1、1 2.1.2 向量的加法 学习目标 1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义.2.掌握 向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运 算.3.了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理 性. 知识点一 向量加法的三角形法则与平行四边形法则 分析下列实例： (1)飞机从广州飞往上海，再从上海飞往北京(如图)， 这两次位移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位移是相同的. (2)有两条拖轮牵引一艘轮船，它们的牵引力分别是F 1 3 000 N，F 2 2 000 N，牵引绳之 间的夹角为60(如图)，如果只用
2、一条拖轮来牵引，也能产生跟原来相同的效果. 思考1 从物理学的角度来讲，上面实例中位移、牵引力说明了什么？体现了向量的什么运 算？思考2 上述实例中位移的和运算、力的和运算分别用了什么法则？2梳理 (1)向量加法的定义 求_的运算，叫做向量的加法. (2)三角形法则 如图所示，已知向量a，b，在平面上任取一点A，作 a， b，再作向量 ，则向量 AB BC AC _叫做a与b的和(或和向量)，记作_，即ab _.上述求两个 AB BC 向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则. 对于零向量与任一向量a的和，有a0_. (3)平行四边形法则 如图所示，已知两个不共线向量a，b，作 a， b，则
3、A、B、D三点不共线，以 AB AD _，_为邻边作_ABCD，则对角线上的向量_ab，这个法则 叫做两个向量求和的平行四边形法则. 知识点二 向量求和的多边形法则 思考 如果一个动点先由点A位移到点B，再由点B位移到点C，最后由点C位移到点D， 那么动点的和位移向量是多少？由此可得到向量加法的什么法则？梳理 已知n个向量，依次把这n个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第n个向 量的终点为终点的向量叫做这n个向量的和向量，这个法则叫做向量求和的多边形法则.3 知识点三 向量加法的运算律 思考1 实数加法有哪些运算律？思考2 根据图中的平行四边形ABCD，验证向量加法是否满足交换律.(注：
4、 a， b) AB AD 思考3 根据图中的四边形ABCD，验证向量加法是否满足结合律.(注： a， b， c) AB BC CD 梳理 向量加法的运算律 交换律 ab_ 结合律 (_)ca(_) 类型一 向量加法的三角形法则和平行四边形法则 例1 如图(1)(2)，已知向量a，b，c，求作向量ab和abc.4(1) (2)反思与感悟 向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系 区别：(1)三角形法则中强调“首尾相接” ，平行四边形法则中强调“共起点”. (2)三角形法则适用于任意两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向 量求和. 联系：(1)当两个向量不共线时，向量加法
5、的三角形法则和平行四边形法则是统一的. (2)三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半. 跟踪训练1 如图所示，O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列向量. (1) _；(2) _； OA OC BC FE (3) _. OA FE 类型二 向量加法运算律的应用 例2 化简： (1) ；(2) ； BC AB DB CD BC (3) . AB DF CD BC FA 5 反思与感悟 (1)根据向量加法的交换律使各向量首尾连接，再运用向量的结合律调整向量 顺序后相加. (2)向量求和的多边形法则： .特別地，当 A1A2 A2A3 A3A4 An1An A1An A n 和A 1
6、 重合时， 0. A1A2 A2A3 A3A4 An1A1 跟踪训练2 已知正方形ABCD的边长等于1，则| |_. AB AD BC DC 类型三 向量加法的实际应用 例3 在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直 于水流的航线到达对岸，求船行进的方向. 引申探究 1.若本例中条件不变，则经过1 h，该船的实际航程是多少？ 2.若本例中其他条件不变，改为若船沿垂直水流的方向航行，求船实际行进的方向与岸方向 的夹角的正切值. 反思与感悟 向量既有大小又有方向的特性在实际生活中有很多应用，准确作出图象是解题 关键. 跟踪训练3 如图，用两根绳子把重
7、10 N的物体W吊在水平杆子AB上，ACW150， BCW120，求A和B处所受力的大小.(绳子的重量忽略不计)61.如图，在正六边形ABCDEF中， 等于( ) BA CD EF A.0 B. BE C. D. AD CF 2.如图，D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，则下列等式中错误的是( ) A. 0 FD DA DE B. 0 AD BE CF C. FD DE AD AB D. AD EC FD BD 3.已知正方形的边长为1， a， b， c，则|abc|等于( ) AB BC AC A.0 B.3 C.2 D. 2 2 4.如图所示，在四边形ABCD中， ，则四边形
8、为( ) AC AB AD A.矩形 B.正方形 C.平行四边形 D.菱形7 5.小船以10 km/h的静水速度沿垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10 km/h，则 3 小船的实际航行速度的大小为_km/h. 1.三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的，当两个向量 首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共起点时，常选用平行四边形法则. 2.向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意 的组合去进行. 3.在使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”.和向量的特征是从第一个向量 的起点指向第二个向量的终点.向量相加的结果是
9、向量，如果结果是零向量，一定要写成 0，而不应写成0.8 答案精析 问题导学 知识点一 思考1 后面的一次位移叫做前面两次位移的合位移，四边形OACB的对角线 表示的力是 OC 与 表示的力的合力体现了向量的加法运算 OA OB 思考2 三角形法则和平行四边形法则 梳理 (1)两个向量和 (2) ab 0 a a (3)AB AD 平行四边形 AC AC AC 知识点二 思考 和位移向量是 ，由此可得向量求和的多边形法则 AD 知识点三 思考1 交换律和结合律 思考2 ， ab. AC AB BC AC ， ba. AC AD DC AC abba. 思考3 AD AC CD ( ) ， AB
10、 BC CD (ab)c. AD 又 ( )， AD AB BD AB BC CD a(bc)， AD (ab)ca(bc) 梳理 ba ab bc 题型探究 例1 解 (1)作法：在平面内任意取一点O，作 a， b，则 ab. OA AB OB (2)在平面内任意取一点O，作 a， b， c，则 abc. OA AB BC OC 9 跟踪训练1 (1) (2) (3)0 OB AD 例2 解 (1) . BC AB AB BC AC (2) DB CD BC BC CD DB ( ) 0. BC CD DB BD DB (3) AB DF CD BC FA AB BC CD DF FA AC
11、 CD DF FA AD DF FA 0. AF FA 跟踪训练2 2 2 例3 解 作出图形，如图所示 船速v 船 与岸的方向成角，由图可知v 水 v 船 v 实际 ，结合已知条件，四边形ABCD为平 行四边形 在RtACD中， | | |v 水 |10 m/min， CD AB | |v 船 |20 m/min， AD cos ， |CD | |AD | 10 20 1 2 60，从而船与水流方向成120的角 船是沿与水流的方向成120的角的方向行进 引申探究10 1解 由例3知v 船 20 m/min， v 实际 20sin 6010 (m/min)， 3 故该船1 h行驶的航程为10 60600 (m) (km) 3 3 3 3 5 2解 如图，作平行四边形ABDC， 则 v 实际 ，设船实际航向与岸方向的夹角为， AD 则tan 2. |BD | |AB | 20 10 即船实际行进的方向与岸方向的夹角的正切值为2. 跟踪训练3 A处所受的力为5 N，B处所受的力为5 N. 3 当堂训练 1D 2.D 3.C 4.C 5.20
