1、2017 届江西省吉安一中、九江一中等八所重点中学高三 4 月联考数学（理）试题考试用时：120 分 全卷满分：150 分 注意事项：1.答题时，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.选做题的作答：先把所做题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题
2、卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。5.考试结束后，请将答题卡上交； 第 卷（选择题部分，共 60 分）一、选择题：本题共 12 题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 已知 i为虚数单位， mR，复数 mmz822i，若 z为负实数，则 m的取值集合为（ ） A 0 B 8 C ,4 D 4,2 2.已知集合 2lgxxy，集合 21Byx，则集合 xABx且 为（ ）A. 2,1, B. ,1, C. ,1,2 D. ,21,3. 在 6x展开式中， 二项式系数的最大值为 a，含 5x项的系数为 b，则 a（ ）A. 53 B. 53
3、 C. 3 D. 34 .已知抛物线 C的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，直线 l过抛物线 C的焦点，且与抛物线的对称轴垂直， l与 交于 ,AB两点，且 8， M为抛物线 准线上一点，则 ABM的面积为（ ）A. 16 B. 18 C. 24 D. 325.给出下列四个命题：“若 0x为 =yf的极值点，则 0fx”的逆命题为真命题；“平面向量 a,b的夹角是钝角”的充分不必要条件是 0ba若命题 1:0px，则 1:0px；命题“ R，使得 2”的否定是：“ xR均有 210x”.其中不正确的个数是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 46. 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，
4、书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1 匹=40 尺，一丈=10 尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织 5 尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按 31 天算，记该女子一个月中的第n天所织布的尺数为 na，则 1329312480a的值为（ ）A. 165 B. 65 C. 6 D. 67. 若执行如右图所示的程序框图，输出 S的值为 4，则判断框中应填入的条件是（ ）A. 18k B. 17k C. 16k D. 15k8. 已知2
5、220807ln,ln,ab2061ln5c，则（ ）A bc B ac C D 9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A. 136 B. 14 C. 36 D. 410. 若一个四位数的各位数字相加和为 0，则称该数为“完美四位数” ，如数字“ 2017”.试问用数字 ,1234,567组成的无重复数字且大于 的“完美四位数 ”有（ ）个A 53 B 59 C D 111. 已知双曲线21:6xyC与双曲线 2:0,xyab的离心率相同，且双曲线 2C的左、右焦点分别为 2,F， M是双曲线 2一条渐近线上的某一点，且 2OMF， 283OMFS，则双曲线2C的实
6、轴长为（ ）A. 4 B. 43 C. 8 D. 83 12. 已知定义在 ,上的函数 fx与其导函数 fx满足 14()0xffx，若 1220xfxyefy，则点 ,y所在区域的面积为（ ）A. 12 B. 6 C. 18 D. 9第卷（非选择题部分，共 90 分）本卷包括必考题和选考题两部分。第 1321 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 2223 题为选做题，考生根据要求作答。二、填空题：本题共 4 题，每小题 5 分，共 20 分13.已知 ,1,21,xabc，若 cba/)2(，则 a .14. 若正实数 ,mn满足 24xdx，则 2logmn的最小值为 .15. 已知等
