1、2015-2016 学年江苏省泰州中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案直接填写在答题卡相应位置上1设全集 U=R，若集合 A=1，2，3，4，B=x|2x3，则 AB= 2 ，3 【考点】交集及其运算【专题】计算题；定义法；集合【分析】由 A 与 B，找出两集合的交集即可【解答】解：全集 U=R，A=1，2，3，4，B=x|2x3，AB=2，3，故答案为：2，3【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2sin20 cos10+cos20sin10= 【考点】两角和与差的余弦函数【专题】转化思想；
2、综合法；三角函数的求值【分析】由条件利用两角和的正弦公式，求得要求式子的值【解答】解：sin20cos10+cos20sin10=sin（20+10）=sin30=，故答案为：【点评】本题主要考查两角和的正弦公式的应用，属于基础题3设 xR，则“ |x2|1”是“x 2+x20”的 充分不必要 条件 （填充分不必要、必要不充分、充要条件、既不充分也不必要）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】定义法；不等式的解法及应用；简易逻辑【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：由|x 2|1 得1 x21，得 1x3，由 x2+x20 得 x1 或 x2，则（1，3）（，
3、2）（1，+） ，故“|x2|1”是“x 2+x20”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据绝对值不等式以及一元二次不等式的解法求出不等式的等价条件是解决本题的关键4方程 log2（3x+2 ）=1+log 2（x+2）的解为 2 【考点】对数的运算性质【专题】方程思想；转化法；函数的性质及应用【分析】直接利用对数运算法则化简求解方程的解即可【解答】解：方程 log2（3x+2）=1+log 2（x+2） ，可得 log2（3x+2）=log 2（2x+4） ，可得 3x+2=2x+4，解得 x=2，经检验可知 x=2 是方程的解故答案为：2【
4、点评】本题考查对数方程的解法，注意方程根的检验5已知数列a n是递增的等比数列， a1+a4=9，a 2a3=8，则 a6 的值等于 32 【考点】等比数列的通项公式【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列【分析】数列a n是递增的等比数列， a1+a4=9，a 2a3=8=a1a4，解得 a1，a 4再利用等比数列的通项公式即可得出【解答】解：数列a n是递增的等比数列， a1+a4=9，a 2a3=8=a1a4，解得 a1=1，a 4=8q 3=8，解得 q=2a 6=25=32故答案为：32【点评】本题考查了等比数列的通项公式、一元二次方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档
5、题6曲线 y=2xlnx 在点（1，2 ）处的切线方程是 xy+1=0 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】计算题【分析】求出曲线的导函数，把 x=1 代入即可得到切线的斜率，然后根据（1，2）和斜率写出切线的方程即可【解答】解：由函数 y=2xlnx 知 y=2，把 x=1 代入 y得到切线的斜率 k=2=1则切线方程为：y2= （x1） ，即 xy+1=0故答案为：xy+1=0【点评】考查学生会根据曲线的导函数求切线的斜率，从而利用切点和斜率写出切线的方程7设函数 ，则 f（f（1） ）的值是 16 【考点】函数的值【专题】计算题；函数思想；方程思想；函数的性质及应用【分析】直接
6、利用分段函数求解函数值即可【解答】解：函数 ，则 f（f（1） ）=f（1+3 ）=f（4）=2 4=16故答案为：16 【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力8设函数 f（x）=cosx（0） ，将 y=f（x）的图象向右平移 个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则 的最小值等于 6 【考点】函数 y=Asin（x+）的图象变换【专题】计算题【分析】函数图象平移 个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，就是 2 的整数倍，容易得到结果【解答】解：y=f（x）的图象向右平移 个单位长度后所得：y=cos（ x ）=cos（ x ） ；函数图象平移 个
