,2,3,4号,2只黑球编为5,6号。如果用数对(i,j)表示第一次摸得i号球,第二次摸得j号球,则可能出现的结果是,(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6) (2,1),(2,3),(2,

5、4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5) 把这30个结果作为样本点,则构成了样本空间。在这个问题中,这些样本点是我们感兴趣的事件;但是我们也可以研究下面另外一些事件: A:第一次摸出黑球; B:第二次摸出黑球; C:第一次及第二次都摸出黑球 后面这些事件与前面那些事件的不同处在于这些事件是可以分解的,例如为了A出现必须而且只须下列样本点之一出现: (5,1),(5,2)

6、,(5,3),(5,4),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),事件间的关系,包含:,称事件B包含事件A,即事件A发生必然导致事件B发生。 相等:,称事件A与事件B相等。 和: ,表示A、B二事件中至少有一个发生;表示n个事件A1 ,A2 , , An中至少有一个发生。差:AB,表示事件A发生,而事件B不发生。 积:,也记作AB,表示A、B二事件都发生; 表示n个事件A1 ,A2 , , An都发生。 互不相容(或互斥):指AB ,即事件A与事件B不能同时发生;若n个事件A1 ,A2 , , An的任意两个事件不能同时发生,则称A1 ,A2 , , An互不相

7、容。 互为对立(互逆):若S,且AB,则A与B二事件互逆。有 。,图示事件间的关系(Venn文图),事件的运算,在进行运算时,经常要用到下述定律。设A,B,C为事件,则有 交换律 结合律 分配律 德摩根律对于n个事件,甚至对于可列个事件,德摩根律也成立。,例4:在例中有HHH,HHT,HTH,HTT,TTTHHHTTTTHH,THT,TTH,例5:A发生而B与C都不发生可以表示为:A与B都发生而C不发生可以表示为:所有这三个事件都发生可以表示为:这三个事件恰好发生一个可以表示为:这三个事件恰好发生两个可以表示为:这三个事件至少发生一个可以表示为:,练习一化简下列格式:,练习二证明下列等式:,练

8、习三从下面两式分析各表示什么包含关系。,返回,在相同的条件下,进行了n次试验,在这n次试验中,事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数。比值nA n称为事件A发生的频率,并记成n(A)。,概率,对于一个随机事件A (除必然事件和不可能事件外)来说,它在一次试验中可能发生,也可能不发生。我们希望知道的是事件在一次试验中发生的可能性。用一个数P(A)来表示该事件发生的可能性大小,这个数P(A)就称为随机事件A的概率。我们希望找到一个数来表示P(A)。,频率,例考虑“抛硬币”这个试验,我们将一枚硬币抛掷5次、50次、500次,各做10遍。得到数据如下表所示(其中nH表示H发生的频数,n(H)表示H发

9、生的频率)。,频率稳定性,大量实验证实,当重复试验的次数逐渐增大时,频率呈现出稳定性,逐渐稳定于某个常数。,当n足够大时, n(A )P(A),由于事件发生的频率表示A发生的频繁程度。频率大,事件A发生就频繁,这意味着A在一次试验中发生的可能性就大。 当n增大时,频率在概率附近摆动。因此,每一个从独立重复试验中测得的频率,都可以作为概率P(A)的近似值。,频率的基本性质,由定义,易见频率具有下述基本性质: 0 n(A)1; n(s)1; 若A1 ,A2 , , Ak是两两互不相容的事件,则n( A1A2Ak )=n ( A1)+n (A2)+n (Ak).,返回,有限样本空间,我们先考虑只有有

10、限个样本点的样本空间,这种样本空间称为有限样本空间。这是最简单的样本空间,研究它有助于深入研究更为复杂的样本空间。,有限样本空间基本事件概率的定义,若S是有限样本空间,其样本点为e1,e2,,en,在这种场合可以把的任何子集都当作事件。在这种样本空间中引进概率,只要对每个样本点给定一个数与它对应,此数称为事件ei的概率,并记之为P(ei),它是非负的,而且满足 P(e1)+P(e2)+P(en)=P(S)=1这样,我们对样本点定义了概率,用它来度量每个样本点出现的可能性的大小。由此出发,我们不难定义更为一般的事件的概率。,有限样本空间事件概率的定义,定义 任何事件A的概率P(A)是A中各样本点

