1、2016-2017 学年江西省吉安一中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合 A=x|x24，x R，B=x|log 2x2，x Z，则 AB=（ ）A （0，2） B0，2 C0，1，2 D1，22已知 cos（+ ）= ， ，则 sin2=（ ）A B C D3执行如图所示的程序框图，若输入的 n1，2，3，则输出的 s 属于（ ）A1，2 B1，3 C2，3 D1，3，94给出下列三个命题：“若 x2+2x30，则 x1”为假命题；若 pq 为假命题，则 p，q
2、均为假命题；命题 p：xR，2 x0，则p：x 0R，2 x00其中正确的个数是（ ）A0 B1 C2 D35函数 f（x）= +ln|x|的图象大致为（ ）A B CD6已知变量 x，y 满足约束条件 ，若目标函数 z=ax+y 仅在点（3，0）处取到最大值，则实数 a 的取值范围为（ ）A （3，5） B C （ 1，2） D7已知圆 C：x 2+y2=1，点 M（t ，2） ，若 C 上存在两点 A，B 满足 = ，则 t 的取值范围是（ ）A2， 2 B 3，3 C ， D5，58已知函数 f（x）=cos ，集合 M=1，2，3，4，5，6，7，8，9，现从 M 中任取两个不同的元素
3、 m，n，则 f（m）f （n）=0 的概率为（ ）A B C D9在正三棱锥 SABC 中，M 是 SC 的中点，且 AMSB，底面边长 AB=2 ，则正三棱锥 SABC 的外接球的体积为（ ）A B C D610已知函数 f（x）与 g（x ）满足：f （2+x）=f（2x） ，g（x+1）=g（x1） ，且 f（x）在区间2，+）上为减函数，令 h（x）=f（x）|g（x）|，则下列不等式正确的是（ ）A.h（2）h（4） Bh（ 2）h（4） Ch（0）h（4） Dh（0）h（4）11已知数列a n满足 an+1= +1（nN *） ，则使不等式 a20162016 成立的所有正整数
4、a1 的集合为（ ）Aa 1|a12016，a 1N* Ba 1|a12015，a 1N*Ca 1|a12014，a 1N* Da 1|a12013，a 1N*12在等腰梯形 ABCD 中，ABCD，且|AB|=2 ，|AD|=1，|CD|=2x 其中 x（0，1） ，以 A，B 为焦点且过点 D 的双曲线的离心率为 e1，以 C，D 为焦点且过点 A 的椭圆的离心率为 e2，若对任意 x（0，1）不等式 te 1+e2 恒成立，则 t 的最大值为（ ）A B C2 D二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13已知 0a2，复数 z 的实部为 a，虚
5、部为 1，则|z|的取值范围是 14如图，已知双曲线 C： =1（a0，b0）的右顶点为 A，O 为坐标原点，以 A为圆心的圆与双曲线 C 的某渐近线交于两点 P，Q，若PAQ=60，且 =3 ，则双曲线的离心率为 15某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为 16对大于 1 的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂” ：2 3 ，3 3 ，4 3，仿此，若 m3 的“分裂”数中有一个是 73，则 m 的值为 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c ，C
6、= ，且 a2（bc） 2=（2 ）bc（）求角 B 的大小；（）若等差数列a n的公差不为零，且 a1cos2B=1，且 a2，a 4，a 8 成等比数列，求的前 n 项和 Sn18四棱锥 PABCD 中，点 P 在平面 ABCD 内的射影 H 在棱 AD 上，PAPD，底面ABCD 是梯形，BCAD，ABAD，且 AB=BC=1，AD=2（1）求证：平面 PAB平面 PAD；（2）若直线 AC 与 PD 所成角为 60，求二面角 APCD 的余弦值19某电视台举行一个比赛类型的娱乐节目，A 、B 两队各有六名选手参赛，将他们首轮的比赛成绩作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示，为了增加节目的趣
