1、2019/4/21,1,概率论与数理统计,陈星光 13776633053,,南京大学工程管理学院,课程安排,单周，周一，1-2节， 双周，周一，周五，1-2节 内容：教材19章（视时间调整） 成绩： 平时20+期中考试30+期末考试50 作业：基本上每次课后2-3题,2019/4/21,2,2019/4/21,3,第一章 概率论的基本概念,1. 确定性现象和不确定性现象。,3. 随机现象: 在一定条件下可能发生这种结果也可能发生那种结果的，因而无法事先断言出现哪种结果的现象称为随机现象。,4. 随机现象具有统计规律性。,2. 统计规律性：在大量重复试验或观察中所呈现出的固有规律性。,实验和试验
2、,实验是对抽象的知识理论所做的现实操作，用来证明它正确或者推导出新的结论。它是相对于知识理论的实际操作。 试验是对事物或社会对象的一种检测性的操作，用来检测那里正常操作或临界操作的运行过程、运行状况等，它是就事论事的。 试验都是实验。实验比试验的范围宽广。工厂的产品可以抽样检测，是试验。试验的结果可能是破坏性的，因此不能试验所有的产品。社会计划的试点也是试验。试验中，试验对象是明确的，试验目的是检查它能不能正常运行、正常运行的条件和该条件允许的范围。,2019/4/21,4,2019/4/21,5,1 随机试验,E1：抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况。,E2：将一枚硬币抛掷三次，观察正
3、面H、反面T出现的 情况。,E3：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数。,E4：抛一颗骰子，观察出现的点数。,E5：记录某城市120急救电话台一昼夜接到的呼唤次数。,E6：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。,E7：记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。,2019/4/21,6,(1) 可以在相同的条件下重复进行;,随机试验的特点,(2) 每次试验的可能结果不止一个,且能事先 明确所有可能的结果;,(3) 一次试验只出现一个结果，且试验前不能 确定哪个结果会出现。,2019/4/21,7,随机试验中，每一个可能结果称为该试验的一个样本点（或基本事件）.全体样本点组成的集合称为该试验的样本空
4、间，记为S。,样本空间,E1：抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况。,S1=H,T,2019/4/21,8,E5：记录某城市120急救电话台一昼夜接到的呼唤次数。,S5=0,1,2, ,E3：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数。,S3=0, 1，2, 3,E2：将一枚硬币抛掷三次，观察正面H、反面T出现的情况。,S2=HHH, HHT，HTH, THH, HTT,THT,TTH,TTT ,E4：抛一颗骰子，观察出现的点数。,S4=1, 2，3, 4，5，6,2019/4/21,9,E6:在一批灯泡中任取一只, 测试它的寿命.,S6=t| t0,1.离散样本空间:样本点为有限多个或可列多
5、个;例E1,E2等。,2.无穷样本空间:样本点在区间或区域内取值.例灯泡的寿命t|t0。,E7：记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。,这里x表示最低温度，y表示最高温度. 并设这一地区的温度不会小于T0，也不会大于T1。,2019/4/21,10,“在一定条件下可能发生也可能不发生的事情”叫做随机事件（试验E的样本空间S的子集）,简称事件.,如在上面的例子中，“出现正面”,“出现反面”, “点数4”,“出现偶数点”, t1000等都是随机事件.,事件是由样本空间中某些样本点组成的集合,事件发生当且仅当它所包含的某一个样本点出现。,随机事件,2019/4/21,11,基本事件:由一个样本点组成的
