1、2015-2016 学年河北省石家庄市正定中学高三（上）第五次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共有 12 个小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知 aR，若 为实数，则 a=（ ）A2 B C D22下列四个函数中，既是定义域上的奇函数又在区间（0，1）内单调递增的是（ ）Ay= By=xsinx Cy=lg Dy=e xex3已知实数 x、y 满足 ，则 z=x2y 的最大值为（ ）A B1 C2 D44直线 xy+m=0 与圆 x2+y22x1=0 有两个不同交点的一个充分不必要条件是（ ）A3 m1 B 4m2 C0m 1 Dm15已知 s
2、in+ cos= ，则 tan=（ ）A B C D6执行如图所示的程序框图，若输入的 p=5，q=6，则输出的 a，i 的值分别为（ ）A5，1 B30，3 C15 ，3 D30，67将函数 f（x）=sin（2x+） （| ）的图象向左平移 个单位后的图形关于原点对称，则函数 f（x）在0， 上的最小值为（ ）A B C D8在菱形 ABCD 中，对角线 AC=4，E 为 CD 的中点， =（ ）A8 B10 C12 D149某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A6 B5 C4 D5.510某校高三理科实验班有 5 名同学报名参加甲、乙、丙三所高校的自主招生考试，每人限报一所
3、高校若这三所高校中每个学校都至少有 1 名同学报考，那么这 5 名同学不同的报考方法种数共有（ ）A144 种 B150 种 C196 种 D256 种11设 F1，F 2 为椭圆 的左、右焦点，且|F 1F2|=2c，若椭圆上存在点 P 使得 ，则椭圆的离心率的最小值为（ ）A B C D12设函数 f（x）=e x（2x1）+ax a，其中 a1，若关于 x 不等式 f（x）0 的整数解有且只有一个，则实数 a 的取值范围为（ ）A （1， B （ ， C （ ， D （1， 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.请将答案填写在答题纸上.13在（1x） 6（2 x）的展开式中含
4、x3 的项的系数是 14已知数列a n满足 a1=15， ，则 的最小值为 15如图，正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，E 为线段 B1C 上的一点，则三棱锥ADED1 的体积为 16F 是双曲线 ：x 2 =1 的右焦点， 的右支上一点 P 到一条渐近线的距离为 2，在另一条渐近线上有一点 Q 满足 = ，则 = 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17在锐角ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c，已知 A，B，C 依次成等差数列，且 ，求 a+c 的取值范围18已知数列a n的各项均是正数，其前 n 项和为
5、Sn，满足 Sn=4an（1）求数列a n的通项公式；（2）设 bn= （n N*） ，数列b nbn+2的前 n 项和为 Tn，求证：T n 19某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体 1000 名学生中随机抽取了 100 名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图（1）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在 5.0 以下的人数；（2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在 150 名和 9511000 名的学生进行了调查，得到右表中数据，根据表中的数据，年级名次是否近视 150 951
6、1000近视 41 32不近视 9 18能否在犯错的概率不超过 0.05 的前提下认为视力与学习成绩有关系？（3）在（2）中调查的 100 名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了 9 人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这 9 人中任取 3 人，记名次在 150 的学生人数为X，求 X 的分布列和数学期望附：P（K 2k） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.87920如图四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，ADBC ，ADCD，且AD=CD=2 ，BC=4 ，PA=2，点 M 在线段 PD 上（1）求
7、证：ABPC（2）若二面角 MACD 的大小为 45，求 BM 与平面 PAC 所成的角的正弦值21已知椭圆 C： + =1（ab0）的离心率为 ，以原点 O 为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 xy+ =0 相切（）求椭圆 C 的标准方程；（）若直线 l：y=kx +m 与椭圆 C 相交于 A、B 两点，且 kOAkOB= ，判断AOB 的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由22已知函数 ，其中常数 a0（1）讨论函数 f（x）的单调性；（2）已知 ，f（x）表示 f（x）的导数，若 x1，x 2（a，a） ，x 1x 2，且满足f（x 1）+f （x 2）=0 ，试
8、比较 f（x 1+x2）与 f（0）的大小，并加以证明2015-2016 学年河北省石家庄市正定中学高三（上）第五次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共有 12 个小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知 aR，若 为实数，则 a=（ ）A2 B C D2【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念【分析】利用复数的除法的运算法则化简复数为 a+bi 的形式，通过虚部为 0，求解即可【解答】解： = = 为实数，可得 a= 故选：C2下列四个函数中，既是定义域上的奇函数又在区间（0，1）内单调递增的是（ ）Ay= By=xsinx