7、差数列 na的前 项和为 nS，并且 25,1aS，数列 nb满足 2nnN，记集合 2| ,SbMN，若 M的子集个数为 16，则实数 的取值范围为 .16. 已知动点 P 在棱长为 1 的正方体 ABCD1的表面上运动，且线段 03PAr，记点 P 的轨迹长度为 ()fr.给出以下四个命题： 3(1)2f ； 2)3f； 23()f函数 r在 (0,)上是增函数， (fr在 2,)上是减函数.其中为真命题的是 （写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.（本小题满分 12 分）已知 ,abc分别为锐角 ABC三个内角 ,
8、的对边，且sinsinabAB（）求 的大小；（）求 2sisi2C的取值范围.18. （本小题满分 12 分）继共享单车之后，又一种新型的出行方式-“共享汽车”也开始亮相北上广深等十余大中城市，一款叫“一度用车”的共享汽车在广州提供的车型是“奇瑞 eQ”，每次租车收费按行驶里程加用车时间,标准是“1 元/公里+0.1 元/分钟” ，李先生家离上班地点 10 公里，每天租用共享汽车上下班，由于堵车因素，每次路上开车花费的时间是一个随机变量，根据一段时间统计 40 次路上开车花费时间在各时间段内的情况如下：时间（分钟） 15,25,35,45,65,次数 8 14 8 8 2以各时间段发生的频率
9、视为概率，假设每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为 ,1分钟.（）若李先生上、下班时租用一次共享汽车路上开车不超过 45 分钟，便是所有可选择的交通工具中的一次最优选择，设 是 4 次使用共享汽车中最优选择的次数，求 的分布列和期望.（）若李先生每天上下班使用共享汽车 2 次，一个月（以 20 天计算）平均用车费用大约是多少（同一时段，用该区间的中点值作代表）.19. （本小题满分 12 分）如图，多面体 ABCDEF中，四边形 ABCD是菱形， 4AB, 60D， ,相交于 O， EF C，点 E在平面 ABCD 上的射影恰好是线段 的中点（）求证： C平 面 ；（）若直线 与平面 所
10、成的角为 45，求平面 与 平面 所成角（锐角）的余弦值20. （本小题满分 12 分）如图所示，在 ABC中， 的中点为 O,且 1A，点 D在 B的延长线上，且 12BDA.固定边 B，在平面内移动顶点 ， 使得圆 M与边 C，边 的延长线相切，并始终与 A的延长线相切于点 ，记顶点 的轨迹为曲线 .以所在直线为 x轴， O为坐标原点如图所示建立平面 直角坐标系.（）求曲线 的方程；（）设动直线 l交曲线 于 EF、 两点，且以 E为直径的圆经过点 O，求 EF面积的取值范围.21. （本小题满分 12 分）已知函数 31()ln(),fxagxax ， e1xh（）当 0 时， h恒成立
11、，求 的取值范围；（）当 x 时，研究函数 Fxx的零点个数；（）求证： 10953269e (参考数据： ln1.0953)请考生在第（22） 、 （23 ）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xoy中，已知圆 C的参数方程为 12cosinxy为 参 数 ，直线 l的参数方程为523xty为 参 数，定点 1,P. （）以原点 O为极点， x轴的非负半轴为极轴，单位长度与平面直角坐标系下的单位长度相同建立极坐标系，求圆 C的极坐标方程；（）已知直线 l与圆 相交于 ,AB两点，求 PB的值.23.
12、（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知关于 x的不等式 mx31的解集不是空集，记 m的最小值为 t（）求 t的值； （）若不等式 a的解集包含 0,1 ，求实数 a的取值范围.江西省高三 2017 届八校联考数学（理）试卷答案一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B D B A C B C A D D D A二、填空题：本题共 4 题，每小题 5 分13. 10； 14. 2； 15. 16； 16. ；三、解答题17. 解：（）因为 sinsinabABcb，由正弦定理有 c 即有 22ac 3 分由余弦定理得221cos，又 A 为锐角
13、， A= 3 6 分（）由题， 2 2sininscosco12CBBB sin16B8 分又在锐角 A中，有0026232， 10 分所以 2363B，所以 sin16B， 2sinsinC的取值范围是. 0,2. 12 分18. 解：（）李先生一次租用共享汽车，为最优选择的概率 430p 依题意 ),43(B的值可能为 0，1，2，3，42 分56(040P 2)1(34(2256108)4)3(3P2(分布列 0 1 2 3 4P 256125656425610825681 6 分 32568140325641E或 34E 8 分（）每次用车路上平均花的时间 5.340268500t （