6、单点集.如:H,T.,必然事件: 样本空间S是自身的子集，在每次试验中总是发生的，称为必然事件。,复合事件:由两或两个以上的基本事件复合而成的事件，称为复合事件. 如:E3中 出现正面次数为偶数.,不可能事件：空集 不包含任何样本点，它在每次试验中都不发生，称为不可能事件。,2019/4/21,12,1.包含关系和相等关系:,若事件A发生必然导致事件B发生, 则称事件B包含事件A,记作AB. 若A B且A B, 即A=B, 则称A与B相等。,2 事件间的关系与事件的运算,2019/4/21,13,2.事件的并:,2019/4/21,14,3.事件的交：“事件A与B同时发生”这一事件称为A与B的
7、交（积事件），记作A B (AB)，A B=x|x A 且 x B,类似地，事件 为可列个事件A1，A2，的交.,2019/4/21,15,4.事件的差: 事件A-B=x|xA且xB 称为A与B的差.当且仅当A发生, B不发生时事件A-B发生.即:,显然: A-A= , A- =A, A- S =,2019/4/21,16,(1)基本事件是两两互不相容的,即样本点是互不相容的,事件A与B-A是互不相容的.,5. 互不相容事件(互斥事件):,(2)若用集合表示事件, 则A,B互不相容即为A与B是不相交的.,2019/4/21,17,6. 对立事件(逆事件)：,若 ，则称A与B互为逆事件，也称为对
8、立事件。即在一次实验中，事件A与B中必然有一个发生，且仅有一个发生。,A的对立事件记为 。若A与B互为对立事件，则记为 。,2019/4/21,18,7.事件的运算律:,交换律:,结合律:,分配律：,2019/4/21,19,说明:,摩根律推广：,德摩根律:,2019/4/21,20,例1 如右图所示的电路中，以A表示“信号灯亮”这一事件，以B, C, D分别表示事件：开关接点I, II, III闭合，那么容易知道,2019/4/21,21,例2 高射炮对模型飞机射击三次，设Ai表示“第i次击中飞机”，用Ai表示下列事件,（1）B1“只有第一次击中飞机” （2）B2“恰有一次击中飞机” （3）
9、B3“至少有一次击中飞机” （4）三次击中飞机时，击落了飞机, B4:“飞机没有被击落”,2019/4/21,22,解,(1),2019/4/21,23,(一) 频率1. 将一试验E在相同的条件下重复进行n次,如果事件A发生了nA次, 则比值 nA/n 称为事件A发生的频率,记为fn(A).,2、频率的基本性质：,3 频率与概率,2019/4/21,24,频率的特性: 波动性和稳定性.,说明,(1) 波动性: 对于同样的试验次数, 不同的试验其频率不同; 对于同一试验, 不同的试验次数n, 其频率也不同, 当n较小时, fn(A)随机波动的幅度较大.,(2)稳定性:随着n逐渐增大，事件A的频率
10、总在某一定值P(A)的附近摆动而逐渐稳定于这个值，这个定值P(A)通常称为频率的稳定值。,2019/4/21,25,2019/4/21,26,投币试验,2019/4/21,27,字母 频率 字母 频率 字母 频率 E 0.1268 L 0.0394 P 0.0186 T 0.0978 D 0.0389 B 0.0156 A 0.0788 U 0.0280 V 0.0102 O 0.0776 C 0.0268 K 0.0060 I 0.0707 F 0.0256 X 0.0016 N 0.0706 M 0.0244 J 0.0010 S 0.0634 W 0.0214 Q 0.0009 R 0.