7、味性，主持人故意将 A 队第六位选手的成绩没有给出，并且告知大家 B 队的平均分比 A 队的平均分多 4 分，同时规定如果某位选手的成绩不少于 21 分，则获得“晋级 ”（1）根据茎叶图中的数据，求出 A 队第六位选手的成绩；（2）主持人从 A 队所有选手成绩中随机抽 2 个，求至少有一个为“ 晋级”的概率；（3）主持人从 A、B 两队所有选手成绩分别随机抽取 2 个，记抽取到“晋级” 选手的总人数为 ，求 的分布列及数学期望20如图，已知椭圆 C： + =1（ab0）经过点（ 1， ） ，且离心率等于 点 A，B 分别为椭圆 C 的左、右顶点，M，N 是椭圆 C 上非顶点的两点，且OMN 的
8、面积等于 （）求椭圆 C 的方程；（）过点 A 作 APOM 交椭圆 C 于点 P，求证：BPON21设函数 f（x）=x 2，g（x）=mlnx（m 0） ，已知 f（x） ，g（x）在 x=x0 处的切线 l 相同（1）求 m 的值及切线 l 的方程；（2）设函数 h（x）=ax+b，若存在实数 a，b 使得关于 x 的不等式 g（x）h（x）f（x）+1 对（0，+）上的任意实数 x 恒成立，求 a 的最小值及对应的 h（x）的解析式请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-1：几何证明选讲22如图所示，已知 D 为 ABC 的 BC 边上
9、一点，O 1 经过点 B，D，交 AB 于另一点E，O 2 经过点 C，D，交AC 于另一点 F，O 1 与O 2 交于点 G（1）求证：EAG=EFG；（2）若O 2 的半径为 5，圆心 O2 到直线 AC 的距离为 3，AC=10，AG 切O 2 于 G，求线段 AG 的长选修 4-4：坐标系与参数方程 23设点 A 的极坐标为（ 1， 1） （ 10，0 1 ） ，直线 l 经过 A 点，且倾斜角为（1）证明：l 的极坐标方程是 sin（）= 1sin（ 1） ；（2）若 O 点到 l 的最短距离 d=1，求 1 与 间的关系选修 4-5：不等式选讲24已知适合不等式|x 24x+p|+
10、|x3|5 的 x 的最大值为 3（1）求 p 的值；（2）求 x 的范围2016-2017 学年江西省吉安一中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合 A=x|x24，x R，B=x|log 2x2，x Z，则 AB=（ ）A （0，2） B0，2 C0，1，2 D1，2【考点】交集及其运算【分析】求出 A 中不等式的解集确定出 A，求出 B 中不等式解集的整数解确定出 B，找出两集合的交集即可【解答】解：由 A 中不等式变形得：（ x+2） （x2）
11、0，解得：2x 2，即 A=2， 2，由 B 中不等式变形得：log 2x2=log 24，xZ，解得：0x4，xZ，即 x=1，2，3，4，B=1，2，3，4，则 AB=1，2，故选：D2已知 cos（+ ）= ， ，则 sin2=（ ）A B C D【考点】三角函数的化简求值【分析】由已知根据两角和与差的余弦函数公式化简可得 cossin，两边平方可得：1sin2，即可解得 sin2 的值【解答】解：cos（+ ）= ， （cos sin）= ，可得：cos sin= ，两边平方可得：1sin2 = ，可解得：sin2= 故选 D3执行如图所示的程序框图，若输入的 n1，2，3，则输出的
12、s 属于（ ）A1，2 B1，3 C2，3 D1，3，9【考点】程序框图【分析】分情况讨论 n 的取值，模拟执行程序框图即可得解【解答】解：由程序框图可得，当 n 的值为 1 时，不满足条件 n2，可得 n=3，满足条件 n2，计算并输出 s=1；当 n 的值为 2 时，不满足条件 n2，可得 n=9，满足条件 n2，计算并输出 s=2；当 n 的值为 3 时，满足条件 n2，计算并输出 s=1；综上，输出的 s12故选：A4给出下列三个命题：“若 x2+2x30，则 x1”为假命题；若 pq 为假命题，则 p，q 均为假命题；命题 p：xR，2 x0，则p：x 0R，2 x00其中正确的个数