7、单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，就是 2 的整数倍，所以 =2k所以 =6k，kZ；0 的最小值等于： 6故答案为：6【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的理解，考查技术能力，常考题型9已知 sin（ 45）= ，且 090 ，则 cos2 的值为 【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数【专题】计算题；三角函数的求值【分析】由 090，则45 4545，求得 cos（ 45） ，再由 =（45）+45 ，求出余弦，再由二倍角的余弦公式，代入数据，即可得到【解答】解：由于 sin（ 45）= ，且 090 ，则45 4545，则有 c
8、os（ 45）= = ，则有 cos=cos（45+45 ）=cos（ 45）cos45sin（45）sin45= =，则 cos2=2cos21=2 1= ，故答案为： 【点评】本题考查三角函数的求值，考查两角和的余弦公式和二倍角的余弦公式，考查角的变换的方法，考查运算能力，属于中档题10已知ABC 的一个内角为 120，并且三边长构成公差为 4 的等差数列，则ABC 的面积为 15 【考点】余弦定理；数列的应用；正弦定理【专题】综合题；压轴题【分析】因为三角形三边构成公差为 4 的等差数列，设中间的一条边为 x，则最大的边为x+4，最小的边为 x4，根据余弦定理表示出 cos120的式子，
9、将各自设出的值代入即可得到关于 x 的方程，求出方程的解即可得到三角形的边长，然后利用三角形的面积公式即可求出三角形 ABC 的面积【解答】解：设三角形的三边分别为 x4，x，x+4，则 cos120= =，化简得：x16=4x，解得 x=10，所以三角形的三边分别为：6，10，14则ABC 的面积 S=610sin120=15 故答案为：15【点评】此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用余弦定理及三角形的面积公式化简求值，是一道中档题11已知方程 x3ax+2=0（a 为实数）有且仅有一个实根，则 a 的取值范围是 （ ，3） 【考点】根的存在性及根的个数判断【专题】函数的性质及应用；导数
10、的综合应用【分析】方程 x3ax+2=0，即为 a=x2+，由 f（x）=x 2+，可得导数及单调区间，可得极小值，由题意可得 a 的范围【解答】解：方程 x3ax+2=0，即为 a=x2+，由 f（x）=x 2+，导数 f（x）=2x ，可得 f（x）在（1，+）单调递增，在（0，1）递减，在（，0）递减，即有 x=1 处取得极小值 3，有且仅有一个实根，则 a3故答案为：（，3） 【点评】学会用导数及单调性处理根的存在与个数问题，极值是解决此问题的关键是中档题12已知数列a n满足 an+1=qan+2q2（q 为常数） ，若 a3， a4，a 55，2，1，7，则 a1= 2 或 或 7
11、9 【考点】数列递推式【专题】综合题；分类讨论；综合法；等差数列与等比数列【分析】观察已知式子，移项变形为 an+1+2=q（a n+2） ，从而得到 an+2 与 an+1+2 的关系，分 an=2 和 an2 讨论，当 an2 时构造公比为 q 的等比数列 an+2，进而计算可得结论【解答】解：a n+1=qan+2q2（q 为常数， ） ，a n+1+2=q（a n+2） ，n=1，2，下面对 an 是否为 2 进行讨论：当 an=2 时，显然有 a3，a 4，a 55，2， 1，7 ，此时 a1=2；当 an2 时， an+2为等比数列，又因为 a3，a 4，a 55，2， 1，7 ，
12、所以 a3+2，a 4+2，a 5+23，0，1，9 ，因为 an2，所以 an+20，从而 a3+2=1，a 4+2=3，a 5+2=9，q= 3 或 a3+2=9，a 4+2=3，a 5+2=1，q=代入 an+1=qan+2q2，可得到 a1= ，或 a1=79；综上所述，a 1=2 或 或 79，故答案为：2 或 或 79【点评】本题考查数列的递推式，对数列递推式能否成功变形是解答本题的关键所在，要分类讨论思想在本体重的应用，否则容易漏解，注意解题方法的积累，属于难题13已知平行四边形 ABCD 中，AB=2，AD=1，DAB=60 ，点 E，F 分别在线段BC，DC 上运动，设 ，则
13、 的最小值是 【考点】平面向量数量积的运算【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用【分析】由题意画出图形，把 都用含有 的式子表示，展开后化为关于 的函数，再利用基本不等式求最值【解答】解：如图，AB=2，AD=1，DAB=60， = 当且仅当 ，即 时，上式等号成立故答案为： 【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量加法的三角形法则，体现了数学转化思想方法，是中档题14已知函数 y=f（x）是定义域为 R 的偶函数 当 x0 时，f（x）=，若关于 x 的方程f（x） 2+af（x）+b=0，a，b R 有且仅有 6 个不同实数根，则实数 a 的取值范围是 （ ，）（， 1）