11、0594 Y 0.0202 Z 0.0006 H 0.0573 G 0.0187,2019/4/21,28,2019/4/21,29,(二)概率,1 统计定义：频率的稳定值P(A)反映了事件A在一次试验中发生的可能性大小，称P(A)为事件A的概率。,概率有很多种定义， 比如，概率的古典定义、几何定义、主观定义，较为常用的是统计定义和公理化定义。,2019/4/21,30,2 公理化定义：设S为样本空间，A为事件，对每一事件A赋予一实数P(A)，如果P(A)满足如下三条公理：,则称P(A)为事件A的概率。,2019/4/21,31,概率的性质:,2019/4/21,32,2019/4/21,33
12、,2019/4/21,34, P(B)=P(A)+P(B-A),即 P(B-A)=P(B)-P(A).,2019/4/21,35,2019/4/21,36,这个式子称为“加奇减偶公式”.,1.,2.,2019/4/21,37,可以利用上面的加奇减偶公式和,推得下面的公式,2019/4/21,38,例1 设A,B为两个事件,且P(A)=0.5,P(B)=0.3, P(AB)=0.2,求下列各事件的概率.,(3),(4),2019/4/21,39,若随机试验有以下两个特点:,例如:掷一颗骰子,观察出现的点数.,(1) 样本空间中只有有限个样本点;即S =e1, e2, en,(2) 试验中每个基本
13、事件(样本点)的发生 是等可能的,即P(e1)=P(e2)= =P(en).,计算公式:,对古典概型,由概率定义及 等可能性,可得,这类随机现象的概率模型叫做古典概型.,4 古典概型,2019/4/21,40,故有,称A中的样本点为A的“有利场合”，于是,2019/4/21,41,加法原理:,完成一件工作, 有m类方法, 而第1类方法有n1 种方法, 第2类方法有n2种方法,第m类方法有nm种方 法, 任选一种此工作就完成, 那么完成这项工作共有 N=n1+n2+nm种不同的方法.,乘法原理:,完成一件工作, 需要m个步骤, 而第1步有n1 种方法, 第2步有n2种方法,第m步有nm种方 法,
14、 依次完成这m步时这项工作才完成, 那么完成这项工作共有 N=n1n2 nm种不同的方法.,2019/4/21,42,例1 一部5卷的文集随便放在书架上，问： （1）A:第三卷刚好放在中间,(2)B:各卷书自左 或自右顺序摆放的概率是多少？,解：5卷书所有的排列方法数为,(1) A所包含的样本点数为 所以,(2) B所包含的样本点数为2，所以,2019/4/21,43,古典概型概率的计算步骤:,(1) 选取适当的样本空间S, 使它满足有限等可能的要求, 且把事件A表示成S的某个子集.,(2) 计算样本点总数n及事件A包含的样本点数k.,(3) 用下列公式计算.,2019/4/21,44,例2.
15、 袋中装有4只白球和2只红球.从中有放回摸球两次,每次任取一球.求: (1)A:两球颜色相同的概率 (2)B:两球中至少有一只白球的概率.,P(A1)=(44)/(6 6) 0.444，P(A2) 0.111,所以P(A)=P(A1A2)=P(A1)+P(A2) 0.556,解 定义事件: A1=“两球都是白球”, A2=“两球都是红球”,样本空间:取两次球, 共有6 6种取法.,由于A= A1A2,A1包含4 4种取法,A2包含22种取法,故,P(B)=1-P(A2) 0.889,2019/4/21,45,例3. 设一袋中有编号为1,2,9的球共9只,现从中任取3只,试求: (1)取到1号球
16、的概率,（事件A） (2)最小号码为5的概率.（事件B）,解: 从9个球中任取3只球,共有 种取法.,（1）取到1号球共有 种取法,（2）最小号码为5,共有 种取法.,2019/4/21,46,例4. 将n只可识别的球随机地放入N (Nn)个盒子中去,试求每个盒子至多有 一只球的概率.(设盒子的容量不限).,解: 每一只球都可以放入N个盒子中的任一个, 共有(NN . N)种不同的放法.每个盒子至多放一只球,共有,种不同的放法.,2019/4/21,47,假定每个人的生日在一年365天的任一天 都等可能, 随机选取n(365)个人,至少有两 人生日相同的概率为:,生日问题,2019/4/21,