13、是（ ）A0 B1 C2 D3【考点】命题的真假判断与应用【分析】根据逆否命题的等价性进行判断，根据复合命题的真假关系进行判断，根据含有量词的命题的否定进行判断【解答】解：命题“若 x=1，则 x2+2x3=0”是真命题，所以其逆否命题亦为真命题，因此错误确；若 pq 为假命题，则 p，q 至少有一个为假命题，故错误；根据含量词的命题否定方式，可知 p： x0R，2 x00 ，即命题正确故选：B5函数 f（x）= +ln|x|的图象大致为（ ）A B CD【考点】函数的图象【分析】当 x0 时，函数 f（ x）= ，由函数的单调性，排除 CD；当 x0 时，函数 f（x）= ，此时，代入特殊值
14、验证，排除 A，只有 B 正确，【解答】解：当 x0 时，函数 f（x）= ，由函数 y= 、y=ln（ x）递减知函数f（x）= 递减，排除 CD；当 x0 时，函数 f（x）= ，此时，f（1）= =1，而选项 A 的最小值为 2，故可排除 A，只有 B 正确，故选：B6已知变量 x，y 满足约束条件 ，若目标函数 z=ax+y 仅在点（3，0）处取到最大值，则实数 a 的取值范围为（ ）A （3，5） B C （ 1，2） D【考点】简单线性规划的应用【分析】根据已知的约束条件 ，画出满足约束条件的可行域，再用图象判断，求出目标函数的最大值【解答】解：画出可行域如图所示，其中 B（3，0
15、） ，C（1，1） ，D （0，1） ，若目标函数 z=ax+y 仅在点（3，0）取得最大值，由图知，直线 z=ax+y 的斜率小于直线 x+2y3=0 的斜率，即a ，解得 a 故选 B7已知圆 C：x 2+y2=1，点 M（t ，2） ，若 C 上存在两点 A，B 满足 = ，则 t 的取值范围是（ ）A2， 2 B 3，3 C ， D5，5【考点】椭圆的简单性质【分析】通过确定 A 是 MB 的中点，利用圆 x2+y2=1 的直径是 2，可得 MA2，即点 M到原点距离小于等于 3，从而可得结论【解答】解：如图，连结 OM 交圆于点 D = ，A 是 MB 的中点，圆 x2+y2=1 的
16、直径是 2，MA=AB2，又MDMA，OD=1 ，OM3，即点 M 到原点距离小于等于 3，t 2+49， t ，故选：C8已知函数 f（x）=cos ，集合 M=1，2，3，4，5，6，7，8，9，现从 M 中任取两个不同的元素 m，n，则 f（m）f （n）=0 的概率为（ ）A B C D【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】对于 m 值，求出函数的值，然后用排列组合求出满足 f（m）f（n）=0 的个数，以及所有的个数，即可得到 f（m）f（n）=0 的概率【解答】解：已知函数 f（x） =cos ，集合 M=1，2，3，4，5，6，7，8，9，现从 A 中任取两个不同的
17、元素 m，n，则 f（m）f（n）=0m=3，9 时，f （m）=cos =0，满足 f（m ） f（n）=0 的个数为 m=3 时 8 个m=9 时 8 个，n=3 时 8 个，n=9 时 8 个，重复 2 个，共有 30 个从 A 中任取两个不同的元素 m，n，则 f（m）f（n）的值有 72 个，所以函数 f（x）从集合 M 中任取两个不同的元素 m，n，则 f（m）f（n）=0 的概率为=9在正三棱锥 SABC 中，M 是 SC 的中点，且 AMSB，底面边长 AB=2 ，则正三棱锥 SABC 的外接球的体积为（ ）A B C D6【考点】球的体积和表面积【分析】根据空间直线平面的垂直
