1、2017 届陕西省黄陵中学高三上学期期末考试（重点班）数学（文）试题 第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合 log,32aP， bQ,，若 0P，则 QP（ ）A.0, B. ,0 C. 1,3 D. 2,13 2若奇函数 f（ x）的定义域为 R，则有（ ）A f（ x） f（- x） C f（ x） f（- x） C f（ x） f（- x）0 D f（ x） f（- x）03若 a,b 是异面直线，且 a平面 ，那么 b 与平面 的位置关系是（ ）A b B b 与 相交C b
2、 D以上三种情况都有可能4 “ 1a”是“直线 1xay与直线 5xy平行”的（ ）条件。A充分但不必要 B必要但不充分 C充分 D既不充分也不必要5.设直线 l与平面 相交但不垂直，则下列命题错误的是 （ ）A在平面 内存在直线 a与直线 l平行 B在平面 内存在直线 a与直线 l垂直 C在平面 内存在直线 与直线 相交 D 在平面 内存在直线 与直线 异面6. 九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为 （ ）A 4 B 642 C.42 D 27. 已知 na是等比数列，且 5371,a，则 9a （ ）A 2 B 2
3、C.8 D 188. 已知对数函数 log(0afx，且 1)a在区间 2,4上的最大值与最小值之积为 2，则 a （ ）A 12 B 12或 C. D9. 执行如图所示的程序框图，则输出的 a （ ）A 1 B 1 C. 4 D 5210. 已知函数 24xf，若在区间 0,16内随机取一个数 0x，则 0f 的概率为 （ ）A 14 B 13 C. 23 D 3411. 现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为 （ ）A 63 B 6 C. 328 D 32412. 已知 12,x是函数 2sincofxxm在 0, 内的两个零点，则
4、12sinx（ ）A B 35 C. 45 D 34第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 设向量 a与 b满足 2,1,2ab,则 ab14. 设实数 ,xy满足约束条件250431xy，则 zyx 的最大值等于 15. 抛物线 2:0Mpx与椭圆 2:10xNab有相同的焦点 F， 抛物线 M与椭圆 N交于 ,AB，若 ,F共线，则椭圆 的离心率等于 16. 已知数列 na的前 项和 26nS，则数列 1na的前 20项和等于 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分
5、12 分）在 ABC中,角 、 、 所对的边分别为 、 b、 c.已知22cossinaAb.（1）求 C；（2）若 B的面积为 1534，周长为 15，求 c.18. （本小题满分 12 分）在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为 1:3，且成绩分布在 40,1，分数在 80以上（含 ）的同学获奖. 按文理科用分层抽样的方法抽取 20人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（见下图）.（1）求 a的值，并计算所抽取样本的平均值 x（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）填写下面的 2列联表，能否有超过 095的把握认为“获奖与学生的文理科有关”？文科生 理
6、科生 合计获奖 5不获奖合计 20附表及公式：22nadbcKd，其中 nabcd2Pk0.15.0.50.2.10.50.17263841637892819. （本小题满分 12 分）已知椭圆 C的左、右焦点分别为 (,)、 (,)，且经过点 (3,)（I）求椭圆 C的方程：（II）直线 ykx（ ,0R）与椭圆 相交于 ,AB两点， D点为椭圆 C上的动点，且 ADB，请问 ABD的面积是否存在最小值？若存在，求出此时直线 的方程：若不存在，说明理由 20. （本小题满分 12 分）已知 a为实数， 327fxaxx.（1）若 0f，求 fx在 2,上的最大值和最小值；（2）若 x在 ,和
7、 3上都递减，求 的取值范围.21. （本小题满分 12 分）已知圆 22:Mxy，圆 22:840Nxy，经过原点的两直线 12,l满足 12l，且 1l交圆 于不同两点 2,ABl交圆 于不同两点 ,CD，记 1l的斜率为 k.（1）求 k的取值范围； （2）若四边形 ABCD为梯形，求 k的值请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy中，曲线 1:4xy，曲线 21cos:(inxCy为参数） ， 以坐标原点 O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线 12,C的极
