1、2016 届江苏省扬州中学高三上学期开学考试数学理试题（全卷满分 160 分，考试时间 120 分钟）20158注意事项：1 答卷 前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方2试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应位置）1.已知集合 01|,2|xBxA，则 AB= 2.已知命题 :(1)logp，则 p为 3.若复数aiz（其中 i为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数 a . 4. 记不等式 x2x 60 的解集为集合 A，函数 ylg(xa)的定义域为集合 B若“x A”
2、是“x B”的充分 条件，则实数 a 的取值范围为 5.袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为 .6. 曲线 cosyx在点 )2,(处的切线方程为 7. 若 n)21(4展开式中前三项系数成等差数列，则 n的值为 8.若函数xfa是奇函数，则使 3fx（ ） 成立的 x的取值范围为 .9.已知 为第二象限角， cosin，则 2cos . 10.若函数 ()2()xafR满足 (1)()fxf，且 ()fx在 ,)m上单调递增，则实数 m的最小值等于 . 11.已知函数 xf,)(，则不等式 )43()2(ff 的解集是 .12.已知函数 )(f2
3、,0ln(1).若 axf)(，则 的取值范围是 . 13.已 知 fx是 定 义 在 ,上 的 奇 函 数 ， 当 (0,2时 ， ()21xf， 函 数2()gm. 如果 12,x， 2x，使得 g，则实数 m的取值范围是 .14.已知函数 )(xfy是定义域为 R上的偶函数，当 0x时， ,24310,)(2xxf 若关于 x的方程 axaff ,0167)()(2 有且仅有 8 个不同实数根，则实数 a的取值范围是 . 二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15（本小题满分 14 分）已知 1tan()42；（1）求 ；（2）求2si
4、ncos16. （本小题满分 14 分）已知命题 p:关于实数 x的方程 210mx有两个不等的负根；命题 q:关于实数 x的方程24()10xmx无实根（1） 命题“ 或 q”真， “ p且 ”假，求实数 的取值范围（2） 若关于 的不等式 ()5)()R的解集为 M；命题 为真命题时， m的取值集合为 N当 M时，求实数 的取值范围17. （本小题满分 14 分）设 2sincos4fxx.（1）求 的单调区间；（2）在锐角 ABC中，角 ,的对边分别为 ,abc,若 0,12Afa,求 ABC面积的最大值.18. （本小题满分 16 分）右图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是一个矩形 A
5、BCD，上部是圆弧 AB，该圆弧所在圆的圆心为O为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗 EFGH(其中 E，F 在圆弧 AB 上， G，H 在弦 AB 上) 过 O 作 OPAB，交 AB 于 M，交 EF 于 N，交圆弧 AB 于 P已知OP10，MP6.5（单位：m），记通风窗 EFGH 的面积为 S（单位：m 2） （1）按下列要求建立函数关系式：(i)设POF (rad)，将 S 表示成 的函数；(ii)设 MNx (m) ，将 S 表示成 x 的函数； （2）试问通风窗的高度 MN 为多少时，通风窗 EFGH 的面积 S 最大？19.（本小题满分 16 分）已知函
6、数 ()1fxx。 （1）求函数 的定义域和值域；（2）设 2()()aFff（ a为实数），求 ()Fx在 0a时的最大值 ()ga；（3）对（2）中 g，若 2()mtg对满足 所有的实数 及 1,t恒成立，求实数 m的取值范围。20(本小题满分 16 分)设函数 (lnfx， ()01mxng.（1）当 m时，函数 yf与 (g在 1x处的切线互相垂直，求 n的值；（2）若函数 (f在定义域内不单调，求 mn的取值范围；（3）是否存在实数 a,使得 2()02axffef对任意正实数 x恒成立？若存在，求出满足条件的实数 ；若不存在，请说明理由.EBGANDMCFOHP(第 18 题图)
7、扬州中学 2016 届高三 8 月开学考试数 学 （理科）试 题（全卷满分 40 分，考试时间 30 分钟）2015821选修 4-4：坐标系与参数方程 （本小题满分 10 分）在平面直角坐标 xoy中，已知曲线 C 的参数方程为 为 参 数 ）tyx(412，曲线与直线 xyl21:相交于BA,两点，求线段 AB的长。22 选修 4-4：坐标系与参数方程 （本题满分 10 分）在极坐标系中，求圆 2cos的圆心到直线 2sin()13的距离.23 (本小题满分 10 分)一位网民在网上光顾某淘宝小店，经过一番浏览后，对该店铺中的 ,ABCDE五种商品有购买意向.已知该网民购买 ,AB两种商品
8、的概率均为 34，购买 ,CD两种商品的概率均为 23，购买 种商品的概率为 12.假设该网民是否购买这五种商品相互独立.（1）求该网民至少购买 4 种商品的概率；（2）用随机变量 h表示该网民购买商品的种数，求 h的概率分布和数学期望.24. (本小题满分 10 分)设 *212 ,)1()12(, NnRxnxnQxPnn （1）当 时，试指出 P与 的大小关系；（2）当 3n时，试比较 nP与 Q的大小，并证明你的结论.2015 年 8 月开学考理 科 数 学 试 题 参 考 答 案一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应位置）1、 |2x
