1、Chapter 08：整数规划,整数规划,8.1 整数规划的特点与应用8.2整数规划的求解方法分支定界法分配问题与匈牙利法,8.1 整数规划的特点及应用,整数规划（简称：IP）一部分或全部决策变量取整数值的规划问题称为整数规划。不考虑整数条件，由余下的目标函数和约束条件构成的规划问题称为该整数规划问题的松弛问题。若该松弛问题是一个线性规划，则称该整数规划为整数线性规划。Integer Linear Programming,8.1 整数规划的特点及应用,整数线性规划问题的种类：,纯整数线性规划：指全部决策变量都必须取整数值的整数线性规划。 混合整数线性规划：决策变量中有一部分必须取整数值，另一部
2、分可以不取整数值的整数线性规划。 0-1型整数线性规划：决策变量只能取值0或1的整数线性规划。,5,例1. 某公司拟用集装箱托运甲、乙两种货物，这两种货物每件的体积、重量、可获利润以及托运所受限制如表所示。甲种货物至多托运4件，问两种货物各托运多少件，可使获得利润最大？解：设x1 、 x2分别为甲、乙两种货物托运的件数，建立模型 目标函数： Max Z = 2x1 +3 x2 约束条件： s.t. 195 x1 + 273 x2 1365 4 x1 + 40 x2 140 x1 4 x1，x2 0 ,且为整数。,8.1 整数规划的特点及应用,6,如果去掉最后一个约束，就是一个线性规划问题。利用
3、图解法，性质1：任何求最大目标函数值的纯整数规划或混合整数规划的最大目标函数值小于或等于相应的线性规划的最大目标函数值；任何求最小目标函数值的纯整数规划或混合整数规划的最小目标函数值大于或等于相应的线性规划的最小目标函数值。,8.1 整数规划的特点及应用,1,2,3,4,1,2,3,2x1+3x2 =14.66,x2,2x1+3x2 =14,2x1+3x2 =6,(2.44 , 3.26),(4 , 2),例2： Max z = 3x1 + x2 + 3x3 -x1 + 2x2 + x3 5s.t. 4x2 -3x3 2 x1 -3x2 + 2x3 3 x1,x2,x3 0,2、 x1,x3
4、0，x2为整数用管理运筹学软件求解得（P165E2-2）：x1 = 2.82，x2 = 2，x3 = 3.09 z = 19.73,8.1 整数规划的特点及应用,整数规划的计算机求解,3、 x1,x2,x3为整数用管理运筹学软件求解得（P165E2-3） ： x1 = 2， x2 = 2， x3 = 3 z = 17,4、 x1,x2为整数, x3为0-1用管理运筹学软件求解得（P165E2-4） ： x1 = 1， x2 = 2， x3 = 1 z = 8,1、 x1,x2,x3 0用管理运筹学软件求解得（P165E2-1）：x1 = 3.08，x2 = 2.32，x3 = 3.44 z =
5、 21.88,投资场所的选择例4、京成畜产品公司计划在市区的东、西、南、北四区建立销售门市部，拟议中有10个位置 Aj (j1，2，3，10)可供选择，考虑到各地区居民的消费水平及居民居住密集度，规定： 在东区由A1 ， A2 ，A3 三个点至多选择两个； 在西区由A4 ， A5 两个点中至少选一个； 在南区由A6 ， A7 两个点中至少选一个； 在北区由A8 ， A9 ， A10 三个点中至少选两个。 Aj 各点的设备投资及每年可获利润由于地点不同都是不一样的，预测情况见表所示 (单位：万元)。但投资总额不能超过720万元，问应选择哪几个销售点，可使年利润为最大?(P166E4),8.1 整
6、数规划的特点及应用,解：设：0-1变量 xi = 1 (Ai 点被选用）或 0 (Ai 点没被选用）:Max z =36x1+40x2+50x3+22x4+20x5+30x6+25x7+48x8+58x9+61x10s.t. 100x1+120x2+150x3+80x4+70x5+90x6+80x7+140x8+160x9+180x10 720 x1 + x2 + x3 2 x4 + x5 1 x6 + x7 1 x8 + x9 + x10 2 xi 0,且xi 为0-1变量,i = 1,2,3,10把上述模型输入管理运筹学软件,即得到此问题的最优解如下:最优目标函数值为245.最优解为: x