18、问题，得出棱锥的高，转化顶点，补图的正方体的外接球求解正三棱锥 SABC 的外接球的体积【解答】解：取 AC 中点 D，则 SDAC，DBAC，又SDBD=D，AC平面 SDB，SB平面 SBD，ACSB ，又AMSB，AMAC=A ，SB 平面 SAC，SASB，SCSB ，根据对称性可知 SASC，从而可知 SA，SB，SC 两两垂直，将其补为立方体，其棱长为 2，其外接球即为立方体的外接球，半径 r= ，正三棱锥 SABC 的外接球的体积= 3 =4 故选：B10已知函数 f（x）与 g（x ）满足：f （2+x）=f（2x） ，g（x+1）=g（x1） ，且 f（x）在区间2，+）上为
19、减函数，令 h（x）=f（x）|g（x）|，则下列不等式正确的是（ ）A.h（2）h（4） Bh（ 2）h（4） Ch（0）h（4） Dh（0）h（4）【考点】抽象函数及其应用【分析】由 f（2+x）=f（2x）可知 f（x）的图象关于直线 x=2 具有对称性，由此可得f（x）在区间（，2上的单调性，由 g（x+1）=g（x 1）得函数 g（x）是以 2 为周期的周期函数，根据 f（x）的单调性g（x）的周期性及选项即可作出正确判断【解答】解：函数 f（x）满足 f（2+x）=f（2x） ，故函数 f（x）的图象关于直线 x=2 对称，当 x=2 时，f （4）=f（0） ，又f（x）在区间2
20、，+）上为减函数，f（x）在区间（，2上为增函数，所以 f（ 2）f（0）=f（4） ，又g（x+1）=g（x 1） ，故函数 g（x）是以 2 为周期的周期函数，所以 g（2）=g（4） ，所以|g（2）|=|g（4）|0，所以 f（ 2）|g（2）|f（4）|g（4）|，即 h（2）h（4） ，故选 B11已知数列a n满足 an+1= +1（nN *） ，则使不等式 a20162016 成立的所有正整数 a1 的集合为（ ）Aa 1|a12016，a 1N* Ba 1|a12015，a 1N*Ca 1|a12014，a 1N* Da 1|a12013，a 1N*【考点】数列递推式【分析】
21、化简构造可得（a n1） 2是以（a 11） 2 为首项，以 1 为公差的等差数列，从而可得（a n1） 2=（a 11） 2+n1，从而代入求解即可【解答】解：a n+1= +1，a n+11= ，（a n+11） 2=（a n1） 2+1，（a n1） 2是以（a 11） 2 为首项，以 1 为公差的等差数列，（a n1） 2=（a 11） 2+n1，（a 20161） 2=（a 11） 2+2015，（a 11） 2=（a 20161） 2201520152014，又a 1 为正整数，a 11 ，a 12016，故选 A12在等腰梯形 ABCD 中，ABCD，且|AB|=2 ，|AD|=
22、1，|CD|=2x 其中 x（0，1） ，以 A，B 为焦点且过点 D 的双曲线的离心率为 e1，以 C，D 为焦点且过点 A 的椭圆的离心率为 e2，若对任意 x（0，1）不等式 te 1+e2 恒成立，则 t 的最大值为（ ）A B C2 D【考点】椭圆的简单性质【分析】根据余弦定理表示出 BD，进而根据双曲线的定义可得到 a1 的值，再由AB=2c1，e= 可表示出 e1，同样的在椭圆中用 c2 和 a2 表示出 e2，然后利用换元法即可求出 e1+e2 的取值范围，即得结论【解答】解：在等腰梯形 ABCD 中，BD 2=AD2+AB22ADABcosDAB=1+4212（1x）=1+4
23、x，由双曲线的定义可得 a1= ，c 1=1，e 1= ，由椭圆的定义可得 a2= ，c 2=x，e 2= ，则 e1+e2= + = + ，令 t= （0， 1） ，则 e1+e2= （t + ）在（0， 1）上单调递减，所以 e1+e2 （ 1+ ）= ，故选：B二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13已知 0a2，复数 z 的实部为 a，虚部为 1，则|z|的取值范围是 （1， ） 【考点】复数的代数表示法及其几何意义【分析】由复数 z 的实部为 a，虚部为 1，知|z |= ，再由 0a2，能求出|z |的取值范围【解答】解：复数 z 的实
