1、数 列 专 题 考点一：求数列的通项公式1. 由 an与 Sn的关系求通项公式由 Sn 与 an 的递推关系求 an 的常用思路有：利用 SnS n1 a n(n2)转化为 an的递推关系，再求其通项公式；数列的通项 an与前 n 项和 Sn的关系是 anError!当 n1 时，a 1若适合 SnS n1 ，则n1 的情况可并入 n2 时的通项 an；当 n1 时，a 1若不适合 SnS n1 ，则用分段函数的形式表示转化为 Sn的递推关系，先求出 Sn与 n 的关系，再求 an.2.由递推关系式求数列的通项公式由递推公式求通项公式的常用方法:已知数列的递推关系，求数列的通项公式时，通常用累
2、加、累乘、构造法求解 累加法：递推关系形如 an1 a nf(n)，常用累加法求通项； 累乘法：递推关系形如 f(n)，常用累乘法求通项；an 1an 构造法：1）递推关系形如“a n1 pa nq(p、q 是常数，且 p1，q0)”的数列求通项，此类通项问题，常用待定系数法可设 an1 p(a n)，经过比较，求得，则数列a n是一个等比数列；2）递推关系形如“a n1 pa nq n(q，p 为常数，且 p1，q0)”的数列求通项，此类型可以将关系式两边同除以 qn转化为类型(4)，或同除以 pn1 转为用迭加法求解3） 倒数变形3.数列函数性质的应用数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，
3、即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列因此，在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性函数思想在数列中的应用(1)数列可以看作是一类特殊的函数，因此要用函数的知识，函数的思想方法来解决(2)数列的单调性是高考常考内容之一，有关数列最大项、最小项、数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调性时常用：作差；作商；结合函数图象等方法（3)数列a n的最大(小)项的求法可以利用不等式组Error!找到数列的最大项；利用不等式组Error!找到数列的最小项. 例 3 已知数列a n(1)若 ann 25n4，
4、数列中有多少项是负数？n 为何值时，an有最小值？并求出最小值(2)若 ann 2kn4 且对于 nN *，都有 an1 an成立求实数 k 的取值范围 考点二：等差数列和等比数列等差数列 等比数列定义 ana n1 常数(n2) 常数(n2)anan 1通项公式 ana 1(n1)d ana 1qn1 (q0)判定方法(1)定义法(2)中项公式法：2a n1 a na n2 (n1)an为等差数列(3)通项公式法：a npnq(p、q 为常数)an为等差数列(4)前 n 项和公式法：S nAn 2Bn(A、B 为常数)an为等差数列(5)an为等比数列，a n0logaan为等差数列(1)定
5、义法(2)中项公式法：a a nan2 (n1)2n 1(an0)an为等比数列(3)通项公式法：a ncq n(c、q 均是不为 0 的常数，nN *)an为等比数列(4)an为等差数列a an为等比数列(a0 且a1)性质(1)若 m、n、p、qN *，且 mnpq，则 ama na pa q特别：若 mn2p，则 ama n2a p.(2)ana m(nm)d(3) 数列 Sm，S 2mS m，S 3mS 2m，也是等差数列，即 2(S2mS m)S m+(S3mS 2m)(1)若 m、n、p、qN *，且 mnpq，则 amana paq特别地，若 mn2p，则 amana .2p(2
6、)ana mqnm(3) 若等比数列前 n 项和为 Sn则Sm，S 2mS m，S 3mS 2m仍成等比数列，即(S2mS m)2S m(S3mS 2m)(mN *，公比q1)前 n 项和 Sn na 1 dn a1 an2 n n 12 (1)q1，Sn a1 1 qn1 q a1 anq1 q(2)q1，S nna 11.在等差(比)数列中，a 1，d(q)，n，a n，S n五个量中知道其中任意三个，就可以求出其他两个解这类问题时，一般是转化为首项 a1和公差 d(公比 q)这两个基本量的有关运算2.等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的
7、工具，应有意识地去应用但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形3.用函数的观点理解等差数列、等比数列（1）对于等差数列 ana 1(n1)ddn(a 1d)，当 d0 时，a n是关于 n 的一次函数，对应的点(n，a n)是位于直线上的若干个离散的点；当 d0 时，函数是单调增函数，对应的数列是单调递增数列，S n有最小值；当 d0 时，函数是常数函数，对应的数列是常数列，S n=na1；当 d0 时，函数是减函数，对应的数列是单调递减数列，S n有最大值若等差数列的前 n 项和为 Sn，则 Snpn 2qn(p，qR)当 p0 时，a n为常数列；当 p0 时，可用二次函数