9、 Cy=lg Dy=e xex【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】根据奇偶函数的定义及基本函数的单调性逐项判断即可得到答案【解答】解：A 中，y= 的定义域为0，+） ，不关于原点对称，y= 为非奇非偶函数，故排除 A；B 中，xsin（x）=xsinx ， y=xsinx 为定义域上的偶函数，故排除 B；C 中，y=lg =lg（1+ ） ，lgt 递增，t= 1+ 在（0，1）上递减，y=lg 在（0，1）上递减，故排除 C；D 中，e xe（x） =exex=（e xex） ，y=e xex 是奇函数，又 y=ex 递增，y= ex 递增，y=e xex 是（0，1）内的增函数；故选 D
10、3已知实数 x、y 满足 ，则 z=x2y 的最大值为（ ）A B1 C2 D4【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件 作出可行域如图，化目标函数 z=x2y 为 ，由图可知，当直线 过 A（0，1）时，直线在 y 轴上的截距最小，z 有最大值为02（ 1）=2故选：C4直线 xy+m=0 与圆 x2+y22x1=0 有两个不同交点的一个充分不必要条件是（ ）A3 m1 B 4m2 C0m 1 Dm1【考点】直线与圆相交的性质【分析】把直线与圆的方程联立，消去 y 得到一个关于
11、x 的一元二次方程，根据直线与圆有两个不同的交点得到此方程有两个不等的实根，即0，列出关于 m 的不等式，求出不等式的解集得到 m 的范围，在四个选项中找出解集的一个真子集即为满足题意的充分不必要条件【解答】解：联立直线与圆的方程得：，消去 y 得：2x 2+（2m2）x+m 21=0，由题意得：=（2m 2） 28（m 21）=4（m +1） 2+160，变形得：（m+3） （m1）0，解得：3m1，0m1 是3m1 的一个真子集，直线与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是 0m1故选 C5已知 sin+ cos= ，则 tan=（ ）A B C D【考点】同角三角函数基本关系的运用【分析
12、】已知等式两边平方，利用完全平方公式变形，分母看做“1” ，利用同角三角函数间的基本关系化简，即可求出 tan 的值【解答】解：已知等式两边平方得：（sin+ cos） 2=sin2+2 sincos+2cos2=3， = =3，整理得：（ tan1） 2=0，解得：tan= 故选：A6执行如图所示的程序框图，若输入的 p=5，q=6，则输出的 a，i 的值分别为（ ）A5，1 B30，3 C15 ，3 D30，6【考点】循环结构【分析】根据得到该程序的功能是求 p、q 两个数的最小公倍数，由此写出程序执行的步骤，结合题意即可得答案【解答】解：根据题中的程序框图，可得该程序按如下步骤运行第一次
13、循环，i=1，a=51=5，判断 q 是否整除 a；由于 q=6 不整除 a=5，进入第二次循环，得到 i=2，a=52=10，判断 q 是否整除 a；由于 q=6 不整除 a=10，进入第三次循环，得到 i=3，a=53=15，判断 q 是否整除 a；由于 q=6 不整除 a=15，进入第四次循环，得到 i=4，a=54=20，判断 q 是否整除 a；由于 q=6 不整除 a=20，进入第五次循环，得到 i=5，a=55=25，判断 q 是否整除 a；由于 q=6 不整除 a=25，进入第六次循环，得到 i=6，a=56=30，判断 q 是否整除 a；由于 q=6 整除 a=30，结束循环体
14、并输出最后的 a、i 值因此输出的 a=30 且 i=6故选：D7将函数 f（x）=sin（2x+） （| ）的图象向左平移 个单位后的图形关于原点对称，则函数 f（x）在0， 上的最小值为（ ）A B C D【考点】正弦函数的图象【分析】由条件根据函数 y=Asin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性可得+=k，k z，由此根据| 求得 的值【解答】解：函数 f（x）=sin（2x+） （| ）的图象向左平移 个单位后，得到函数 y=sin2（x+ ）+=sin（2x+ +）的图象，再根据所得图象关于原点对称，可得 +=k，kz，= ，f（x）=sin（2x ） ，由题意 x0，
15、，得 2x ， ，sin（2x ） ，1函数 y=sin（2x ）在区间 0， 的最小值为 故选：D8在菱形 ABCD 中，对角线 AC=4，E 为 CD 的中点， =（ ）A8 B10 C12 D14【考点】平面向量数量积的运算【分析】首先，设 = ， = ，然后，表示向量 ，最后利用菱形的几何性质，计算 的值即可【解答】解：如图示，设 = ， = ， = ， = + = （ ）= + ， =（ ） （ ）= + += ，对角线 AC=4， ， =12故选：C9某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A6 B5 C4 D5.5【考点】由三视图求面积、体积【分析】利用三视图画出几何体
16、的图形，通过三视图的数据求解几何体的体积即可【解答】解：三视图复原的几何体是长方体，去掉两个三棱锥后的几何体，如图：去掉的三棱锥的高为 3，底面是等腰直角三角形，直角边长为 1，所求几何体的体积为：213 =5故选：B10某校高三理科实验班有 5 名同学报名参加甲、乙、丙三所高校的自主招生考试，每人限报一所高校若这三所高校中每个学校都至少有 1 名同学报考，那么这 5 名同学不同的报考方法种数共有（ ）A144 种 B150 种 C196 种 D256 种【考点】分类加法计数原理【分析】由题设条件知，可以把学生分成两类：311，221，所以共有种报考方法【解答】解，把学生分成两类：311，221，根据分组公式共有 =150 种报考方法，故选 B11设 F1，F 2 为椭圆 的左、右焦点，且|F 1F2|=2c，若椭圆上存在点 P 使得 ，则椭圆的离心率的最小值为（ ）A B C D【考点】椭圆的简单性质【分析】由椭圆的定义可得|PF 1|+|PF2|=2a，联立|PF 1|PF2|=2c2，求出|PF 2|，由|PF2|ac 求得椭圆的离心率的最小值【解答】解：由椭圆的定义可得|PF 1|+|PF2|=2a，联立得 ，解得|PF 2|=a 或|PF 2|=a+