24、部为 a，虚部为 1，|z|= ，0a2，1|z|= 故答案为：（1， ） 14如图，已知双曲线 C： =1（a0，b0）的右顶点为 A，O 为坐标原点，以 A为圆心的圆与双曲线 C 的某渐近线交于两点 P，Q，若PAQ=60，且 =3 ，则双曲线的离心率为 【考点】双曲线的简单性质【分析】确定QAP 为等边三角形，设 AQ=2R，则 OP=R，利用勾股定理，结合余弦定理，即可得出结论【解答】解：因为PAQ=60且 =3 ，所以QAP 为等边三角形，设 AQ=2R，则 OP=R，渐近线方程为 y= x，A（a ， 0） ，取 PQ 的中点 M，则 AM=由勾股定理可得（2R） 2R2=（ ）
25、2，所以（ab） 2=3R2（a 2+b2）在OQA 中， = ，所以 7R2=a2结合 c2=a2+b2，可得 e= = 故答案为：15某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为 【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面 AED平面 BCDE，四棱锥ABCDE 的高为 1，四边形 BCDE 是边长为 1 的正方形，分别计算侧面积，即可得出结论【解答】解：由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面 AED平面 BCDE，四棱锥 ABCDE 的高为 1，四边形 BCDE 是边长为 1 的正方形，则 SAED = 11= ，SABC =SA
26、BE = 1 = ，SACD = 1 = ，故答案为：16对大于 1 的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂” ：2 3 ，3 3 ，4 3，仿此，若 m3 的“分裂”数中有一个是 73，则 m 的值为 9 【考点】等差数列的通项公式；数列的函数特性【分析】由题意可得 a3a2=73=4=22，a 4a3=137=6=23，a mam1=2（m 1） ，累加由等差数列的求和公式可得 am，验证可得【解答】解：由题意可得 m3 的“分裂”数为 m 个连续奇数，设 m3 的“分裂”数中第一个数为 am，则由题意可得 a3a2=73=4=22，a4a3=137=6=23，amam1=2（
27、m 1） ，以上 m2 个式子相加可得 ama2= =（m+1） （m 2） ，a m=a2+（m+1） （m2）=m 2m+1，当 m=9 时， am=73，即 73 是 93 的“分裂” 数中的第一个故答案为：9三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c ，C= ，且 a2（bc） 2=（2 ）bc（）求角 B 的大小；（）若等差数列a n的公差不为零，且 a1cos2B=1，且 a2，a 4，a 8 成等比数列，求的前 n 项和 Sn【考点】余弦定理；正弦定理【分析】 （I）利用余弦
28、定理、三角函数求值、三角形内角和定理即可得出（II）利用等差数列与等比数列的通项公式可得 an，再利用“ 裂项求和”方法即可得出【解答】解：（）由 ，得 ， ，A （0，） ， ，由 ，得 （）设a n的公差为 d，由（I）得 ，且 ， ，又 d0，d=2，a n=2n， = ， 18四棱锥 PABCD 中，点 P 在平面 ABCD 内的射影 H 在棱 AD 上，PAPD，底面ABCD 是梯形，BCAD，ABAD，且 AB=BC=1，AD=2（1）求证：平面 PAB平面 PAD；（2）若直线 AC 与 PD 所成角为 60，求二面角 APCD 的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂
29、直的判定【分析】 （1）推导出 PHAB，ABAD，从而 AB平面 PAD，由此能证明平面 PAB平面 PAD（2）以 A 为原点，建立空间直角坐标系 Axyz，利用向量法能求出二面角 APCD 的余弦值【解答】证明：（1）PH平面 ABCD，AB 平面 ABCD，PHAB，ABAD，AD PH=H，AD ，PH平面 PAD，AB平面 PAD，又 AB平面 PAB，平面 PAB平面 PAD（2）以 A 为原点，如图建立空间直角坐标系 Axyz，PH平面 ABCD，z 轴PH，则 A（0，0，0） ，C（1，1，0） ，D（0，2，0） ，设 AH=，PH=h （0a 2，h0） ，P（0，a，
30、h） ， =（0，a，h） ， =（0，a2，h） ， =（1，1，0） ，PAPD， =a（a2）+h 2=0，AC 与 PD 所成角为 60，|cos |= = ，（a2） 2=h2，（a 2） （a 1）=0 ，0a2，a=1 ，h0，h=1，P（0，1，1） =（0，1，1） ， =（1，1，0） ， =（1，0， 1） ， =（1，1，0） ，设平面 APC 的法向量为 =（ x，y，z ） ，由 ，得平面 APC 的一个法向量为 =（1， 1，1）设平面 DPC 的法向量为 =（ x，y，z ） ，由 ，得平面 DPC 的一个法向量为 =（1 ，1，1）cos = = ，二面角 A
31、PCD 的平面角为钝角，二面角 APCD 的余弦值为 19某电视台举行一个比赛类型的娱乐节目，A 、B 两队各有六名选手参赛，将他们首轮的比赛成绩作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示，为了增加节目的趣味性，主持人故意将 A 队第六位选手的成绩没有给出，并且告知大家 B 队的平均分比 A 队的平均分多 4 分，同时规定如果某位选手的成绩不少于 21 分，则获得“晋级 ”（1）根据茎叶图中的数据，求出 A 队第六位选手的成绩；（2）主持人从 A 队所有选手成绩中随机抽 2 个，求至少有一个为“ 晋级”的概率；（3）主持人从 A、B 两队所有选手成绩分别随机抽取 2 个，记抽取到“晋级” 选手的总人数
32、为 ，求 的分布列及数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列【分析】 （1）设 A 队第六位选手的成绩为 x，利用茎叶图及平均数的定义能求出 A 队第六位选手的成绩（2）A 队 6 位选手中有 2 人获得 “晋级”主持人从 A 队所有选手成绩中随机抽 2 个，先求出基本事件总数，再由对立事件概率计算公式能求出至少有一个为“晋级” 的概率（3）由题意 A 队 6 位选手中有 2 人获得“ 晋级”，B 队 6 位选手中有 4 人获得“晋级” ，则 的可能取值为 0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出 的分布列及数学期望【解答】解：（1）设 A
33、 队第六位选手的成绩为 x，由题意得： （9+11+13+24+31+x= （11+12+21+25+27+36） ，解得 x=20，A 队第六位选手的成绩为 20（2）由（1）知 A 队 6 位选手中成绩不少于 21 分的有 2 位，即 A 队 6 位选手中有 2 人获得“晋级” 主持人从 A 队所有选手成绩中随机抽 2 个，基本事件总数 n= =15，至少有一个为“晋级” 的概率 p=1 = （3）由题意 A 队 6 位选手中有 2 人获得“ 晋级”，B 队 6 位选手中有 4 人获得“晋级” ，主持人从 A、B 两队所有选手成绩分别随机抽取 2 个，记抽取到“晋级” 选手的总人数为 ，则
34、 的可能取值为 0，1，2，3，4，P（=0）= = ，P（=1）= + = ，P（=2）= + + = ，P（=3）= + = ，P（=4）= = ， 的分布列为： 0 1 2 3 4PE= +3 +4 =220如图，已知椭圆 C： + =1（ab0）经过点（ 1， ） ，且离心率等于 点 A，B 分别为椭圆 C 的左、右顶点，M，N 是椭圆 C 上非顶点的两点，且OMN 的面积等于 （）求椭圆 C 的方程；（）过点 A 作 APOM 交椭圆 C 于点 P，求证：BPON【考点】椭圆的简单性质【分析】 （）运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，以及 a，b，c 的关系，解得a，b，即可得到椭