7、1=1,x2=1,x3=0,x4=0,x5=1,x6=1,x7=0,x8=0,x9=1,x10=1,投资场所的选择,8.1 整数规划的特点及应用,固定成本问题例5高压容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属容器，所用资源为金属板、劳动力和机器设备，制造一个容器所需的各种资源的数量如表所示。不考虑固定费用，每种容器售出一只所得的利润分别为 4万元、5万元、6万元，可使用的金属板有500吨，劳动力有300人月，机器有100台月，此外，不管每种容器制造的数量是多少，都要支付一笔固定的费用：小号是l00万元，中号为 150 万元，大号为200万元。现在要制定一个生产计划，使获得的利润为最大。,8.1 整数
8、规划的特点及应用,解：设x1，x2， x3 分别为小号容器、中号容器和大号容器的生产数量。各种容器的固定费用只有在生产该种容器时才投入，为了说明固定费用的这种性质，设 yi = 1(当生产第 i种容器, 即 xi 0 时) 或0（当不生产第 i种容器即 xi = 0 时）；引入约束 xi M yi ，i =1，2，3，M充分大，以保证当 yi = 0 时，xi = 0 。 这样我们可建立如下的数学模型：Max z = 4x1 + 5x2 + 6x3 - 100y1 - 150y2 - 200y3s.t. 2x1 + 4x2 + 8x3 500 2x1 + 3x2 + 4x3 300 x1 +
9、2x2 + 3x3 100 xi M yi ，i =1，2，3，M充分大 xi 0 且为整数， yi 为0-1变量，i = 1,2,3,8.1 整数规划的特点及应用,指派问题有 n 项不同的任务，恰好 n 个人可分别承担这些任务，但由于每人特长不同，完成各项任务的效率等情况也不同。现假设必须指派每个人去完成一项任务，怎样把 n 项任务指派给 n 个人，使得完成 n 项任务的总的效率最高，这就是指派问题。例6有四个工人，要分别指派他们完成四项不同的工作，每人做各项工作所消耗的时间如下表所示，问应如何指派工作，才能使总的消耗时间为最少。,8.1 整数规划的特点及应用,解：引入0-1变量 xij，并
10、令xij = 1(当指派第 i人去完成第j项工作时)或0（当不指派第 i人去完成第j项工作时)这可以表示为一个0-1整数规划问题：Min z =15x11+18x12+21x13+24x14+19x21+23x22+22x23+18x24+26x31+17x32+16x33 +19x34+19x41 +21x42+23x43+17x44s.t. x11+ x12+ x13+ x14= 1 (甲只能做一项工作) x21+ x22+ x23+ x24= 1 (乙只能做一项工作) x31+ x32+ x33+ x34= 1 (丙只能做一项工作) x41+ x42+ x43+ x44= 1 (丁只能做
11、一项工作) x11+ x21+ x31+ x41= 1 ( A工作只能由一人来做) x12+ x22+ x32+ x42= 1 ( B工作只能由一人来做) x13+ x23+ x33+ x43= 1 ( C工作只能由一人来做) x14+ x24+ x34+ x44= 1 ( D工作只能由一人来做) xij 为0-1变量，i,j = 1,2,3,4,8.1 整数规划的特点及应用,四、分布系统设计例7某企业在 A1 地已有一个工厂，其产品的生产能力为 30 千箱，为了扩大生产，打算在 A2，A3，A4，A5地中再选择几个地方建厂。已知在 A2 ， A3，A4，A5地建厂的固定成本分别为175千元、
