1、第三节 二项式定理,三年10考 高考指数: 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.,1.二项展开式的通项公式的应用，利用通项公式求特定的项或特定项的系数，或已知某项，求指数n等是考查重点； 2.赋值法、化归思想是解决二项展开式问题的基本思想和方法，也是高考考查的热点； 3.题型以选择题和填空题为主，与其他知识点交汇则以解答题为主.,1.二项式定理,它表示第_项,(a+b)n=_ _(nN*),Tr+1=_,二项展开式中各项的系数为 _(r=0,1,2,n),【即时应用】 (1)思考:(a+b)n展开式中，二项式系数 (r=0,1,2,n)与展 开式中项的系数相同吗? 提示：不一定.二项
2、式系数与项的系数是完全不同的两个概念, 二项式系数是指 ,它只与各项的项数有关， 而与a,b无关；而项的系数是指该项中除变量外的部分，它不 仅与各项的二项式系数有关，而且也与a,b所代表的项有密切 关系.,(2) =_. 【解析】原式=(1-2)11=-1. 答案：-1,(3) 的展开式中，x3的系数等于_. 【解析】 的通项为令 得r2， ，故x3的系数为 答案：15,2.二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即 _. (2)(a+b)n的展开式的各个二项式系数的和等于_， 即_. (3)二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项 式系数的和，即
3、,2n,【即时应用】 (1)若 的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项的系数之和为_. (2)已知(3-x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a0-a1+a2-a3+a4等于_. (3)已知(1x)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，则(a0 a2a4)(a1a3a5)的值等于_,【解析】(1)依题意，得 15，即 15，n(n1) 30(其中n2)，由此解得n6，因此展开式中所有项的系数之 和为 (2)由题意可知，令x1，代入式子，可得a0-a1+a2-a3+a4 3(1)4256. (3)分别令x1、x1,得a0a1a2a3a4a50,a0 a1a2
4、a3a4a532，由此解得a0a2a416，a1a3 a516，所以(a0 a2a4)(a1a3a5)256. 答案：(1) (2)256 (3)-256,求二项展开式中特定的项或特定项的系数 【方法点睛】 1.理解二项式定理应注意的问题 (1)Tr+1通项公式表示的是第“r+1”项，而不是第“r”项； (2)通项公式中a和b的位置不能颠倒； (3)展开式中第r+1项的二项式系数 与第r+1项的系数在一般情况下是不相同的，在具体求各项的系数时，一般先处理符号，对根式和指数的运算要细心,以防出差错.,2.求特定项的步骤 第一步:根据所给出的条件(特定项)和通项公式建立方程来确定指数(求解时要注意
5、二项式系数中n和r的隐含条件，即n为正整数，r为非负整数，且rn)； 第二步:根据所求项的指数特征求所要求解的项.,【例1】(1)(2012宁波模拟)在 的展开式中，系数为有理数的项共有_项. (2)(2012六安模拟)如果(1+x2)n+(1+x)2n(nN*)的展开式中x项的系数与x2项的系数之和为40，则n的值等于_. (3)(2012黄山模拟) 展开式中x2的系数为_.,【解题指南】(1)先明确系数为有理数的项的特征，然后由二项 展开式的通项找出符合条件的项的个数. (2)分别写出(1+x2)n与(1+x)2n的通项，再分别求出x项与x2项的 系数进而求出n. (3)先明确(1-x)4
6、与 的通项，再让通项相乘，可得(1- x)4 的通项，最后分情况讨论即可.,【规范解答】(1) 要求系数为有理数的项，则r必须能被4整除.由0r20且rN知，当且仅当r=0,4,8,12,16,20时所对应的项系数为有理数. 答案：6 (2)(1+x2)n的通项 (1+x)2n的通项 令r=1，r=1，r=2得：,n2+n-20=0,n=4. 答案：4(3)(1-x)4的通项 r0，1，2，3，4的通项Tr+1= ，r0，1，2，3 的通项 令 , 或,当 时,x2的系数为 当 时，x2的系数为 x2的系数为-6 答案：-6,【反思感悟】解决有理项是字母指数为整数的项的问题必须合并通项公式中同
7、一字母的指数，根据具体要求，令其为整数，再根据数的整除性来求解.若求二项展开式中的整式项，则其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项的方式一致.,【变式训练】已知在二项式 的展开式中,第6项为常数项. (1)求n; (2)求含x2的项的系数; (3)求展开式中所有的有理项. 【解题指南】“第6项为常数项”是解决问题的突破口，据此，根据展开式求出n的值，为求解(2)(3)打下基础.,【解析】(1)通项公式为因为第6项为常数项, 所以r=5时,有 =0,即n=10. (2)令 ,得 所求的系数为(3)根据通项公式,由题意得,令 =k(kZ),则10-2r=3k,即 rN,k应为偶
8、数. k可取2,0,-2,即r可取2,5,8. 所以第3项,第6项与第9项为有理项,它们分别为即,二项式系数和或各项的系数和 【方法点睛】 赋值法的应用 (1)对形如(ax+b)n、(ax2+bx+c)m(a,b,cR)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x=1即可；对形如(ax+by)n(a,bR)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x=y=1即可.,(2)若f(x)=a0a1xa2x2anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)， 奇数项系数之和为a0+a2+a4+= 偶数项系数之和为a1+a3+a5+= 【提醒】“赋值法”是求二项展开式系数问题常用的方法，注意取值要有