35、圆方程；（）解法一、设直线 OM，ON 的方程为 y=kOMx，y=k ONx，代入椭圆方程，求得 M，N的坐标，求出OMN 的面积，由条件可得 设 P（x P，y P） ，则，又已知 kAP=kOM，即证 kBP=kON 即可；解法二、设直线 AP 的方程为 y=kOM（x+2） ，代入 x2+2y2=4，求出 P 的坐标和 BP 的斜率，所以只需证 ，即 ，即可得到证明【解答】解：（）由题意得，e= = ，a 2b2=c2，代入点（1， ） ，可得 + =1，解得，a=2，b= ，故椭圆 C 的方程为 + =1； （）解法一：如图所示，设直线 OM，ON 的方程为 y=kOMx，y=k O
36、Nx，联立方程组 ，解得 ，同理可得 ，作 MMx 轴， NNx 轴，M，N是垂足，SOMN =S 梯形 MMNNSOMM SONN = = ，已知 SOMN = ，化简可得 设 P（x P，y P） ，则 ，又已知 kAP=kOM，所以要证 kBP=kON，只要证明 ，而 ，所以可得 BPON（M，N 在 y 轴同侧同理可得） 解法二：设直线 AP 的方程为 y=kOM（x+2） ，代入 x2+2y2=4，得 ，它的两个根为2 和 xP，可得 ， ，从而 ，所以只需证 ，即 ，设 M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，若直线 MN 的斜率不存在，易得 ，从而可得 ，若直线 MN 的
37、斜率存在，设直线 MN 的方程为 y=kx+m，代入得（2k 2+1）x 2+4kmx+2m24=0，则 ， ，=8（4k 2+2m2）0，化得 m4（4k 2+2）m 2+（2k 2+1） 2=0，得 m2=2k2+1，故 BP ON21设函数 f（x）=x 2，g（x）=mlnx（m 0） ，已知 f（x） ，g（x）在 x=x0 处的切线 l 相同（1）求 m 的值及切线 l 的方程；（2）设函数 h（x）=ax+b，若存在实数 a，b 使得关于 x 的不等式 g（x）h（x）f（x）+1 对（0，+）上的任意实数 x 恒成立，求 a 的最小值及对应的 h（x）的解析式【考点】导数在最大
38、值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】 （1）求出两个函数的导数，利用在 x=x0 处的切线 l 相同，列出方程，求出 m，即可得到切线方程（2）化简 g（x）=2elnx，通过 g（x）h（x）f （x）+1，推出 a0，利用由 h（x）f（x）+1 对 x（0，+）恒成立，利用二次函数推出 ，由 g（x）h（x） ，设 G（x）=2elnxaxb，x（0，+） ，求出导函数，求出单调性，最值推出，转化为：不等式可化为 有解，令 ，设 （t）= t2+2elnt+1，求出导函数，推出函数的最值求解 b 的范围【解答】解：（1） ，由已知 f（x 0）=g （x 0）且
39、 f（x 0）=g（x 0） ， 且 ，得 ，又 x00， ， ，切线 l 的方程为 ，即 （2）由（1）知，g（x）=2elnx，又因为 g（x）h（x）f（x）+1，可知 a0，由 h（x）f（x）+1 对 x（0，+）恒成立，即 x2axb+10 对 x（0，+ ）恒成立，所以=（ a） 24（b+1）0，解得 由 g（x）h（x）对 x（0，+）恒成立，即设 G（ x）=2elnxax b，x（0，+） ，则 ，令 G（x）=0，得 ，当 时，G（x）0，G （x）单调递增；当 时，G（x）0，G （x）单调递减，故 ，则 ，故得 ，由得 ，由存在实数 a，b 使得成立的充要条件 是：