12、300千元、375千元、500千元，另外， A1产量及A2，A3，A4，A5建成厂的产量，那时销地的销量以及产地到销地的单位运价(每千箱运费)如下表所示。 a) 问应该在哪几个地方建厂，在满足销量的前提下，使得其总的固定成本和总的运输费用之和最小? b) 如果由于政策要求必须在A2，A3地建一个厂，应在哪几个地方建厂?,8.1 整数规划的特点及应用,解： a) 设 xij为从Ai 运往Bj 的运输量(单位千箱)， yk = 1(当Ak 被选中时)或0（当Ak 没被选中时),k =2,3,4,5。这可以表示为一个整数规划问题：Min z = 175y2+300y3+375y4+500y5+8x1
13、1+4x12+3x13+5x21+2x22+3x23+4x31+3x32+4x33+9x41 +7x42+5x43+10x51 +4x52+2x53s.t. x11+ x12+ x13 30 ( A1 厂的产量限制) x21+ x22+ x23 10y2 ( A2 厂的产量限制) x31+ x32+ x33 20y3 ( A3 厂的产量限制) x41+ x42+ x43 30y4 ( A4 厂的产量限制) x51+ x52+ x53 40y5 ( A5 厂的产量限制) x11+ x21+ x31+ x41 + x51 = 30 ( B1 销地的限制) x12+ x22+ x32+ x42 +
14、x52 = 20 ( B2 销地的限制) x13+ x23+ x33+ x43 + x53 = 20 ( B3 销地的限制) xij 0，i = 1,2,3,4,5； j = 1,2,3， yk 为0-1变量，k =2,3,4,5。 * * * 求解可用管理运筹学软件中整数规划方法。,解： b) 设 xij为从Ai 运往Bj 的运输量(单位千箱)， yk = 1(当Ak 被选中时)或0（当Ak 没被选中时),k =2,3,4,5。这可以表示为一个整数规划问题：Min z = 175y2+300y3+375y4+500y5+8x11+4x12+3x13+5x21+2x22+3x23+4x31+3
15、x32+4x33+9x41 +7x42+5x43+10x51 +4x52+2x53s.t. x11+ x12+ x13 30 ( A1 厂的产量限制) x21+ x22+ x23 10y2 ( A2 厂的产量限制) x31+ x32+ x33 20y3 ( A3 厂的产量限制) x41+ x42+ x43 30y4 ( A4 厂的产量限制) x51+ x52+ x53 40y5 ( A5 厂的产量限制) x11+ x21+ x31+ x41 + x51 = 30 ( B1 销地的限制) x12+ x22+ x32+ x42 + x52 = 20 ( B2 销地的限制) x13+ x23+ x3
16、3+ x43 + x53 = 20 ( B3 销地的限制) y2+y3 = 1 (A2，A3地建一个厂) xij 0，i = 1,2,3,4,5； j = 1,2,3， yk 为0-1变量，k =2,3,4,5。 * * * 求解可用管理运筹学软件中整数规划方法。,五、投资问题 例8某公司在今后五年内考虑给以下的项目投资。已知： 项目A：从第一年到第四年每年年初需要投资，并于次年末回收本利115%， 但要求第一年投资最低金额为4万元，第二、三、四年不限； 项目B：第三年初需要投资，到第五年末能回收本利128，但规定最低投资金额为3万元，最高金额为5万元； 项目 C：第二年初需要投资，到第五年末
17、能回收本利140%，但规定其投资额或为2万元或为4万元或为6万元或为8万元。 项目 D：五年内每年初可购买公债，于当年末归还，并加利息6%，此项投资金额不限。 该部门现有资金10万元，问应如何确定给这些项目的每年投资额，使到第五年末拥有的资金本利总额为最大?（P172E8）,8.1 整数规划的特点及应用,解：1) 设xiA、xiB、xiC、xiD ( i 1，2，3，4，5)分别表示第 i 年年初给项目A，B，C，D的投资额； 设yiA， yiB，是01变量，并规定取 1 时分别表示第 i 年给A、B投资否则取 0（ i = 1, 2, 3, 4, 5）。 设yiC 是非负整数变量，并规定：第
