1、3.3导数在研究函数中的应用3.3.1函数的单调性与导数,1.函数的单调性与其导数正负的关系定义在区间(a,b)内的函数y=f(x),增,减,2.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地,设函数y=f(x),在区间(a,b)上,快,陡峭,慢,平缓,1.判一判(正确的打“”,错误的打“”)(1)函数f(x)在定义域上都有f(x)0,则函数f(x)在定义域上单调递增.()(2)函数在某一点的导数越大,函数在该点处的切线越“陡峭”.()(3)函数在某个区间上变化越快,函数在这个区间上导数的绝对值越大.(),【解析】(1)错误.如函数f(x)=- 在定义域上都有f(x)=0,但函数f(x)在定义域上
2、不是单调递增的.(2)错误.函数在某一点的导数的绝对值越大,函数在该点处的切线斜率的绝对值越大,切线越“陡峭”.(3)正确.函数变化越快,对应的导数的绝对值越大.答案:(1)(2)(3),2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)函数y=x3+x在(-,+)上的图象是(填“上升”或“下降”)的.(2)若f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)在R上为增函数,则a,b,c的关系式为.(3)函数y=x3+x2-5x-5的单调递增区间是.,【解析】(1)由于y=3x2+10对于任何实数恒成立,所以函数y=x3+x在(-,+)上是增函数,则图象是上升的.答案:上升,(2)因为f(x)=3ax2+2
3、bx+c0恒成立,则得a0,且b23ac.答案:a0,且b23ac,(3)令y=3x2+2x-50,得x1.答案：(-,- ),(1,+),【要点探究】知识点 函数的单调性与导数1.对函数的单调性与其导数正负的关系的三点说明(1)若在某区间上有有限个点使f(x)=0,在其余的点恒有f(x)0,则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似).(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a,b)都有f(x)0且在(a,b)内的任一非空子区间上f(x)不恒为0.,(3)特别地,在某个区间内如果f(x)=0,那么函数y=f(x)在这个区间内是常数函数.,2.利用导数研究函数单调性时应注意的三个问题(1
4、)定义域优先的原则:解决问题的过程只能在定义域内,通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间.(2)注意“临界点”和“间断点”:在对函数划分单调区间时,除了必须确定使导数等于零的点外,还要注意在定义域内的间断点.(3)单调区间的表示:如果一个函数的单调区间不止一个,这些单调区间之间不能用“”连接,而只能用“逗号”或“和”字等隔开.,【微思考】(1)函数y=f(x)是定义在R上的增函数,f(x)0是否一定成立?提示:不一定成立.例如,y=x3在R上是增函数,但其在0处的导数为零,故f(x)0是y=f(x)在某区间上是增函数的充分不必要条件.,(2)函数y=x2与y=x3在y=0的点是函数的临界点吗?
5、提示:因为函数y=x2的导数是y=2x,在y=0的点左边和右边导数符号不同,是函数单调递增与单调递减的临界点;而函数y=x3的导数是y=3x2,在y=0的点左边和右边导数符号相同,不是函数单调递增与单调递减的临界点.,【即时练】设f(x)在(a,b)内可导,则f(x)0是f(x)在(a,b)内单调递减的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】选A.由f(x)0能够推出f(x)在(a,b)内单调递减,但由f(x)在(a,b)内单调递减不能推出f(x)0.其中正确的是()A.B.C.D.(2)证明:f(x)=ex+ 在(0,+)上是增函数.,【解题探
6、究】1.题(1)中根据图象如何确定函数的定义域和值域?函数的单调性如何?2.利用导数证明函数在某区间上是增函数的关键是什么?【探究提示】1.根据图象在x轴上的投影对应的为定义域,在y轴上的投影对应的为值域,由于图象为上升的,故在-1,3和(3,5上为增函数.2.要证明函数在某区间上是增函数,只需证明f(x)0或f(x)0,但在任何区间上f(x)不恒为0.,【自主解答】(1)选A.由图可知f(x)的定义域为-1,3(3,5=-1,5,所以对.f(x)值域为(-,02,4,所以正确.f(x)在-1,3和(3,5上是增函数,但在定义域内不是增函数,所以错.由于函数y=f(x)在x=3时的导数不存在,
7、故错.故选A.(2)因为f(x)=ex+ ,所以f(x)=ex-e-x=e-x(e2x-1),当x(0,+)时,由指数函数的性质知e-x0,e2x1,所以f(x)0,因此函数f(x)=ex+ 在(0,+)上是增函数.,【方法技巧】利用导数证明或判断函数单调性的思路,【变式训练】函数y=xlnx在(0,5)上()A.是单调增函数B.是单调减函数C.在 上是减函数,在 上是增函数D.在 上是增函数,在 上是减函数,【解析】选C.由于y=ln x+x =ln x+1，令y0，解得x ，所以y=xln x在 上为增函数，同理可求在 上为减函数.,【补偿训练】求证:函数y=2x3+3x2-12x+1在区