8、的方法解决等差数列问题（2）对于等比数列 ana 1qn1 ，可用指数函数的性质来理解当 a10，q1 或 a10,0q1 时，等比数列a n是单调递增数列；当 a10,0q1 或 a10，q1 时，等比数列a n是单调递减数列；当 q1 时，是一个常数 列；当 q0 时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列4.常用结论(1)若a n，b n均是等差数列，S n是a n的前 n 项和，则ma nkb n， 仍为等差Snn数列，其中 m，k 为常数(2)若a n,bn均是等比数列，则ca n(c0)，|a n|，a nbn，ma nbn(m 为常数)，a ， 等也是等比数列2n1an(3)公比
9、不为 1 的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即a2a 1，a 3a 2，a 4a 3，成等比数列，且公比为 q.a3 a2a2 a1 a2 a1 qa2 a1(4)等比数列(q1)中连续 k 项的和成等比数列，即 Sk，S 2kS k，S 3kS 2k，成等比数列，其公比为 qk.等差数列中连续 k 项的和成等差数列，即 Sk，S 2kS k，S 3kS 2k，成等差数列，公差为 k2d.5）5.易错提醒(1)应用关系式 anError!时，一定要注意分 n1，n2 两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起(2)三个数 a，b，c 成等差数列的充要条 件是 b
10、 ，但三个数 a，b，c 成等比数列a c2的必要条件是 b2ac.6.等差数列的判定方法(1)定义法：对于 n2 的任意自然数，验证 ana n1 为同一常数；(2)等差中项法：验证 2an1 a na n2 (n3，nN *)成立；(3)通项公式法：验证 anpnq；(4)前 n 项和公式法：验证 SnAn 2Bn.注意：在解答题中常应用定义法和等差中项法，而通项公式法和前 n 项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断7.等比数列的判定方法(1)定义法：若 q(q 为非零常数，nN *)或 q(q 为非零常数且an 1an anan 1n2，nN *)，则a n是等比数列(2)等比中
11、项公式法：若数列a n中，a n0 且 a a nan2 (nN *)，则数列a n是2n 1等比数列(3)通项公式法：若数列通项公式可写成 ancq n(c，q 均是不为 0 的常数，nN *)，则a n是等比数列(4)前 n 项和公式法：若数列a n的前 n 项和 Snkq nk(k 为常数且 k0，q0,1)，则a n是等比数列注意：前两种方法常用于解答题中，而后两种方法常用于选择、填空题中的判定. 考点三：数列求和中应用转化与化归思想的常见类型：1.公式法 直接利用等差数列、等比数列的前 n 项和公式求和(1)等差数列的前 n 项和公式：S n na 1 d；n a1 an2 n n
12、12(2)等比数列的前 n 项和公式：S nError!2.倒序相加法如果一个数列a n的前 n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前 n 项和即是用此法推导的3.错位相减法这是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列anbn的前 n 项和，其中a n，b n分别是等差数列和等比数列求a1b1a 2b2a nbn的和就适用此法做法是先将和的形式写出，再给式子两边同乘或同除以公比 q，然后将两式相减，相减后以“q n”为同类项进行合并得到一个可求和的数列(注意合并后有两项不能构成等比数列中的
13、项，不要遗漏掉)4.裂项相消法(注重积累！)利用通项变形，将通项分裂成两项或 n 项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和这种方法，适用于求通项为 的数列的前 n 项和，其中a n若1anan 1为等差数列，则 .1anan 1 1d(1an 1an 1)利用裂项相消法求和时应注意哪些问题？(1)在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差；(2)在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，或前面剩下两项，后面也剩下两项常见的拆项公式(1) ； (2) ；1n n k 1k(1n 1n k) 12n 12n 1 12( 12n 1 12n 1)(3) ； (4) ; (5) 1n
14、n 1 1n 1n 1 1n n 1 n 1 n 1n n k( ).1k n k n5.分组求和法:一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减6.并项求和法一个数列的前 n 项和，可两两结合求解，则称之为并项求和形如 an(1) nf(n)类型，可采用两项合并求解例如，S n100 299 298 297 22 21 2(10099)(9897)(21)5 050.7.放缩法是证明数列型不等式的压轴题的最重要的方法,放缩法的注意问题以及解题策略(1)明确放缩的方向：即是放大还是缩小，看证明的结论，是小于某项，则放大，是大于某个项，则缩小。(2)放缩的项数：有时从第一项开始，有时从第三项，有时第三项，等等，即不一定是对全部项进行放缩。(3)放 缩 法 的 常 见 技 巧 及 常见的放缩式：（ 1） 根 式 的 放 缩 ： ；112kk（ 2） 在 分 式 中 放 大 或 缩 小 分 子 或 分 母 ： ；21(2)()kk真分数分子分母同时减一个正数，则变大；， ； 假分数分子分母同时减一个正数，1n则变小，如 ；12n（ 3） 应 用 基 本 不 等 式 放 缩 ： ；22nn