8、坐标方程；（2）若射线 :0lp分别交 12,C于 ,AB两点， 求 OA的最大值23. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 1fxaxa.（1）当 2a时，解不等式 4fx；（2）若 1fx，求 a的取值范围文科数学参考答案一、选择题：1-5CCDA A 6-12 BABCD AC二、填空题：（13 ）5 （14）2 （15） 1 （16） 2435三、解答题：（17 ）解：（）由正弦定理可得sinA2sin AcosAcosB2si nBsin2A2si nA(cosAcosBsin BsinA)2sin Acos(AB)2sin AcosC所以 cosC ，故 C
9、12 23（）由ABC 的面积为 得 ab15，1534由余弦定理得 a2b 2ab c 2，又 c15( ab)，解得 c7 12 分（18 ）解：（）a 1 (0.010.0150.030.0150.005)10 100.025，45 0.1550.1565 0.2575 0.3850.15 95 0.0569 4 分x（）文科生 理科生 合计获奖 5 35 40不获奖 45 115 160合计 50 150 2008 分k 4.1673.841，200(5115 3545)25015040160 256所以有超过 95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”（19 ）解 ：（）过 N 作
10、NEBC，交 PB 于点 E，连 AE，CN3 NP，ENBC 且 EN BC，14又ADBC， BC2AD 4，M 为 AD 的中点，AM BC 且 AM BC，14ENAM 且 ENAM，四边形 AMNE 是平行四边形 ，MN AE，又MN 平面 PAB，AE 平面 PAB，MN 平面 PAB（）连接 AC，在梯形 ABCD 中，由 BC2 AD4，ABCD， ABC60得 AB 2，AC2 ，ACAB3PA平面 ABCD，PAAC又PAABA，AC平面 PAB又CN3 NP，N 点到平面 PAB 的距离 d AC 14 32（20） （I）由题意， 1432bac， a=2， b=1，
11、椭圆 C 的方程：2yx （II）D 在 AB 的垂直平分线上，OD：xky1 由 142yxk，可得（1+4 k2） x2=4，|AB|=2|OA|=22yx=4 142k， 同理可得|OC|=2 42， 666则 SABC =2SOAC =|OA|OC|=2(1)4k 由于 2)(5)4(12k， 所以 SABC =2SOAC 8，当且仅当 1+4k2=k2+4（ k0） ，即 k=1 时取等号ABD 的面积取最小值 85直线 AB 的方程为 y=x （21 ）解：（）显然 k 0，所以 l1：y kx ，l 2：y x1k依题意得 M 到直线 l1 的距离 d1 ，|2k 2|1+k2
12、2整理得 k24 k10，解得 2 k2 ；3 3同理 N 到直线 l2 的距离 d2 ，解得 k ，|8k|1+k2 40 153 153所以 2 k 3153（）设 A(x1， y1)，B (x2，y 2)，C (x3，y 3)，D( x4，y 4)，将 l1 代入圆 M 可得(1 k 2)x2 4(1k)x 60，所以 x1x 2 ，x 1x2 ；4(1 k)1 k2 61 k2将 l2 代入圆 N 可得：(1 k 2)x216 kx24k 20，所以 x3x 4 ，x 3x4 16k1 k2 24k21 k2由四边形 ABCD 为梯形可得 ，所以 ，x1x2 x4x3 (x1 x2)2
13、x1x2 (x3 x4)2x3x4所以(1k) 24，解得 k1 或 k3 （舍） （22 ）解 ：（）C 1： (cossin )4，C2 的普通方程为( x1) 2y 21，所以 2cos （）设 A(1， )，B( 2， )， ，4 2则 1 ， 22cos ，4cos sin 2cos(cossi n)|OB|OA| 21 14 (cos2sin 21) cos(2 )1 ，14 14 2 4当 时， 取得最大值 ( 1)8 |OB|OA| 14 2（23 ）解：（）若 a 1，f (x)(a1)|x1|x1 |xa|a1 ，当且仅当 x1 时，取等号，故只需 a11 ，得 a2若 a 1，f (x)2|x1|， f(1)01，不合题意若 0a1，f (x)a |x1|a |xa|(1 a)|x a|a (1a )，当且仅当 xa 时，取等号，故只需 a(1a) 1，这与 0 a1 矛盾综上所述，a 的取值范围是2 ，)解法 2f(x)1 f(1)|1a|1 且 a0 ，解得 a2.当 a2 时，f (x)a |x1|xa| (a 1)x 2a， x 1，(a 1)x， 1 x a，(a 1)x 2a， x a )所以，f (x)在（ ,1上递减，在1 ，）上递增，则 f(x)f (1)f(x)1 f(1)a11，解得 a2 综上所述，a 的取值范围是2 ，)