18、2年投资C项目8万元时，取值为4 第 2年投资C项目6万元时，取值3；第2年投资C项目4万元时，取值2第2年投资C项目2万元时，取值1；第2年不投资C项目时，取值0； 这样我们建立如下的决策变量： 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 A x1A x2A x3A x4A B x3B C x2C=20000y2C D x1D x2D x3D x4D x5D,2）约束条件：第一年：年初有10万元，D项目在年末可收回投资，故第一年年初应把全部资金投出去，于是 x1A+ x1D 10；第二年：A的投资第二年末才可收回，故第二年年初的资金为1.06x1D，于是x2A+x2C+x2D 1.06x1D；第
19、三年：年初的资金为 1.15x1A+1.06x2D，于是 x3A+x3B+x3D 1.15x1A+ 1.06x2D；第四年：年初的资金为 1.15x2A+1.06x3D，于是 x4A + x4D 1.15x2A+ 1.06x3D；第五年：年初的资金为 1.15x3A+1.06x4D，于是 x5D 1.15x3A+ 1.06x4D。 关于项目A的投资额规定: x1A 4y1A ，x1A My1A ，M是足够大的数，比喻M=2000；保证当 y1A = 0时， x1A = 0 ；当y1A = 1时，x1A 4 。 关于项目B的投资额规定: x3B 3y3B ，x3B 5y3B ； 保证当 y3B
20、= 0时， x3B = 0 ；当y3B = 1时，5 x3B 3 。 关于项目C的投资额规定: x2C = 2y2C ，y2C 4 ，x2C ，y2C 0且为整数，。,3）目标函数及模型： Max z = 1.15x4A+ 1.40x2C+ 1.28x3B + 1.06x5D s.t. x1A+ x1D 10； x2A+x2C+x2D 1.06x1D； x3A+x3B+x3D 1.15x1A+ 1.06x2D； x4A+x4D 1.15x2A+ 1.06x3D； x5D 1.15x3A+ 1.06x4D； x1A 4y1A ， x1A My1A ， x3B 3y3B ， x3B 5y3B ；
21、x2C = 2y2C ； y2C 4 ， y1A， y3B = 0 或 1， y2C ， x2C 0 且为整数 xiA ，x3B ，xiD 0 ( i = 1、2、3、4、5）,8.2 整数规划的求解方法,例7. 设整数规划问题如下,首先不考虑整数约束，得到线性规划问题（一般称为松弛问题）。,用图解法求出最优解为：x13/2, x2 = 10/3，且有Z = 29/6,现求整数解(最优解):如用舍入取整法可得到4个点即(1，3),(2，3),(1，4),(2，4)。显然，它们都不可能是整数规划的最优解。,x1,x2,3,3,(3/2,10/3),按整数规划约束条件，其可行解肯定在线性规划问题的
22、可行域内且为整数点。故整数规划问题的可行解集是一个有限集，如右图所示。其中(2,2),(3,1)点的目标函数值最大，即为Z=4。,8.2 整数规划的求解方法,整数规划问题的求解方法：,分支定界法 匈牙利法（指派问题）,8.2 整数规划的求解方法,8.2.1 分支定界法,1）求整数规划的松弛问题最优解；若松弛问题的最优解满足整数要求，得到整数规划的最优解,否则转下一步；2）分支与定界：任意选一个非整数解的变量xi，在松弛问题中加上约束：xixi 和 xixi+1组成两个新的松弛问题，称为分枝。新的松弛问题具有特征：当原问题是求最大值时，原目标值是分枝问题的上界；当原问题是求最小值时，原目标值是分