17、48,例5. 设有N件产品,其中D件次品,从中任取n件,求其中恰有k(kD)件次品的概率.,2019/4/21,49,例6.15名新生中有3名是优秀生, 将这15名新生随机地平均分配到三个班级中去, 问每一个班级各分配到一名优秀生的概率是多少?,2019/4/21,50,例7 某接待站在某一周曾接待过12次来访，已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的，问是否可以推断接待时间是有规定的？,解 假设接待站的接待时间没有规定，而各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的，那么，12次接待来访者都在周二、周四的概率为212/712=0.0000003.,人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件在
18、一次试验中实际上几乎是不发生的”（称之为实际推断原理)。,现在概率很小的事件在一次试验中竟然发生了，因此，有理由怀疑假设的正确性，从而推断接待站不是每天都接待来访者，即认为其接待时间是有规定的。,5 几何概型,古典概型的计算，适用具有等可能性的有限样本空间，若试验结果无限，则它已经不适合 为了克服有限的局限性，利用几何方法，可将古典概型的计算加以推广,2019/4/21,51,设试验E具有以下特点： （1）样本空间S是一个几何区域，这个区域的大小是可以度量的（如长度、面积、体积等），并把对S的度量记作m(S); (2)向区域S内任意投掷，投掷落点在区域内任一个点处都是等可能的，或者设投掷落点在
19、S中的区域A内的可能性与A的度量成正比，而与A的位置、状态及形态无关,2019/4/21,52,设事件A：掷点落在区域A内，那么事件A的概率可用如下公式计算（几何概率公式）：可以验证，几何概率公式满足概率的公理化定义（非负性、规范性、可列可加性），因此，它是概率,2019/4/21,53,例1（约会问题）甲乙两人相约在0到T这段时间内，在预定的地点会面，他们到达的时间是等可能的，先到的人等候另一个人，经过事件t(0tT)后离去,求甲乙两人能会面的概率.,2019/4/21,54,例1(约会问题),2019/4/21,55,在约会问题中，一般总希望见到面的概率大一些，这就要求等待时间长一些； 而
20、轮船、火车进站等场合却相反，希望不遇见的概率大一些，这就要求等待时间短一些.,x,T,t,O,t,T,y,A,S,2019/4/21,56,(一) 条件概率:设试验E的样本空间为S , A, B是事件, 要考虑在A已经发生的条件下B发生的概率, 这就是条件概率,记为P(B|A).,例1. 将一枚硬币掷两次, 观察其出现正反面的 情况. 设 A“至少有一次正面”, B“两次掷 出同一面” 求： A发生的条件下B发生的概率.,6 条件概率,2019/4/21,57,S =HH, HT, TH, TT,A=HH, HT, TH,B=HH，TT,于是 P(B|A),分析：,已知事件A已发生，有了这一信
21、息，知道“TT”不可能发生，即知试验所有可能结果所成的集合就是A。,=1/3.,2019/4/21,58,在古典概型中:样本空间S由n个 样本点组成,若事件A包含nA个样 本点，AB包含nAB个样本点，则,直观含义: 求这个条件概率, A发生是一大前 提,构成所考虑问题的全空间 ，在这个空间 中求B发生的概率，因此P(B|A)=P(AB)/P(A).,2019/4/21,59,1. 定义: 设A, B是两个事件, 且P(A)0, 称,为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.,2. 性质: 条件概率符合概率定义中的三条公理,即,2019/4/21,60,此外, 条件概率具有无条件概率类似性质
22、.例如：,特别地，当A=S时,P（B|S）=P(B)，条件概率化为无条件概率，因此无条件概率可看成条件概率。,2019/4/21,61,例2 根据长期气象纪录，甲乙两城市一年中 雨天的比例分别为20%和18%,同时下雨的 比例为12%。求条件概率。,解：以A,B分别表示甲乙两城市出现雨天。 则P(A)=0.2,P(B)=0.18,P(AB)=0.12,于是,2019/4/21,62,例3 袋中有某产品件，其中一等品件 二等品件，不放回从中连续抽两件，A 表示第一次抽到一等品，B表示第二次抽 到一等品，求P(AB).,(二) 乘法定理:,2019/4/21,63,推广: P(AB)0, 则有P(
