1、2016 届天津市高三“五校”12 月联考数学（理）试题本试卷分第卷和第卷两部分，满分 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号写在答题卡上.用 2B 铅笔将答题卡涂黑。2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.3考试结束，监考人答题卡收回. 祝各位考试考试顺利！一.选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知全集 UR，集合 2|30,|24AxBx，则集合()UCBA
2、= A-1，4 B (,)(,C 2,3D 142.右图是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是A B. 123C. D. 453.下列叙述正确的个数是若 为假命题，则 均为假命题；pqpq、若命题 ；200:,1xRx则 ；在 中“ ”是“ ”的充要条件；ABC06cos2A若向量 满足 ，则 与 的夹角为钝角。,ababA1 B. 2 C. 3 D. 4 4直线 与曲线 在第一象限内围成的封闭图形的面积为yx3yxABCD424225已知 的面积为 ，则 的周长等于C3,3ABACA B3 第 2 题图C D23326已知点 的坐标满足条件 记 的最大值为 ，),(yxP120xy2yxa
3、的最小值为 ，则 22)3(xbaA4 B5 C D 3473487设等差数列 的前 项和为 ，且满足 ， ，对任意正整数 ，都nanS2012015Sn有 ，则 的值为（ ）nkA1006 B1007 C1008 D10098.已知函数 ，则下列关于函数 （ ）的20lnxef 1yfkx0k零点个数的判断正确的是 A当 时，有 个零点；当 时，有 个零点0k3k4B当 时，有 个零点；当 时，有 个零点403C无论 为何值，均有 个零点D无论 为何值，均有 个零点二填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分, ）9.复数 的共轭复数为_i110.已知一个几何体的三视图及有关数
4、据如右图所示,则该几何体的体积为_11若函数 有最小值，则 a 的取值范2log1ayx围是_12. 已知点 P 是边长为 4 的正方形内任一点，则点 P 到四个顶点的距离均大于 2 的概率是 _ 13在矩形 中，已知 ，点 E 是 BCABCD3,2AD的 中点，点 F 在 CD 上，若 则 的值是 .FB14若实数 满足 ，cba,11,22ababcaFE DCBA正视图1 1222 2侧视图俯视图则的最大值是 c三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。15. (本小题共 13 分)已知函数 .xxfcos2in)()（ 1） 求 的 定
5、义 域 及 最 小 正 周 期 ；(xf（ 2） 当 时 ， 求 函 数 的 最 值 ；0,2)(f（ 3） 求 的 单 调 递 减 区 间 .)(xf16. (本小题共 13 分)甲袋中装有大小相同的白球 1 个，红球 2 个；乙袋中装有与甲袋中相同大小的红球 2 个，白球 3 个先从甲袋中取出 1 个球投入乙袋中，然后从乙袋中取出 2 个小球（1）求从乙袋中取出的 2 个小球中仅有 1 个红球的概率；（2）记从乙袋中取出的 2 个小球中白球个数为随机变量 ，求 的分布列和数学期望17.(本小题共 13 分)如图，四棱锥 的底面是直角梯形， ， ， 和PABCD/ABCDAPB是两个边长为
6、的正三角形， ， 为 的中点， 为 的一动点AD24OE（1 ）求证： 平面 ；O（2 ）求直线 与平面 所成角的正弦值；（3 ）当 时，二面角 的PEABDE余弦值为 ，求实数 的值518 （本小题共 13 分）已知椭圆 的两焦点 （-1，0 ）和 （1，0 ） ， 为椭圆上一点，C1F2P且 |2211PF（1）求椭圆 的方程；（2）过 的直线与椭圆 相交于 两点，若 的面积为 ，求以 为1CBA,BF2162FAOCB圆心且与直线相切的圆的方程。19 （本小题共 14 分）已知 是数列 的前 项和， 且 ，nSna21a14nnaS，数列 中， ，且 )()(1Nbbnn 。)(Nnnb
7、41（1 ）求数列 的通项公式；na（2 ）设 ，求 的前 项和 ；321nbcncnT（3 ）证明：对一切 ， Niaii123)(20 （本小题共 14 分）已知函数 ()e,.xfkR，（1）若 ，试确定函数 的单调区间；ek（2）若 ，且对于任意 ， 恒成立，试确定实数 的取值范围；0xR()0fk（3）设函数 ，求证： ()(gxf211(2)(e)()ngN2016 届天津市 “五校”联考数学 (理科)试卷数学试卷（理科） 评分标准一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、 D 2C B 4D 5A 6B 7C 8 C 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题