8、间(-2,1)内是减函数.【解题指南】先求出函数的导数,然后判断导数在此区间上的符号即可.【证明】因为y=6x2+6x-12=6(x2+x-2)=6(x-1)(x+2),当x(-2,1)即-2x1时,y0得x1,所以函数f(x)的单调递增区间为(1,+).故选D.,(2)y=令 0，解得x1或x-1.所以y=x+ 的单调增区间是(-，-1)和(1，+).令 0，解得-1x0或0x1.所以y=x+ 的单调减区间是(-1，0)和(0，1).,【方法技巧】求函数y=f(x)单调区间的步骤(1)确定函数y=f(x)的定义域.(2)求导数y=f(x).(3)解不等式f(x)0,解集在定义域内的部分为增区
9、间.(4)解不等式f(x)0得0x1,所以函数f(x)=lnx-x的单调递增区间是(0,1).,【补偿训练】(2014株洲高二检测)函数f(x)= x3- x2-6x+1在区间(-2,2)上()A.单调递增B.单调递减C.先单调递增后单调递减D.先单调递减后单调递增,【解析】选B.求导函数得:f(x)=x2-x-6,令f(x)0,可得x2-x-60,所以-2x0.令f(x)=0,则x= 因为在(-3,-1)上函数不单调,所以-3 -1,即3k27.答案:3k27,(2)函数求导得f(x)=x2-ax+a-1=(x-1)x-(a-1),令f(x)=0得x=1或x=a-1,因为函数在区间(1,4)
10、内为减函数,所以当x(1,4)时,f(x)0,又因为函数在区间(6,+)上为增函数,所以当x(6,+)时,f(x)0,所以4a-16,所以5a7.即实数a的取值范围为5,7.,【延伸探究】将题(1)改为“在区间R上单调”，则实数k的取值范围是_.【解析】由f(x)=3x2-k，显然不存在实数k使f(x)0(或f(x)g(-2),所以xx2+2009的解集为(-,-2).故选C.,(2)记F(x)=sin x x，则F(x)=cos x 当x 时，F(x)=cos x cos =0，则F(x)=sin x x在x 上是增函数，所以F(x)F(0)=0；当x 时，F(x)=cos x =0，则F(
11、x)=sin x x在x 上是减函数，,所以F(x)F(1)=sin 1 sin =0,故当x0,1时，F(x)0，即sin x x；记H(x)=sin xx，则当x(0,1)时，H(x)=cos x12时，不等式ax+x2+ x3+2(x+2)cos x4不恒成立由可知，sin ,则当x0,1时，ax+x2+ x3+2(x+2)cos x4=ax+x2+ x3+2(x+2)(12sin2 )4=(a+2)x+x2+ x34(x+2)sin2 (a+2)x+x2+ x34(x+2)( )2=(a+2)xx2 x3(a+2)x x2,所以存在x00,1(例如，x0取 和 中较小者)满足ax+x2
12、+ x3+2(x+2)cos x40,即当a2时，不等式ax+x2+ x3+2(x+2)cos x4不恒成立综上，实数a的取值范围为(,2.,【方法技巧】利用导数证明不等式的解题技巧(1)构造辅助函数,把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值.(2)证明f(x)g(x),x(a,b),等价转换为证明f(x)-g(x)0,x(a,b).如果(f(x)-g(x)0,说明函数f(x)-g(x)在(a,b)上是增函数;如果f(a)-g(a)0,由增函数的定义可知,当x(a,b)时,f(x)-g(x)0,即f(x)g(x).,【易错误区】误用函数单调递增(减)的充要条件致误【典例】已知函数f
13、(x)= 在(-2,+)内单调递减，则实数a的取值范围为_.,【解析】因为f(x)= ,所以f(x)=由函数f(x)在(-2,+)内单调递减知f(x)0在(-2,+)内恒成立，即 0在(-2,+)内恒成立，因此a .当a= 时,f(x)= ,此时函数f(x)为常数函数,故a= 不符合题意舍去.所以a的取值范围为a .故实数a的取值范围为(-, ).答案:(-, ),【常见误区】,【防范措施】函数单调性与导数正负函数f(x)在区间D上单调递增(或递减)的充要条件是f(x)0(或f(x)0)且f(x)在区间D任一子区间上不恒为零.本例中利用f(x)0构造关于参数a的不等式,求得a的范围,再验证等号成立时,f(x)是否符合要求.,【类题试解】已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在(-,+)上是单调函数,则实数a的取值范围是()A.(-,- ,+)B.- , C.(-,- )( ,+)D.(- , )【解析】选B.f(x)=-3x2+2ax-10在(-,+)上恒成立且不恒为0,=4a2-120- a .,