11、的概率之和 按照这个定义,显然有P(S)=1,0P(A)1。,离散样本空间,把上面做法推广到有可列个样本点的样本空间是不难的,这种空间称为离散样本空间,但是当把上面做法推广到不可列个样本点的场合,则会遇到实质性的困难,对于这种一般场合的讨论,以后将逐渐展开。,等可能概率模型(古典概型),等可能概率模型是有限样本空间的一种特例。这种随机现象具有下列两个特征: (1)在观察或试验中它的全部可能结果只有有限个,譬如为 n个,记为e1,e2,,en,而且这些事件是两两互不相容的; (2)事件ei(i=1,2, n)的发生或出现是等可能的,即它们发生的概率都一样。 这类随机现象在概率论发展初期即被注意,

12、许多最初的概率论结果也是对它作出的,一般把这类随机现象的数学模型称为古典概型。古典概型在概率论中占有相当重要的地位,它具有简单、直观的特点,且应用广泛。,如何理解古典概型中的等可能假设?,等可能性是古典概型的两大假设之一,有了这两个假设,给直接计算概率带来了很大的方便。但在事实上,所讨论问题是否符合等可能假设,一般不是通过实际验证,而往往是根据人们长期形成的“对称性经验”作出的。例如,骰子是正六面形,当质量均匀分布时,投掷一次,每面朝上的可能性都相等;装在袋中的小球,颜色可以不同,只要大小和形状相同,摸出其中任一个的可能性都相等。因此,等可能假设不是人为的,而是人们根据对事物的认识一对称性特征

13、而确认的。,等可能概率模型中事件概率的计算公式,设试验的样本空间为S=e1,e2,,en。由于在试验中每个基本事件发生的可能性相同,即有P(e1)P(e2)P(en)又由于基本事件是两两不相容的,于是1=P(S)=P(e1 e2 en) = P(e1)+P(e2)+P(en)=nP(ei) P(ei)=1/n ,i=1,2,n法国数学家拉普拉斯(Laplace)在1812年把上式作为概率的一般定义。事实上它只适用于古典概型场合。,有关排列组合的知识,求解古典概型问题的关键是弄清基本事件空间的样本点总数和所求概率事件包含的样本点个数。在理清事件数的时候,必须分清研究的问题是组合问题还是排列问题,

14、以下是关于排列组合的知识: 1不同元素的选排列 从个不相同的元素中,无放回地取出个元素的排列(0,则在一般场合,我们将把这个等式作为条件概率的定义。,条件概率的定义,设A,B是两个事件,且P(A)0,称为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。,条件概率满足概率定义中的三个基本性质,非负性:对于任何事件B,有P(BA)0; 规范性:对于必然事件S,有P(SA)=1; 可列可加性:设B1 ,B2 , 两两互不相容的事件,即对于ij, BiBj= , i,j=1,2, ,则有可见,条件概率也是概率,前面对概率所证明的一些重要结果都适用于条件概率。例如:特别当B=S时,条件概率化为无条件概率。,解

15、 易知此属古典概型问题将产品编号,1,2,3号为一等品;4号为二等品。以(i,j)表示第一次、第二次分别取到第i号、第j号产品。试验E(取产品两次,记录其号码)的样本空间为 S=(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(4,1),(4,2),(4,3), A=(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4), AB(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2) 按条件概率的定义,得条件概率,例15 一盒子装有4只产品,其中有3只一等品,1只二等品。从中取产品两次,每次任取一只,作不

16、放回抽样。设事件A为第一次取到的是一等品”,事件B为“第二次取到的是一等品”。试求条件概率P(BA)。,也可以直接按条件概率的含义来求P(BA)。我们知道,当A发生以后,试验E所有可能结果的集合就是A,A中有9个元素,其中只有(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)属于B,故可得,乘法定理,设P(A)0,则有 P(AB)=P(BA)P(A)上式被称为乘法公式。它可以由条件概率的公式直接推得。 同理,若P(B)0,则有 P(AB)=P(AB)P(B) 可以把乘法定理推广到任意n个事件之交的场合:设A1,A2,An为n个事件,n2,且 P(A1A2An-1)0,则有