9、2. 2(1,)log0xx3. 1 4. (，3 5. 316. 02y 7.8 8. ,（ ） 9 3 10. 11. )2, 12. 2,0 13.2,5 14. )96,47(二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.解：（1）tant1tan4tan421t.3（2）2 2sincosincostan151 616.解： （1）若方程 210xm有两不等的负根，则 042m解得 2m即命题 p: ，若方程 24()x无实根，则 16( m2) 21616(m 24m3) 0解得：1m3.即命题 q:1m 3.由题意知，命题 p、q
10、 应一真一假，即命题 p 为真，命题 q 为假或命题 p 为假，命题 q 为真. 31或或解得：m3 或 1m2. （2）（2） MN )3,(),5(3，解得： 617（I）由题意知 1cos2sin2xxf sin21siix由 ,kkZ 可得 ,44kxkZ由 322,kxkZ 可得 3,44kxkZ18.解：（1）由题意知，OF OP10，MP6.5，故 OM3.5(i)在 RtONF 中，NFOFsin 10sin ，ON OFcos10cos 在矩形 EFGH 中，EF2MF20sin ，FG ONOM10cos 3.5，故 SEFFG20sin(10cos3.5)10sin (2
11、0cos7) 即所求函数关系是 S10sin(20cos 7) ，0 0，其中 cos0 720 4 分(ii)因为 MNx，OM3.5，所以 ONx3.5在 RtONF 中，NF OF2 ON2 100 (x 3.5)23514 7x x2在矩形 EFGH 中，EF2NF ，FG MNx，351 28x 4x2故 SEFFGx 351 28x 4x2即所求函数关系是 Sx ，0x6.5 8 分351 28x 4x2（2）方法一：选择(i)中的函数模型：令 f()sin(20cos7)，则 f ()cos(20cos7)sin (20sin )40cos 27cos 20 10 分由 f ()
12、40cos 27cos 200，解得 cos ，或 cos 45 58因为 0 0，所以 cos cos0，所以 cos 45设 cos ，且 为锐角，45则当 (0，)时，f ()0 ，f ()是增函数；当 (， 0)时，f ()0 ，f()是减函数，所以当 ，即 cos 时，f ()取到最大值，此时 S 有最大值45即 MN10cos3.54.5m 时，通风窗的面积最大 14 分方法二：选择(ii)中的函数模型：因为 S ，令 f(x)x 2(35128x4x 2)，x2(351 28x 4x2)则 f (x)2x(2x 9)(4x 39) 10 分因为当 0x 时 ，f (x) 0，f(
13、x) 单调递增，当 x 时，f (x)0，f(x)单调递减， 92 92 132所以当 x 时，f( x)取到最大值，此时 S 有最大值92即 MNx4.5m 时，通风窗的面积最大 14 分19解： 1)由 1+x0 且 1-x0，得-1x1,所以定义域为 1, 2 分又 22(,4f由 ()fx0 得值域为 2 4 分（2）因为 )()aFxfax令 (1tf，则 21t， )xmta( 2t)+t= ,t 6 分由题意知 g(a)即为函数 21)2a的最大值。注意到直线 ta是抛物线 (tta的对称轴。因为 a0 时,函数 y=m(t), ,的图象是开口向下的抛物线的一段，10 分（3）易
14、得 min()2ga， 12 分由 2t对 0恒成立，即要使 min()2ga即 0tm恒成立， 令 2htt，对所有的 1,th成立，只需 ,02)1(mh解得 2,或 m=0或 . 16 分20解：（1）当 时， 21()ngx， ()ygx在 1处的切线斜率 14nk，由 ()fx， yf在 处的切线斜率 k， 4n， 5.4 分（2）易知函数 ()x的定义域为 (0,)，又 2221()11)()()xmmnmn xyfxgx，由题意，得 2x的最小值为负， 4（注：结合函数2(1)yxn图象同样可以得到），2(1)()4n， (1)4n，3m（注：结合消元利用基本不等式也可）.9 分
15、（3）令 ()x=()ln2lnl2axffefaxxa，其中 0,xa则 1ln2la，设 1()a21()0xx在 0,)单调递减， ()在区间 (0,)必存在实根，不妨设 0()x即 001()lnlaa，可得 01lnl2xa（*）x在区间 0,)x上单调递增，在 (,)x上单调递减，所以 mx0()()，0 00()1l2()l，代入（*）式得 012根据题意 00xax恒成立.又根据基本不等式, 2,当且仅当 01ax时,等式成立所以 012ax, 0ax01.代入（*）式得, ln2a,即 1,216 分(以下解法供参考，请酌情给分)解法 2： ()lnlnl2()ln)xaxx
16、，其中 0,a根据条件 )(2axffef对任意正数 恒成立即 (1)l0ax对任意正数 恒成立ln2且1lnax，解得 12xa且 1x，即 12xa时上述条件成立此时 2a.解法 3： ()lnlnl(1)ln2)xaxx，其中 0,a要使得 )0对任意正数 恒成立，等价于 12ax对任意正数 恒成立，即 对任意正数 x恒成立，设函数 ()(xa，则 ()x的函数图像为开口向上，与 x正半轴至少有一个交点的抛物线，因此，根据题意，抛物线只能与 轴有一个交点，即 12a，所以 2.扬州中学 2016 届高三 8 月开学考试数 学 （理科）试 题21 解：将曲线 C 的参数方程化为普通方程为：
17、 2yx（亦可直接用参数方程解 A,B 点）方程组 yx28解得 )41,2(0,BA故 5A22. 圆的普通方程为 )(yx直线的普通方程为 31， 圆心到直线的距离为 2d23解：（1）记“该网民购买 i 种商品”为事件 ,45iA，则： 5321()48PA,1 14 2 2323()()()()43PACC,2 分所以该网民至少购买 4 种商品的概率为 54()834P.答：该网民至少购买 4 种商品的概率为 2. 3 分（2）随机变量 h的可能取值为 0,134,，31(0)(1)()()8P,12 22 31()1()43342CC()()128, 3()(1)()242Ph1 12 3321()(1)443CC2()478,(3)(0,5128Ph972, 41()(3PAh,58. 8 分所以：随机变量 h的概率分布为：0 1 2 3 4 5P24789818故 05823E.10 分