14、分钟） 10 分每次租车的费用约为 10+35.50.1=13.55 元.一个月的平均用车费用约为 542 元. 12 分19.解：（）取 AO 的中点 H，连结 EH，则 EH平面 ABCDBD 在平面 ABCD 内，EHBD 2 分又菱形 ABCD 中，ACBD 且 EHAC=H，EH、AC 在平面 EACF 内BD平面 EACF，即 BD平面 ACF 5 分 （）由（）知 EH平面 ABCD，以 H 为原点，如图所示建立空间直角坐标系 H-xyz 6 分EH平面 ABCD，EAH 为 AE 与平面 ABCD 所成的角，即EAH45，又菱形 ABCD 的边长为 4，则23,3AOHE各点坐
15、标分别为 (0)(,0)(3,20)(3,)ADO,E(0,0, ) 7 分易知为平面 ABCD 的一个法向量，记 n= ,HE， A=23,DE=3,2 EF/AC， F,0AO8 分设平面 DEF 的一个法向量为 FmDzyxm,则 （注意：此处 EF可以用 AO替代）即 m 32xy , 230Ex令 ,0,zy则 ，则， ,0 9 分37cosn平面 DEF 与平面 ABCD 所成角（锐角）的余弦值为2. 12 分20. 解：（）依题意得 2,1ABD，设动圆 M与边 AC的延长线相切于 1T，与边 BC相切于 2T， 则 121,ADTCT所以 12BT4CB2 分所以点 轨迹 是以
16、 ,A为焦点，长轴长为 4 的椭圆，且挖 去长轴的两个顶点.则曲线 的方程为 21043xy. 4 分（） 【法一】T2T1OMCDBA由于曲线 要挖去长轴两个顶点，所以直线 ,OEF斜率存在且不为0，所以可设直线 12:,:,OEykxFyxyxk 5 分由 2341ykx得 2243, 2143，同理可得：x, 2；所以 243)(kOE， 43)(2kOF又 F，所以 343161222 kES 8 分令 21tk，则 t且 2kt，所以 2226314OEF tS213636494t t10 分又 10t，所以 9t，所以 2149t，所以 241363949t，所以 237OEFS，
17、所以 OEF面积的取值范围为 ,. 12 分【法二】依题意得直线 l斜率不为 0，且直线 EF不过椭圆的顶点，则可设直线 l： xmyn，且 23。设 12,xy，又以 为直径的圆经过点 O，则 EF，所以 1210 5 分由 234mn得 22346310ymn，则212126,3434yy且 6184，所以 0nm又 2222121212xynyynn43m代入得： 70nm，所以 217， 代入得： 2960恒成立所以 2且 243. 又 222 21 28 341nmEFy；点 O到直线 l的距离为 21ndm， 7 分所以 22 2341432 1EF nmnS 23n2421967
18、79164m9 分（）当 20m时， 1OEFS；（）当 且 243时，24 221116796794EFmm，又 2169，当且仅当 2m时取“ ”，所以 24，所以 208，所以 2491689，所以 21716394m，所以 13OEFS； 11 分 综合（1） ， （2）知 37OEFS. 12 分21. 解： ()令 1ln()0xHxhfeax则 01xaHe若 a，则 1e， ()0， ()H在 0,递增， ()0，即 ()fhx在 0,恒成立，满足，所以 a； 2 分若 ， ()x在 ,递增， ()1xa且 且 x时， H，则 0(x，使 0进而 ()Hx在 0， 递减，在 0
19、()x，递增，所以当 0， 时 ()，即当 ， 时， fh ，不满足题意，舍去；综合，知 a的取值范围为 ,1. 4 分()依题意得 3exFxhgax，则 2()xFea，则 ()20xe在 ,上恒成立，故 2()Fe在 0，递增，所以 ()1a，且 时， ；若 1a ，即 ，则 ()01xa ，故 ()x在 )，递减，所以 ()0Fx，()Fx在 ，无零点； 6 分若 0，即 ，则 0， 使 0()Fx，进而 F在 0(x， 递减，在 0， 递增，0()且 x时， 2()13xea， )在 )， 上有一个零点，在x，无零点，故 ()F在 ,有一个零点.综合，当 1a 时无零点；当 a时有一个公共点. 8 分()由()知，当 时， ln()xe对 0x恒成立， 令 10x，则 10 195ln.03e 即 195e； 10 分