8、 5 分，共 30 分9 10 11 i12a3412 13 14413log-2三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.已知函数 .xxfcos2in)()（ 4） 求 的 定 义 域 及 最 小 正 周 期 ；（ 5） 当 时 ， 求 函 数 的 最 值 ；0,2(x)(f（ 6） 求 的 单 调 递 减 区 间 .)f解 ： （ 1） 由 ， 得 ， ，cosx2kZ定 义 域 为 2 分,|xxfcossin)i() xx2sincoin3 分 21sin1)4i(的最小正周期为 4 分)(xf（2 ） 5 分03x当 时，即 时， 7
9、分4x00)(manf当 时，即 时， 9 分28x12ix（3 ） 又 ，23kk 85k2kxZ的单调递减区间 ， 13 分)(xf ), ,2(16 甲袋中装有大小相同的白球 1 个，红球 2 个；乙袋中装有与甲袋中相同大小的红球 2个，白球 3 个先从甲袋中取出 1 个球投入乙袋中，然后从乙袋中取出 2 个小球（）求从乙袋中取出的 2 个小球中仅有 1 个红球的概率；（）记从乙袋中取出的 2 个小球中白球个数为随机变量 ，求 的分布列和数学期望16解答 （）记“乙袋中取出的 2 个小球中仅有 1 个红球”为事件 A，包含如下两个事件：“从甲袋中取出 1 红球投入乙袋，然后从乙袋取出的两
10、球中仅 1 个红球” 、 “从甲袋中取出 1 白球投入乙袋，然后从乙袋取出的两球中仅 1 个红球” ，分别记为事件A1、A 2，且 A1 与 A2 互斥，则： 4583)(26311CAP4583)(2612CP 4568)(P故从乙袋中取出的 2 个小球中仅有 1 个红球的概率为 6 分45（） 0、1、2 732)0(66P， ，453)( 26132614CP 451231)(6264CP,（取值 1 分，答对一个得 1 分） 10 分 的分布列为0 1 2P 457645 = （分布列 1 分,期望 2 分；） 13 分2E9017.(本小题共 12 分)如图，四棱锥 的底面是直角梯形
11、， ， ，PABCD/ABCDA和 是两个边长为 的正三角形， ， 为 的中点， 为 的一ABD4OEP动点 （1）求证： 平面 ；O（2 ）求直线 与平面 所成角的正弦值C（3 ）当 时，二面角 的PEABE余弦值为 ，求实数 的值517（1）证明：设 为 的中点，连接 ，则FDCFDB ， ， ，ABA/B四边形 为正方形， 为 的中点，O 为 的交点，, ， 2PDB ， .2 分 ，AOCPBADOCPBEF ， ，2POB12AOBD在三角形 中， ， ，3 分A224PPAO ， 平面 ； 4 分DC(2) 由() 知 平面 ，又 ，所OBAD以过 分别做 的平行线，以它们做 轴，
12、, ,xy以 为 轴建立如图所示的空间直角坐标系， Pz5 分由已知得：， ，(1,0)A(1,)B(,10)D， ， ，,F,3C,2P，12(,)E设平面 的法向量为 ，直线 与平面 所成角 ，D1(,)nxyzCBPD则 ，即 ， 0nPC11320z解得 ，令 ，则平面 的一个法向量为 ，7 分12yxz1PDC(2,01)n又 令直线 与平面 所成角为(,0)CBB则 ，23sinco,直线 与平面 所成角的正弦值为 . 8 分CBPD3(3) 9 分AE)2,1()2,(E设平面 的法向量为 ，直线 与平面 所成角 ，,zyxmCBPD则 ，即 0EDmB0)2()1()1(0zA
13、DOCPBEFxy令 ， ， 11 分1xy12z )12,(m设平面 的法向量为ABD),(zyxp5)12(,cos pm解得 13 分3118已知椭圆 的两焦点 （-1 ，0 ）和 （1，0 ） ， 为椭圆上一点，且C1F2P|221PF（1）求椭圆 的方程；（2）过 的直线与椭圆 相交于 两点，若 的面积为 ，求以 为1CBA,BF2162F圆心且与直线相切的圆的方程。（1 ）由已知得 ， 即 c|2211PFacc32b椭圆方程为 3 分34yx11 分解得 2431k16 05423k12 分0)75)(2k13 分3612r 3812yx）圆 的 方 程 为 （19已知 是数列
14、的前 项和， 且 ， ，数列 中，nSna1a14nnaS)(Nnb，且 )()1(1Nbbnn 。41（1 ）求数列 的通项公式；na（2 ）设 ，求 的前 项和 ；321nbcncnT（3 ）证明对一切 ， Niaii123)(解：（1） , 1 分 1n42两式相减得214naS11nnaS )(41nnaa2 分0na的奇数项和偶数项分别构成以 4 为公差的等差数列3 分当 时， =Nnk,12nank2412当 时， = k5 分)(an（2 ） 6 分nbn11)1()(1nbn)(1nn )12()2()(1 nbnn )2(21bbn3也适合 8 分3n1)(Nn错位相减得 1
15、0 分c2nnT2（3 ） 12 分14)14(3)14()(2 iiiiii=niaii12)(3 )1322nn= 14 分14n20已知函数 ()e,.xfkR，（1）若 ，试确定函数 的单调区间；k()f（2）若 ，且对于任意 ， 恒成立，试确定实数 的取值范围；0x)0fk（3）设函数 ，求证： ()(gxf21(12)(e)()ngN答案（1）当 时， ， 1 分ek)exexf令 ，得 2 分()0fx1.当 时， ；当 时， .()fx()0fx因此， 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 .4 分x1， (1)，（2）由 可知： 是偶函数于是， 对任意 恒成立等()(ff()fx0fxxR
