1、 1 数列基础知识点和方法归纳 1. 等差数列的定义与性质 定义： n1naad+-=（d为常数）， n1aa(n1)d=+- 等差中项：a、b、c成等差数列 2bac =+ 前n项和 1nn1(aa)n n(na)Snad22+ -=+ 性质：na 是等差数列 （1）若m+n=p+q，则 mnpqaaaa+=+ （2）数列 1221-2 , +nnn aaa 仍为等差数列， n2nn3n2nSSSSS-LL， 仍为等差数列，公差为 dn2 ； （3）若三个数等差数列，可设为a-d，a，a+d （4）若 nnab， 是等差数列，且前n项和分别为 nnST， ，则 m2m1m2m1aSbT-=
2、（5）na 为等差数列 2nSanbn =+（ab，为常数，是关于n的常数项为 0 的二次函数） nS的最值可求二次函数2nSanbn=+的最值；或者求出na 中的正、负分界项， 即：当 1a0d0， ，由 nn1a0a0+ 可得 nS达到最小值时的n值. (6)项数为偶数 n2 的等差数列na ，有 ),)()()( 111-22212 为中间两项+=+=+= nnnnnnn aaaanaanaanS L ndSS =奇偶 - ，1+=nnaaSS偶奇 . （7）项数为奇数 1-2n 的等差数列na ，有 )()1-2(1-2 为中间项nnn aanS = ， naSS =偶奇 - ， 1-
3、nnSS =偶奇 . PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 2 2. 等比数列的定义与性质 定义： n1na qa+ = （q为常数，q0 ）， n1n1aaq-= 。. 等比中项：a、 b、c成等比数列 2bacac =，或b= 。 前n项和：1n1na(q1)a(1q)(q1)1q= - - ， （要注意！） 性质：na 是等比数列 （1）若m+n=p+q，则 mnpqaaaa = （2） n2nn3n2nSSSSS-LL， 仍为等比数列,公比为 nq . 注意：由 nS求 na时应注意什么？ n=1时， 11aS= ； n2 时， nnn1aSS-=- . 3
4、求数列通项公式的常用方法 （1）求差（商）法 如：数列na ， 12n111aaa2n5222+=+L LL，求 na 解：n=1时， 11 a2152 =+， 1a14= n2 时，令数列只有n-1项，则 12n1n1111aaa2(n1)5222-+=-+L LL 得： nn1 a22 = ， n1na2+= ， n n114a 2(n2)+ = ，(n=1)， （2）叠乘法 如：数列na 中， n11na na3an1+=+， ，求 na 解： 32n12n1aaa12n1aaa23n- = LLL ， n1a 1an= ，又1a3= ， n3an=。 PDF 文件使用 “pdfFact
5、ory Pro“ 试用版本创建 3 （3）等差型递推公式已知函数yf(x)N)+=，(x ， nn110aaf(n)aa-=， ，求 na，用迭加法 n2 时，2132nn1aaf(2)aaf(3)aaf(n)-= -= -= LL 等式两边相加得 n1aaf(2)f(3)f(n)-=+L n0aaf(2)f(3)f(n)=+L （4）等比型递推公式 已知 nn1acad-=+，（cd、为常数，c0c1d0， ）求 na的通项公式。 解：设 nn1nn1axc(ax)ca(c1)x-+=+=+-，整理得a 令(c1)xd-=， dx c1= - ， n da c1 + - 是首项为 1 da
6、c1+ - ，c为公比的等比数列 n1n1dda(a)cc1c1 -+=+ -， n1n1dda(a)cc1c1-=+ - （5）倒数法 如：已知 n1n1n2aa1aa2+=+， ，求 na 由已知得： nn1nna211a2a2a+=+，n1n111aa2+ -= n1a为等差数列，首项11 1a，公差d=12， n1111(n1)(n1)a22=+-=+， n 2a n1= +小结： 求na 的通项，一般使用公式法、利用 1nnn1S(n1)aSS(n2)-= =- 、累加法、累乘法.构造等差或等比数列 1+ =+nnapaq或 1 ()+ =+nnapafn、待定系数法、对数变换法、迭
7、代法、数学归纳法、换元法。 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 4 )4. 求数列前n项和的常用方法 (1) 裂项法 把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项. 如：na 是公差为d的等差数列，求nk1 kk11aa= + 解：由kkkk1kkk kk11(ad)a1 111daaa(ad)a(ad)daa+- =- + +nnk1k1kk1kk11223nn111111111111()aadaadaaaaaa=+ =-=-+-+- L 1n1111daa+ =- （2）错位相减法 若na 为等差数列，nb 为等比数列，求数列 nnab （差比数列
8、）前n项和，可由nnSqS- ，求 nS，其中q为nb 的公比. 如： 23n1nS12x3x4xnx -=+L 234nnxSx2x3x4xnx=+L 得：n23n1nnn(1x)(1x)S1xxxxnxnx1x- -=+-=-L 当x1时，nnn 2(1x)nxS(1x)1x-=-，x1= 时， nn(n1)S123n2+=+=L （3）倒序相加法 把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加. n12n1nnnn121SaaaaSaaaa-=+ =+ LL 相加 n1n2n1n12n12S(aa)(aa)(aa)(aa)-=+L PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版
9、本创建 5 小结： a.用倒序相加法求数列的前n项和 如果一个数列an，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。 b.用公式法求数列的前n项和 对等差数列、等比数列，求前 n项和Sn可直接用等差、等比数列的前 n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。 c.用裂项相消法求数列的前n项和 裂项相
10、消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前 n 项和。一般通项有以下特征可用此法：分子相等，分母为两多项式相乘且该两多项式的差为常数。 d.用错位相减法求数列的前n项和 错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列anbn中，an成等差数列，bn成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前n项和。 e.用迭加法求数列的前n项和 迭加法主要应用于数列an满足an+1=an+f(n)，其中f(n)是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成 an+1-an=f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出an ，从而求出Sn。 f.用分组求和法求数列的前n项和 所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。 g.用构造法求数列的前n项和 所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前n项和。 ) PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建
