1、2016 届甘肃省兰州一中高三上学期期中考试数学（文）试题及解析一、选择题（题型注释）1已知集合 A= 则（C RA） B=（ ）A B C D答案：B试题分析： ，所以 故 B 正确考点：集合的运算【易错点晴】本题主要考查集合交并补的运算，属容易题再求集合 的补集时主要端点能否取到的问题，否则容易出错2已知函数 ，则 是（ ）A最小正周期为 的奇函数 B最小正周期为 的偶函数C最小正周期为 的奇函数 D最小正周期为 的偶函数答案：A试题分析：，所以函数 的周期 ，且函数 为奇函数故 A 正确考点：1 三角函数的化简，周期；2 函数的奇偶性【思路点晴】应先将函数 用两角和差公式，二倍角公式化简
2、变形为的形式，再根据周期公式，和奇函数的定义判断函数的周期和奇偶性3下列说法中，正确的是（ ）A命题“若 ，则 ”的否命题是假命题B设 为两不同平面，直线 ，则“ ”是 “ ” 成立的充分不必要条件C命题“存在 ”的否定是“对任意 ”D已知 ，则“ ”是“ ”的充分不必要条件答案：B试题分析：（1）命题“若 ，则 ”的逆命题为“若 ，则”，为真命题，所以原命题的否命题也为真命题，所以 A 不正确；（2）根据面面垂直的判定定理由 可得 ；但 ， 不一定可得 ，所以“ ”是 “ ” 成立的充分不必要条件，所以 B 正确；（3）命题“存在 ”的否定是“对任意 ， ”所以 C 不试卷第 2 页，总 1
3、4 页正确；（4）因为 是 的真子集，所以“ ”是“ ”必要不充分条件所以 D 不正确综上可得 B 正确考点：1 命题的真假；2 充分必要条件4设向量 a（1，2） ，b（m，1） ，如果向量 a2b 与 2ab 平行，则 a 与 b 的数量积等于（ ）A B C D答案：D试题分析：由已知可得 ，因为 与 平行，所以可得 ，解得 即 故 D 正确考点：1 向量共线；2 数量积公式5若 ， ， ，则（ ）A B C D答案：A试题分析： ， ，即 所以 故 A 正确考点：指数函数，对数函数的单调性【思路点晴】本题主要考查的是用指数函数，对数函数的单调性比较指数，对数的大小的问题，属容易题本题应
4、结合指数函数，对数函数的单调性用插入数法比较大小，可使问题简化6已知角 的终边过点 P（8m，6sin 30） ，且 cos ，则 m 的值为（ ）A B C D答案：A试题分析：点 ， ，即 解得 ， 所以 故 A 正确考点：任意角的三角函数【易错点晴】本题主要考查任意角三角函数的定义，属容易题本题在解得 时容易忽视 的符号而错选因根据余弦值的符号确定点横坐标的符号，从而可得 的符号7函数 是奇函数，且在（ ）内是增函数， ，则不等式的解集为（ ）A BC D答案：D试题分析： 是奇函数，所以 ，且 在 上也单调递增结合图像可得 得 或 ； 得 或 或 ，解得 或 故 D 正确考点：1 函数
5、的奇偶性；2 函数的单调性8为了得到函数 ycos 的图象，可将函数 ysin 2x 的图象（ ）A向左平移 个单位长度 B向右平移 个单位长度C向左平移 个单位长度 D向右平移 个单位长度答案：C试题分析：因为 ，所以为了得到函数的图像可将函数 的图像向左平移 个单位长度故 C 正确考点：三角函数图像伸缩平移变换【易错点晴】本题主要考查三角函数图像伸缩平移变换本题的易错点有 2 个首先是不统一函数即将两个函数都转化为正弦或余弦；其次是同一函数之后以 为整体进行平移注意三角函数伸缩平移变换首先函数形式应一致，同时伸缩平移都是针对而言的9设 f（x） 、g（x）分别是定义在 R 上的奇函数和偶函
6、数，当 x0 时，且 g（3）=0则不等式 的解集是（ ）A （3，0）（3，+） B （3，0）（0，3） C （，- 3）（3，+） D （， 3）（0，3）试卷第 4 页，总 14 页答案：D试题分析：令 ，因为 ， 分别是 上的奇函数和偶函数，所以 在 上为奇函数当 时， ，所以函数 在 上单调递增因为 在 上为奇函数，函数 在 上也单调递增因为 在 上为偶函数，且 所以 集合函数图像可知 时可得 或 故 D 正确考点：1 用导数求函数的单调性；2 函数的奇偶性；3 数形结合思想【思路点晴】本题属于导数，奇偶性总和问题， 难度中等根据已知可联想到需构造函数 根据函数的正负得函数的增减区