40、不等式 ，有解，该不等式可化为 有解令 ，则有t 2+2elnt+10，设 （t）=t 2+2elnt+1，可知 （t）在 上递增，在 上递减，又 ，所以 （t ）=t2+2elnt+1 在区间 内存在一个零点 t0，故不等式t 2+2elnt+10 的解为 1tt 0即 ，得 2a2t 0，因此 a 的最小值为 2，代入 中得 0b0，故 b=0，此时对应的 h（x）的解析式为h（x）=2x请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-1：几何证明选讲22如图所示，已知 D 为 ABC 的 BC 边上一点，O 1 经过点 B，D，交 AB 于另一点
41、E，O 2 经过点 C，D，交AC 于另一点 F，O 1 与O 2 交于点 G（1）求证：EAG=EFG；（2）若O 2 的半径为 5，圆心 O2 到直线 AC 的距离为 3，AC=10，AG 切O 2 于 G，求线段 AG 的长【考点】与圆有关的比例线段【分析】 （1）连接两个圆的公共弦 GD，然后根据圆内接四边形的性质，易得AEG=BDG，AFG=CDG，即AEG+AFG=180，再由圆内接四边形的判定定理，易得 A，E，G，F 四点共圆，进而再由圆周角定理的推论得到： EAG= EFG；（2）由已知中O 2 的半径为 5，圆心 O2 到直线 AC 的距离为 3，由垂径定理，我们可以求出
42、FC 的长，结合 AC=10，AG 切O 2 于 G，由切割线定理，我们易求出 AG 的长【解答】解：（1）连接 GD，因为四边形 BDGE，CDGF 分别内接于O 1，O 2，AEG=BDG，AFG=CDG，又BDG+CDG=180 ，AEG +AFG=180即 A，E，G，F 四点共圆，EAG= EFG（2）因为O 2 的半径为 5，圆心 O2 到直线 AC 的距离为 3，所以由垂径定理知 FC=2 =8，又 AC=10，AF=2，AG 切O 2 于 G，AG 2=AFAC=210=20，AG=2 选修 4-4：坐标系与参数方程 23设点 A 的极坐标为（ 1， 1） （ 10，0 1 ）
43、 ，直线 l 经过 A 点，且倾斜角为（1）证明：l 的极坐标方程是 sin（）= 1sin（ 1） ；（2）若 O 点到 l 的最短距离 d=1，求 1 与 间的关系【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】 （1）如图所示，设直线 l 上的任意一点 P（，） 在OAP 中，利用正弦定理即可得出（2）O 点到 l 的短距离 d=1，可得 OAl画图即可得出【解答】 （1）证明：如图所示，设直线 l 上的任意一点 P（ ，） 在OAP 中，由正弦定理可得： = ，化为 sin（ ）= 1sin（ 1） ，l 的极坐标方程是 sin（）= 1sin（ 1） （2）解：O 点到 l 的短距离 d=1，则
44、 OAl 1= 选修 4-5：不等式选讲24已知适合不等式|x 24x+p|+|x3|5 的 x 的最大值为 3（1）求 p 的值；（2）求 x 的范围【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法【分析】 （1）由 x 的最大值为 3，故 x30，原不等式等价于|x 24x+p|x+35，即x2x 24x+px+2，则 解的最大值为 3，利用一元二次不等式的解集与一元二次方程的根与系数的关系即可得出（2）不等式|x 24x+p|+|x3| 5 即不等式|x 24x+8|+|x3| 5，不等式化为：化为：x25x+60，解出即可得出【解答】解：（1）x 的最大值为 3，故 x30，原不等式等价于
45、|x 24x+p|x+35，即x 2 x24x+px+2，则 解的最大值为 3，设 x25x+p2=0 的根分别为 x1 和 x2，x 1x 2，x23x+p+2=0 的根分别为 x3 和 x4，x 3x 4则 x2=3，或 x4=3若 x2=3，则 915+p2=0，p=8，若 x4=3，则 99+p+2=0，p=2当 p=2 时，原不等式无解，检验得：p=8 符合题意，故 p=8（2）不等式|x 24x+p|+|x3| 5 即不等式|x 24x+8|+|x3| 5，不等式化为：x 24x+8（x3）5，化为：x 25x+60，解得 2x3x 的取值范围是2，32017 年 1 月 11 日