23、ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).,一般, 设A1, A2, ,An是n个事件,(n2), P(A1A2 .An-1)0, 则有乘法公式:,P(A1A2An)=P(A1)P(A2|A1)P(An-1|A1A2An-2)P(An|A1A2An-1).,2019/4/21,64,例4 设盒中有a(a2)个黑球，b个白球，连续从 盒中取球3次，每次取一球，取后不放回，求 第1,3次取到黑球第2次取到白球的概率。,解 以Ai 表示事件“第i次取到黑球”(i=1,2,3),2019/4/21,65,例5. 透镜第一次落下打破的概率为0.5,若第一次落下未打破, 第二次落下打破的概率为获0.7
24、, 若前两次落下未打破,第三次落下打破的概率为0.9, 试求透镜落下三次而未打破的概率.,2019/4/21,66,(三) 全概率公式和贝叶斯公式:,1. 样本空间的划分,2019/4/21,67,(1) 若B1,B2,Bn是样本空间S的一个划 分,则每次试验中, 事件B1, B2, , Bn 中必 有一个且仅有一个发生.,2019/4/21,68,2. 全概率公式:,称上式为全概率公式.,2019/4/21,69,再利用乘法定理即得,由概率的有限可加性,得,分析：,2019/4/21,70,例6 一批麦种中混有2%的二等种、1%的三等种、1%的四等种。一、二、三、四等种的发芽率为98%、95
25、%、90%、85%，现取一粒种子，问它能发芽的概率是多少？,解 设表示Bi“取到一粒种子属i等种”(i=1, 2,4)，显然Bi构成S的一个划分，设A表示 “取到一粒种子能发芽”，则由全概率公式得,2019/4/21,71,例7 甲箱中装有3只红球和2只白球,乙箱中2只红 球和2白球，从甲箱中取两只球放入乙箱中，再 从乙箱中取1球,求A:“从乙箱取得白球”的概率.,解 设Bi=从甲箱中取出i只白球,i=0,1,2.则B0,B1,B2构成样本空间的一个划分。有,由全概率公式,2019/4/21,72,贝叶斯公式:,由乘法公式:,由全概率公式:,P(A),于是可得结论.,2019/4/21,73,
26、贝叶斯公式的直观意义为：若事件B1,B2,Bn是引起事件A发生的n个原因，它们的概率P(Bi)(i=1,2,n)是在对A观察前就已知的，因此通常叫做先验概率。,如果在一次试验中，事件A（结果）发生了，那么反过来问：A的发生是由第i个原因引起的概率P(Bi|A)是多少？这就是贝叶斯公式解决的问题。通常称P(Bi|A)(i=1,2,n)为后验概率。,全概公式是“由因导果”的一个过程，贝叶斯公式则是“由果溯因”的一个推断公式。,2019/4/21,74,解 由贝叶斯公式可得,同理,例6（续）若取一粒种子做发芽实验，结果发芽 了，问它是一、二、三、四等种的概率是多大？,2019/4/21,75,例7.
27、 某电子设备厂所用的晶体管是由三家元件制 造厂提供的,数据如下: 元件制造厂 次品率 提供的份额1 0.02 0.152 0.01 0.803 0.03 0.05 (1) 任取一只晶体管,求它是次品的概率. (2) 任取一只,若它是次品,则由三家工厂 生产的概 率分别是多少?,2019/4/21,76,2019/4/21,77,例8 对以往数据分析结果表明, 当机器调整得良好 时, 产品的合格率为90%,而当机器发生某一故障时, 其合格率为30%, 每天早晨机器开动时机器调整良 好的概率为75%, 试求已知某日早上第一件产品是 合格品时, 机器调整得良好的概率是多少?,解:,由Bayes公式：
28、,P(B|A)=,=(0.90.75)/(0.9 0.75+0.3 0.25) =0.9.,2019/4/21,78,设A,B是试验E的两事件,当P(A)0, 可以定 义P(B|A),一般地, P(B|A)P(B), 但当A的发生对B的发生没有影响时,有P(B|A)=P(B)。,7 独立性,由乘法公式有P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B).,2019/4/21,79,例1. 设袋中有a只红球和b只白球(b0),今从袋 中取两次球,每次各取一球,分为放回和不放回 两种情况.,记: A“第一次取得的是红球”,B“第二次取得的是红球”,1. 有放回时:,所以 P(AB)=P(A)P(B