23、枝问题的下界。检查所有分枝的解及目标函数值，若某分枝的解是整数并且目标函数值大于（max）等于其它分枝的目标值，则将其它分枝剪去不再计算，若还存在非整数解并且目标值大于(max)整数解的目标值，需要继续分枝，再检查，直到得到最优解。,分支定界法的解题步骤：,8.2.1 分支定界法,例8. 用分枝定界法求解整数规划问题,解：首先去掉整数约束，变成一般线性规划问题(原整数规划问题的松驰问题),LP,IP,8.2.1 分支定界法,用图解法求松弛问题的最优解，如图所示。,x1,x2,3,(18/11,40/11),2,1,1,2,3,x118/11, x2 =40/11Z=218/11(19.8)即Z
24、 也是IP最小值的下限。,对于x118/111.64，取值x1 1， x1 2对于x2 =40/11 3.64，取值x2 3 ，x2 4先将（LP）划分为（LP1）和（LP2）,取x1 1, x1 2,8.2.1 分支定界法,分支：,分别求出（LP1）和（LP2）的最优解。,8.2.1 分支定界法,先求LP1,如图所示。此时在B点取得最优解。x11, x2 =3, Z(1)16找到整数解，问题已探明，此枝停止计算。,x1,x2,3,3,(18/11,40/11),1,1,B,A,C,同理求LP2,如图所示。在C 点取得最优解。即:x12, x2 =10/3, Z(2)56/318.7 Z(2)
25、 Z(1)16 原问题有比16更小的最优解，但 x2 不是整数，故继续分支。,8.2.1 分支定界法,在IP2中分别再加入条件： x23, x24 得下式两支：,分别求出LP21和LP22的最优解,8.2.1 分支定界法,x1,x2,3,3,(18/11,40/11),1,1,B,A,C,D,先求LP21,如图所示。此时D 在点取得最优解。即 x112/52.4, x2 =3, Z(21)-87/5-17.4 Z(211) 如对LP212继续分解，其最小值也不会低于15.5 ，问题探明,剪枝。,8.2.1 分支定界法,原整数规划问题的最优解为: x1=2, x2 =3, Z* =17以上的求解
26、过程可以用一个树形图表示如右：,LP1x1=1, x2=3Z(1) 16,LPx1=18/11, x2=40/11Z(0) 19.8,LP2x1=2, x2=10/3Z(2) 18.5,LP21x1=12/5, x2=3Z(21) 17.4,LP22无可行解,LP211x1=2, x2=3Z(211) 17,LP212x1=3, x2=5/2Z(212) 15.5,x11,x12,x23,x24,x12,x13,8.2.1 分支定界法,例9. 用分枝定界法求解,解: 先求对应的松弛问题（记为LP0）,用图解法得到最优解X(3.57,7.14),Z0=35.7,如下图所示。,8.2.1 分支定界
27、法,10,10,松弛问题LP0的最优解X=(3.57,7.14),Z0=35.7,x1,x2,o,A,B,C,8.2.1 分支定界法,10,x2,o,A,B,C,LP1,LP2,3,4,LP1:X=(3,7.6),Z1=34.8,LP2:X=(4,6.5),Z2=35.5,8.2.1 分支定界法,10,x1,x2,o,A,B,C,LP1,LP21,3,4,LP21:X=(4.33,6),Z21=35.33,6,8.2.1 分支定界法,10,x1,x2,o,A,C,LP1,3,4,6,LP211:X=(4,6),Z211=34,LP212:X=(5,5),Z212=35,5,LP212,8.2.1 分支定界法,上述分枝过程可用下图表示：,LP0:X=(3.57,7.14),Z0=35.7,LP1:X=(3,7.6) Z1=34.8,LP2:X=(4,6.5) Z2=35.5,x13,x14,LP21:X=(4.33,6) Z21=35.33,x26,LP211:X=(4,6) Z211=34,LP212:X=(5,5) Z212=35,x14,x15,LP22无可行解,x27,小结,学习要点： 掌握一般整数规划问题概念及模型结构 掌握分支定界法原理 能够用分支定界法求解一般整数规划问题,41,作业：,教材P180-181 ： 1; 3; 4; 5,