17、P(A1A2An)=P(AnA1A2An-1)P(An-1A1A2An-2)P(A2A1)P(A1),例16 设袋中装有r只红球,t只白球。每次自袋中任取一只球,观察其颜色然后放回,并再放入a只与所取出的那只球同色的球。若在袋中连续取球四次,试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率。,解 以Ai(i=l,2,3,4)表示事件“第i次取到红球”,则 分别表示事件第三、四次取到白球,所求概率为,例17 设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为12,若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率为 710,若前两次落下未打破,第三次落下打破的概率为 910。试求透镜落下三次而未打破的概率

18、。,因为可以验证,条件概率满足概率定义中的三个条件,所以它是概率。 条件概率是在试验E的条件上加上一个新条件(如B发生)求事件(如A)发生的概率。条件概率P(AB)与P(A)的区别就是在E的条件上增加了一个新条件。而无条件概率是没有增加新条件的概率。,条件概率P(AB)与积事件概率P(AB)有什么区别?,P(AB)是在样本空间S内,事件AB的概率,而P(AB)是在试验E增加了新条件B发生后的缩减样本空间SB中计算事件A的概率。虽然都是A、B同时发生,但两者是不同的,有P(AB)P(B)P(AB),仅当P(B)P(S)1时,两者相等。,条件概率为什么是概率?它与无条件概率有什么区别?,全概率公式

19、,全概率公式是概率论的一个重要公式,应用全概率公式的关键是建立样本空间的正确划分(即构造一个正确的完备事件组),然后计算各个概率和条件概率,最后代入全概率公式。它是求复杂事件概率的有力工具。 样本空间的划分的定义:设S为试验E的样本空间,B1,B2,,Bn为E的一组事件。若 BiBj=,ij,i,j=1,2, ,n; B1B2Bn=S,则称B1,B2, Bn为样本空间S的一个划分。 全概率公式:设试验E的样本空间为S,A为E的事件, B1,B2,,Bn为S的一个划分,且P(Bi)0(i=1,2, ,n),则 P(A)=P(AB1)P(B1)+P(AB2)P(B2)+P(ABn)P(Bn).,全

20、概率公式的证明,证明 因为事件B1,B2,,Bn时样本空间的一个划分,即Bi两两互不相容,P(Bi)0(i=1,2, ,n),而且 B1B2Bn=S有 AB1AB2ABn=A这里的ABi也是两两互不相容(参见图)。 由概率的可列可加性 P(A)=P(AB1)+P(AB2)+P(ABn)利用乘法定理即得 P(A)=P(AB1)P(B1)+P(AB2) P(B2)+P(ABn)P(Bn),解 设从这批种子中任选一颗是一等、二等、三等、四等种子的事件分别记为A1,A2,A3,A4,则它们构成样本空间的一个分割。用B表示在这批种子中任选一颗,且这颗种子所结的穗含有50颗以上麦粒这一事件,则由全概率公式

21、得,例18 播种用的一等小麦种子中混合2的二等种子,1.5的三等种子,1的四等种子。用一等、二等、三等、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别是0.5,0.15,0.1,0.05,求这批种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率。,练习五 考卷中一道选择题有4个答案,仅有一个是正确的,设一个学生知道正确答案或不知道而乱猜是等可能的。如果这个学生答对了,求它确实知道正确答案的概率。,解 样本空间可以划分为事件A一知道正确答案, 一不知道。以B表示学生答对事件,则A B,P(AB)P(A)12。P(BA)=1,而P(B )14。由全概率公式 P(B)P(A)P(BA)+P( )P(B ) 121+1214=58,故 P(AB)P(AB)P(B)45,贝叶斯公式,设试验E的样本空间为S。A为E的事件, B1,B2,,Bn为S的一个划分,且P(A)0,P(Bi)0(I=1,2, ,n),则上式称为贝叶斯(Bayes)公式。 贝叶斯定理往往与全概率公式同时使用。全概率公式一用于“由因求果”问题,而贝叶斯定理一般用于“执果寻因”问题,在使用时要分清是什么问题,确定应用哪个公式。,

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