29、|A)=P(A)P(B).,2019/4/21,80,2. 不放回时:,2019/4/21,81,定义1: 设A,B是两事件,如果满足等式P(AB)=P(A)P(B), 则称事件A与事件B是相互独立的事件， 简称A,B独立.,必然事件S和不可能事件 与任何事件A 都独立,2019/4/21,82,定理：如果事件A,B相互独立，且P(B)0,则P(A|B)=P(A),反之亦然.,证： 由条件概率及上式定义得,2019/4/21,83,定理,2019/4/21,84,例2 甲、乙两射手向同一目标各射击一次,甲 击中目标的概率为0.9，乙击中目标的概率为 0.8，求在一次射击中目标被击中的概率。,解
30、 记A:“甲击中目标”，B:“乙击中目标”C:“目标被击中”,这里可认为事件A,B独立,则,2019/4/21,85,定义2: 设A,B,C是三个事件,若满足:P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C), P(ABC)=P(A)P(B)P(C)则称A,B,C为相互独立的事件.,定义3：对n个事件A1,A2,An,如果对所有可 能的组合1ijkn成立着P(AiAj)=P(Ai)P(Aj)P(AiAjAk)=P(Ai)P(Aj)P(Ak)P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An),则称这n个事件A1,A2,An相互独立.,2019/4/21,
31、86,推论：1. 如果A1,A2,An相互独立，那么其 中任意m个事件也相互独立.,2. 如果A1,A2,An相互独立，则将其中任意个事件换成其逆事件后也相互独立.,2019/4/21,87,注意：1. 前面三个式子表明A, B, C三事件两 两独立,并不能说A, B, C三事件相互独立.,定义4：设A1, A2, , An是n个事件，如果对 任意的1ij n有P(AiAj)=P(Ai)P(Aj), 则 称这 n个事件两两独立.,2. 若n个事件相互独立，必蕴含这n个事件 两两相互独立, 反之不真。,2019/4/21,88,例3 一均匀正四面体,第一、二、三面分别染成红白黑三色,第四面染上红
32、白黑三色.现以分别A,B,C记投掷一次四面体出现红白黑颜色的事件,则由于四面体中有两面有红色,同理 P(B)=P(C)=1/2,容易算出 P(AB)=P(BC)=P(AC)=1/4 所以A,B,C两两独立,但是 P(ABC)=1/41/8=P(A)P(B)P(C),因此 P(A)=1/2,2019/4/21,89,例4 假若每个人血清中有肝炎病毒的概率为 0.4%,混合100个人的血清，求此血清中含有 肝炎病毒的概率.,解 以Ai(i=1,2,100)记“第i个人的血清含有 肝炎病毒”,显然Ai相互独立的.所求概率为,虽然每个人有病毒的概率很小,但是混合后则有很大概率.,2019/4/21,9
33、0,例5. 设有8个元件,每个元件的可靠性均为p(元件能 正常工作的概率), 按如下两种方式组成系统, 试比 较两个系统的可靠性.,系统二:先并联后串联,系统一:先串联后并联,2019/4/21,91,解: 用Ai, Bi, 表示如图中诸元件能正常工作 的事件, i=1, 2, 3, 4.,C1, C2表示系统一、二可靠的事件.,则 C1=(A1A2A3A4)(B1B2B3B4),C2=(A1B1) (A2B2) (A3B3) (A4B4),于是P(C1)=P(A1A2A3A4)+P(B1B2B3B4)-P(A1A2A3A4B1B2B3B4),=p4+p4-p8=p4(2-p4),2019/4
34、/21,92,P(C2)=P(A1B1)P (A2B2) P(A3B3) P(A4B4)=(p+p-p2 )4=p4(2-p)4,当0p4(2-p4), 所以P(C2)P(C1).,一般地2n个元件组成以上两个系统, P(C1)=pn(2-pn), P(C2)=pn(2-p)n,所以有 P(C2)P(C1). (0p1),8 独立试验（伯努利试验）,在实际中经常碰到这一类试验，每次试验的结果只有两种，这种概型成为伯努利试验。例如，检验一件产品的质量看其是合格品还是次品；射击一次的结果击中或未击中；考试一次是否通过；等等；有些试验的结果虽然不只有两个，但有时人们在众多的结果中只关心其中一个事件 ，而把其余情况都归结为 ，这样又把此试验变成伯努利试验 将伯努利试验独立重复进行n次，称为n重伯努利试验,2019/4/21,93,2019/4/21,94,2019/4/21,95,练习题,2019/4/21,96,
