1、- 1 -五、数列一、数列定义：数列是按照一定次序排列的一列数，那么它就必定有开头的数，有相继的第二个数，有第三个数，于是数列中的每一个数都对应一个序号；反过来，每一个序号也都对应于数列中的一个数。因此，数列就是定义在正整数集 （或它的有限子集 ）上*N,32,1n的函数 ，当自变量从 1 开始由小到大依次取正整数时，相对应的一列函数值为)(nf； 通常用 代替 ，于是数列的一般形式常记为 或简记为,21na)(f ,21a，其中 表示数列 的通项。nan注意：（1） 与 是不同的概念， 表示数列 ，而 表示的是数列的第n,21an项；（2 ）数列的项与它的项数是不同的概念，数列的项是指这个数
2、列中的某一个确定的数，它是一个函数值；而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值。（3 ） 和 之间的关系：naS)2(1nSan如：已知 的 满足 ，求 。n)lg(*Nna二、等差数列、等比数列的性质：等差数列 等比数列定义如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫等差数列如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列公差（比），或)2,(*1nNdan；，或qan1),(*nN（ ） ；n0通项公式nama= dama求和公式由倒序相加法推得= nS由错项相减法推得 ， = 1qnS ， 用函数的思想
3、若 为等差数列 ，则naban若 为等比数列 ，则 nanca- 2 -理解通项公式， ；ab等差数列的图象是直线上的均匀排开的一群孤立的点， ；c用函数的思想理解求和公式等差数列 ， ，naCBnAS2则 ； ； C；若 ，说明： 0；在二次函数 的),(nS图象上，是一群孤立的点。若 为等比数列， ，naBAaSn则 ； ； ；（其中 的系数 与 为互为相反数，这是公式一很重要特点，注意前提条件 。 ）1,0q若 ，说明： AB；等比数列 ， ，则 naaSn3； 增减性为递增数列 ；na为递减数列 ；为常数列 。n 为递增数列 n； 为递减数列 na； 为常数列 ；n为摆动数列 ；a等差
4、（比）中项任意两个数 有且只有一个等差中项，ba,即为 ；两个数的等差中项就是这两个数的算术平均数。两个数 的等比中项为 ；（b,）0mnn a_21中a mnnaa_212中若 ，则_ qpm_；特别当 ，则 n2；若 ，则_ qp_；特别当 ，则 nm2；等差（比）数列的性质在等差数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列，但剩下的项按原顺序构成的数列不一定是等差数列。在等比数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等比数列，剩下的项按原顺序构成的数列也不一定是等比数列。- 3 -如： ；问公差为 ,531a如： ；问公比为 ,53
5、1a987642,a是 数列；公差为 ；成等差数,232mmSS列。 963852741, aaa是 数列；公差为 ；987642,a是 数列；公比为 ；987654321,a是 数列；公比为 ； 963852741, a是 数列；公比为 ；若数列 与 均为等差数列，则nab仍为等差数列，公差为 km；若数列 与 均为等差数列，则nb仍为等比数列，公比为 ma；仍为等比数列，公比为 ；nb如：（1）在等差数列 中 ， ，则 ；na10S32nS3（2 ）在等比数列 中 ， ，则 ；n另外，等差数列中还有以下性质须注意：（1 ）等差数列 中，若 ，则 ；na)(,mnannma（2 ）等差数列
6、中，若 ，则 ；SS（3 ）等差数列 中，若 ，则 ； n )(mnnm21 nmS；（4 ）若 ，则 时， 最大。qPS n（5 ）若 与 均为等差数列，且前 n 项和分别为 与 ，nabnST则 ；_Tm_TSanm（6 ）项数为偶数 的等差数列 ，有 （ 与 为2n )(2)(112 nnn aa1n中间的两项）- 4 -； ；奇偶 S偶奇S项数为奇数 的等差数列 ，有 （ 为中间项）12nnanna)12(1； ； ；偶奇 S偶奇S偶奇 S等比数列中还有以下性质须注意：（1 ）若 是等比数列，则 ， 也是等比数列，公比分别 ； na)0(na|na；（2 ）若 是等比数列，则 ， 也是
7、等比数列，公比分别 ； ；n1n2三、判定方法：（1 ）等差数列的判定方法：定义法： 或 （ 为常数） 是等差数列dan1 )2(1ndan na中项公式法： 是等差数列22通项公式法： （ 为常数） 是等差数列qpn,na前 项和公式法： （ 为常数） 是等差数列BnAS2,n注意：是用来证明 是等差数列的理论依据。na（2 ）等比数列的判定方法：定义法： 或 （ 是不为零的常数） 是等比数列qn1)2(1dnqna中项公式法： 是等差数列)02122 nnaa通项公式法： （ 是不为零常数） 是等差数列ncq,前 项和公式法： （ 是常数） 是等差数列nkSn21qna注意：是用来证明 是
8、等比数列的理论依据。na四、数列的通项求法：（1 ）观察法：如：（1）0.2，0.22，0.222，（2 ）21，203，2005，20007，（2 ）化归法：通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列。递推式为 及 （ 为常数）：直接运用等差（比）数列。dan1nnqa1d,- 5 -递推式为 ：迭加法)(1nfan如：已知 中 ， ，求21421anna递推式为 ：迭乘法nnf)(1如：已知 中 ， ，求an1递推式为 （ 为常数）：qpnn1,构造法：、由 相减得 ，则ann12 )()(112nnapa为等比数列。1、设 ，得到 ， ，则)()(1taptnn qtp1pt为等比数列
9、。qan如：已知 ，求52,1nnna递推式为 （ 为常数）：qpa,两边同时除去 得 ，令 ，转化为 ，1nqpn1nabqbpnn11再用法解决。如：已知 中， ， ，求na65111)2(3nnan递推式为 （ 为常数）：nqp2p,将 变形为 ，可得出 解出nnaa12 )(112nntasta qstp，于是 是公比为 的等比数列。ts,1nts如：已知 中， ， ，求na2,annna31（3 ）公式法：运用 ,1Snn已知 ，求 ；已知 中， ，求 ；532SnannnaS23- 6 -已知 中， ，求na)2(1,1nSan na五、数列的求和法：（1 ）公式法：等差（比）数列
10、前 项和公式： ；3 ；6)12(322nn 233)1(2n（2 ）倒序相加（乘）法：如：求和： ；nnn CCS)(3210已知 为不相等的两个正数，若在 之间插入 个正数，使它们构成以 为ba, ba, a首项， 为末项的等比数列，求插入的这 个正数的积 ；nP（3 ）错位相减法：如：求和： nxxS32（4 ）裂项相消法： ； )(1kna nkan1；如： ；)1(4321nS ；)2(51若 ，则 ；1nan nS（5 ）并项法：如：求 10943210 S（6 ）拆项组合法：如：在数列 中， ，求 ，na2nnnS六、数列问题的解题的策略：（1 ）分类讨论问题：在等比数列中，用前 项和公式时，要对公比 进行讨论；只有q时才能用前 项和公式， 时1q11a已知 求 时，要对 进行讨论；最后看 满足不满足nSa2,n，若满足 中的 扩展到 ，不满足分段写成 。)2(*Nn（2 ）设项的技巧：对于连续偶数项的等差数列，可设为 ，公差为 ； ,3,3, dadad2- 7 -对于连续奇数项的等差数列，可设为 ，公差为 ,2,2, dada；d对于连续偶数项的等比数列，可设为 ，公比为 ； ,33q2q对于连续奇数项的等比数列，可设为 公比为 ； ,22a- 8 - 9 -w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