7、间同时根据 ， 判断 的奇偶性结合函数图像解不等式10如图所示，两个不共线向量 ， 的夹角为 ， 分别为 与 的中点，点 在直线 上，且 ，则 的最小值为（ ）A B C D答案：B试题分析： 三点共线， 存在实数 使得 ， ， 令 ，函数 图像开口向上以 为对称轴，因为故 B 正确考点：1 向量的加减法，向量共线；2 二次函数求最值11设 是定义在 上的增函数，且对任意 ，都有 恒成立，如果实数 满足不等式 ，那么 的取值范围是（ ）A （9，49） B （13，49） C （9，25） D （3，7）答案：A试题分析： ，所以函数 在 上为奇函数，因为函数 在 上为增函数，所以 恒成立即恒
8、成立表示的平面区域为以 为圆心 2 为半径的圆的内部圆心 到原点的距离为 5设 为圆 上的任意一点所以 ，故 A 正确考点：1 函数的奇偶性，单调性；2 不等式表示平面区域；3 点与圆的位置关系12已知 f（x）ln（x 21） ，g（x）（ ） xm，若对x 10，3，x 21，2，使得 f（x 1）g（x 2） ，则实数 m 的取值范围是（ ）A ，） B （， C ，） D （， 答案：A试题分析：当 时 恒成立，所以函数 在 上单调递增所以 ；试卷第 6 页，总 14 页函数 在 上单调递减，所以 对 使得 等价于 ，即 ，解得 故 A 正确考点：1 用导数求最值；2 转化思想二、填空
9、题（题型注释）13在ABC 中，AB2，BC3，ABC60，AD 为 BC 边上的高，O 为 AD 的中点，若 ，则 _答案：试题分析：在 中， ， ， ，即 ， 考点：1 向量的加减法；2 向量共线14若 cos sin ，则 sin _答案：试题分析：因为，所以 考点：1 两角和差公式；2 诱导公式【思路点晴】本题主要考查的是三角函数公式，难度一般因为角 中 位特殊角，所以应先用两角和差公式将 展开将已知条件变形本题的难点在于观察角 与角 只差为 ，即可用诱导公式求解15已知向量 a，b 满足|a|1，|ab| ， a，b ，则|b|_答案：2试题分析： ，即 ，解得 或 （舍） 即 考点
10、：1 向量模长；2 数量积公式16设函数 f（x）ln x ax2bx，若 x1 是 f（x）的极大值点，则 a 的取值范围为_答案：试题分析： 的定义域为 ， ，依题意可得 ，解得 （1）若 ，当 时，f（x）0， 单调递增；当 时， 单调递减，所以 是 的极大值点（2）若 ，由 ，得 或 因为 是 的极大值点，所以 ，解得综合（1） ， （2）得 的取值范围是 考点：1 导数研究函数的单调性；2 极值点【方法点晴】本题主要考查的是推理与证明和利用导数研究函数的极值，属于难题解题时一定要注意函数的定义域，否则很容易出现错误利用导数求函数 的极值的步骤：确定函数 的定义域；对 求导；求方程 的
11、所有实数根；列表格三、解答题（题型注释）17 （本小题 10 分）已知 （cos sin ，sin ） ，（cos sin ，2cos ） （1）设 f（x） ，求 f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）设有不相等的两个实数 x1，x 2 ，且 f（x 1）f（x 2）1，求 x1x 2的值答案：（1）最小正周期 ； 的单调递减区间是试卷第 8 页，总 14 页；（2） 试题分析：（1）根据数量积公式可得函数 的解析式，将其化简整理为或 的形式，根据周期公式求周期根据化简可得 ，再将整体角 代入余弦函数的单调递减即可求得所求减区间 （2）解 可得两根 的值，从而可得所求试题解析：解：（1）