9、利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解题易出现漏项等情况，应引起注意.,【例2】设(3x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4. (1)求a0+a1+a2+a3+a4; (2)求a0+a2+a4; (3)求a1+a3; (4)求a1+a2+a3+a4; (5)求各项二项式系数的和. 【解题指南】本题给出二项式及其二项展开式，求各项系数和或部分项系数和，可用赋值法，即令x取特殊值来解决.,【规范解答】(1)令x=1,得a0+ a1+ a2+ a3+ a4=(3-1)4=16. (2)令x=-1得a0- a1+ a2- a3+ a4=(-3-1)4=256,而由(1
10、)知 a0+ a1+ a2+ a3+ a4=(3-1)4=16.两式相加，得 a0+ a2+ a4=136.,(3)由(1)、(2)得 ( a0+ a1+ a2+ a3+ a4)-( a0+ a2+ a4) = a1+ a3=-120. (4)令x=0得a0=1，亦得 a1+ a2+ a3+ a4= a0+ a1+ a2+ a3+ a4-a0 =16-1=15. (5)各项二项式系数的和为,【反思感悟】1.在求解本例第(4)题时容易忽略a0的值导致错解. 2.运用赋值法求值时应充分抓住代数式的结构特征，通过一些特殊值代入构造相应的结构.,【变式训练】(1)已知(1x)(1x)2(1x)na0a
11、1xa2x2anxn，且a1a2an129n，则n_； (2)已知(1x)na0a1xa2x2anxn，若5a12a20，则a0a1a2a3(1)nan_. 【解析】(1)易知an1，令x0得a0n，所以a0a1an30. 又令x1，有2222na0a1an30， 即2n1230，所以n4.,(2)由二项式定理得，代入已知得5nn(n1)0，所以n6， 令x1得(11)6a0a1a2a3a4a5a6， 即a0a1a2a3a4a5a664. 答案：(1)4 (2)64,【变式备选】设(x2-x-1)50=a100x100+a99x99+a98x98+a0. (1)求a100+a99+a98+a1
12、的值； (2)求a100+a98+a96+a2+a0的值.,【解析】(1)令x=0,得a0=1; 令x=1,得a100+a99+a98+a1+a0=1, 所以a100+a99+a98+a1=0.(2)令x=-1,得a100-a99+a98-a1+a0=1, 而a100+a99+a98+a1+a0=1, +整理可得a100+a98+a96+a2+a0=1.,二项式定理的综合应用 【方法点睛】 二项式定理的综合应用 (1)利用二项式定理做近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1+x)n1+nx. (2)利用二项式定理证明整除问题或求余数问题:在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式
13、(数)展开后的每一项都有除式的因式，要注意变形的技巧.,(3)利用二项式定理证明不等式:由于(a+b)n的展开式共有n+1项，故可以对某些项进行取舍来放缩，从而达到证明不等式的目的.,【例3】(1)求证：46n5n19能被20整除. (2)根据所要求的精确度，求1.025的近似值.(精确到0.01). 【解题指南】(1)将6拆成“5+1”，将5拆成“4+1”,进而利用二项式定理求解. (2)把1.025转化为二项式，适当展开，根据精确度的要求取必要的几项即可.,【规范解答】(1)46n5n194(6n1)5(5n1)4(5 1)n15(41)n120(5n1 是20的倍数， 所以46n5n19
14、能被20整除.,(2)1.025=(1+0.02)5 = 当精确到0.01时，只要展开式的前三项和，1+0.10+0.004=1.104，近似值为1.10.,【互动探究】将本例(2)中精确到0.01改为精确到0.001如何求解? 【解析】由本例(2)知，当精确到0.001时，只要取展开式的前四项和, 1+0.10+0.004+0.000 08=1.104 08. 近似值为1.104.,【反思感悟】利用二项式定理证明整除问题时，首先需注意(ab)n中，a，b中有一个是除数的倍数；其次展开式有什么规律，余项是什么，必须清楚.,【变式备选】(1) 除以9，得余数是多少？ (2)求0.9986的近似值
15、，使误差小于0.001. 【解析】(1) =(7+1)n1=8n1=(9-1)n1=9n-(i)当n为奇数时 原式= 除以9所得余数为7.,(ii)当n为偶数时 原式= 除以9所得余数为0，即被9整除. (2)0.9986(10.002)616(0.002)115(0.002)2(0.002)6. T3 (0.002)215(0.002)20.000 060.001，且第3项以后的绝对值都小于0.001，所以从第3项起,以后的项都可以忽略不计. 所以0.9986=(1-0.002)61+6(-0.002)=1-0.012=0.988.,【易错误区】对展开式中的项考虑不全面致误 【典例】(201
16、1新课标全国卷) 的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( ) (A)-40 (B)-20 (C)20 (D)40 【解题指南】用赋值法求各项系数和，确定a的值，然后再求常数项.,【规范解答】选D.令x=1，可得 的展开式中各项系数和为1+a， 1+a=2，即a=1. 的通项公式 的展开式中的常数项为,【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：,1.(2011陕西高考)(4x-2-x)6(xR)展开式中的常数项是( ) (A)-20 (B)-15 (C)15 (D)20 【解析】选C. = = 令12x-3xr=0，则r=4，所以 =15，故选
17、C.,2.（2011重庆高考）（1+3x）n（其中nN且n6）的展开式中x5与x6的系数相等，则n=（ ） (A)6 (B)7 (C)8 (D)9 【解题指南】根据二项展开式的相关公式列出x5与x6的系数,然后根据系数相等求出n的值. 【解析】选B.x5的系数为 的系数为 由可得, 解之得n=7.,3.(2011山东高考)若 展开式的常数项为60，则常数a的值为_. 【解析】由二项式定理 的展开式Tk+1= = 令6-3k=0，则k=2,答案：4,4.(2011浙江高考)设二项式 (a0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B=4A，则a的值是_. 【解析】 令r=2,得 令r=4,得 由B=4A可得a2=4，又a0，所以a=2. 答案：2,