14、 【考点】根的存在性及根的个数判断【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】依题意 f（x）在（，2）和（0，2）上递增，在（ 2，0）和（2，+）上递减，当 x=2 时，函数取得极大值；当 x=0 时，取得极小值 0要使关于 x 的方程f（x）2+af（x ）+b=0，a，bR 有且只有 6 个不同实数根，设 t=f（x） ，则 t2+at+b=0 必有两个根t1、t 2，则有两种情况：（1）t 1=，且 t2（1， ） ， （2）t 1（0，1，t 2（1， ） ，符合题意，讨论求解【解答】解：依题意 f（x）在（ ，2）和（0，2）上递增，在（ 2，0）和（2，+）上递减，当 x=2 时，
15、函数取得极大值；当 x=0 时，取得极小值 0要使关于 x 的方程f（x） 2+af（x）+b=0，a，bR 有且只有 6 个不同实数根，设 t=f（x） ，则 t2+at+b=0 必有两个根 t1、t 2，则有两种情况符合题意：（1）t 1=，且 t2（1， ） ，此时a=t 1+t2，则 a（， ） ；（2）t 1（0，1，t 2（1， ） ，此时同理可得 a（，1） ，综上可得 a 的范围是（，）（， 1） 故答案为：（， ）（，1 ） 【点评】本题考查了分段函数与复合函数的应用，属于难题二、解答题：本大题共 10 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明
16、、证明过程或演算步骤15如图已知四边形 AOCB 中，| |=5， =（5，0） ，点 B 位于第一象限，若 BOC 为正三角形（1）若 cosAOB=，求 A 点坐标；（2）记向量 与 的夹角为 ，求 cos2 的值【考点】平面向量数量积的运算；任意角的三角函数的定义【专题】平面向量及应用【分析】 （1）设AOB=， cos=，sin= 可得：x A= ，y A=（2）B ，计算 . ， 可得 cos= 【解答】解：（1）设AOB= ，cos =，sin= xA= = = yA= =5 = A （2）B ，= = = = =5， =5cos= = cos2=2cos 21= 【点评】本题考查
17、了向量的坐标运算、数量积运算性质、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16在等比数列a n中，a 1=1，且 a2 是 a1 与 a31 的等差中项（1）求数列a n的通项公式；（2）若数列b n满足 求数列b n的前 n 项和 【考点】数列的求和；等比数列的通项公式【专题】方程思想；作差法；等差数列与等比数列【分析】 （1）设等比数列a n的公比为 q，运用等差数列的性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比 q，即可得到所求通项公式；（2）化简 bn=2n1+（ ） ，运用分组求和和裂项相消求和，化简即可得到所求和【解答】解：（1）设等比数列a n的公比为 q，a2 是 a1
18、与 a31 的等差中项，即有 a1+a31=2a2，即为 1+q21=2q，解得 q=2，即有 an=a1qn1=2n1；（2） =an+=2n1+（ ） ，数列b n的前 n 项和 =（1+2+2 2+2n1）+（1+ ）= +1 =2n 【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项和求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和和裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题17如图，某市若规划一居民小区 ABCD，AD=2 千米，AB=1 千米，A=90，政府决定从该地块中划出一个直角三角形地块 AEF 建活动休闲区（点 E，F 分别在线段 AB，AD 上），且该直角三角形 AEF 的周长为 1 千米
19、，AEF 的面积为 S（1）设 AE=x，求 S 关于 x 的函数关系式；设AEF= ，求 S 关于 的函数关系式；（2）试确定点 E 的位置，使得直角三角形地块 AEF 的面积 S 最大，并求出 S 的最大值【考点】函数的最值及其几何意义；函数解析式的求解及常用方法【专题】应用题；函数的性质及应用【分析】 （1）设 AF=y，由勾股定理可得 y= （由 y0 可得 0x） ，即可得到 S 的解析式；AF=xtan，EF= ，由周长为 1，解得 x，即可得到 S 的解析式；（2）由得 S= （0x） ，设 1x=t（t1） ，则 x=1t，可得 S=（32t ）运用基本不等式，可得最大值及 x 的值【解答】解：（1）设 AF=y，由勾股定理可得 x2+y2=（1x y） 2，解得 y= （由 y 0 可得 0x） ，可得 S=xy= （0x） ；AF=xtan，EF= ，由 x+xtan+ =1，可得 x= ，即有 S=xy= （0 ） ；（2）由得 S= （0x） ，设 1x=t（t1） ，则 x=1t，