12、由 得，所以 的最小正周期 又由 ，得 故 的单调递减区间是 （2）由 得 ，故 又 ，于是有 ，得 ，所以 考点：1 向量的数量积公式；2 三角函数的化简，周期，单调性18 （本小题 12 分）根据国家环保部新修订的环境空气质量标准规定：居民区PM25 的年平均浓度不得超过 35 微克/立方米，PM25 的 24 小时平均浓度不得超过75 微克/立方米某城市环保部门随机抽取了一居民区去年 20 天 PM25 的 24 小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：组别 PM2.5 浓度（微克/立方米） 频数（天） 频率第一组 3 0.15第二组 12 0.6第三组 3 0.15第四组 2 0.1（）
13、从样本中 PM25 的 24 小时平均浓度超过 50 微克/立方米的 5 天中，随机抽取2 天，求恰好有一天 PM25 的 24 小时平均浓度超过 75 微克/立方米的概率；（）求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从 PM25 的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由答案：（） ；（）年该居民区 PM25 年平均浓度为 微克/立方米去年该居民区 PM25 年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进试题分析：（）将从这 5 天中任意抽取 2 天所包含的所有基本事件一一例举，再将抽取的 2 天恰有一天 PM25 的 24 小时平均浓度超过 75 微克/立方米的
14、所包含的基本事件一一例举，根据古典概型概率公式可求得所求 （）每组的中点与本组频率乘积之和即为所求的 PM25 的年平均浓度，若大于 35 不符合环境空气质量标准，否则即符合环境空气质量标准试题解析：解：（）设 PM25 的 24 小时平均浓度在 内的三天记为，PM25 的 24 小时平均浓度在 内的两天记为 所以 5 天任取 2 天的情况有： ， ， ， ， ， ， ， 共 10 种其中符合条件的有：， ， ， ， ， 共 6 种所以所求的概率 （）去年该居民区 PM25 年平均浓度为：（微克/立方米） 因为 ，所以去年该居民区 PM25 年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需
15、要改进考点：1 古典概型概率；2 平均数19 （本小题 12 分）如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，侧棱， 是 的中点（）证明 ；（）求三棱锥 A-BDP 的体积试卷第 10 页，总 14 页答案：（）详见解析；（） 试题分析：（）连接 交 于 ，连接 由三角形中位线可证得 ，根据线面平行的判定定理可证得 平面 （）将棱锥转化为以 为定点顶点可使问题简化因为已知 ，则 即为棱锥的高从而易得棱锥的体积试题解析：证明：（）连接 交 于 ，连接 是正方形 是 中点又 是 中点， ，平面 ， 平面 ，平面（）考点：1 线面平行；2 棱锥的体积【方法点晴】本题主要考查的是线面平行，棱锥的体积问题，属于
16、中档题证明线面平行的关键是证明线线平行，证明线线平行常用的方法是中位线，平行四边形，平行线分线段成比例逆定理，平行公理等求棱锥的体积时关键是找准棱锥的顶点即棱锥的高常用体积转化法求高20 （本小题 12 分）己知 、 、 是椭圆 ： （ ）上的三点，其中点 的坐标为 ， 过椭圆的中心，且 ，。（）求椭圆 的方程；（）过点 的直线 （斜率存在时）与椭圆 交于两点 ， ，设 为椭圆 与轴负半轴的交点，且 ，求实数 的取值范围答案：（1） ；（2） 试题分析：（1）根据椭圆的对称性，可知 ，从而可得 ，根据数量积为 0 可得 ，从而可得点 坐标将其代入椭圆方程，又由已知易得，从而可得椭圆方程 （2）当 k=0 时，显然 当 时，设 ：与椭圆方程联立消去 整理可得关于 的一元二次方程依题意可知判别式大于 0，并由韦达定理可得两根之和，两根之积从而可得 中点 坐标根据
