1、第2课时导数的运算法则,导数的运算法则,f(x)g(x),f(x)g(x)+f(x)g(x),1.判一判(正确的打“”,错误的打“”)(1)若f(x)=a2+2ax+x2,则f(a)=2a+2x.()(2)运用法则求导时,不用考虑f(x),g(x)是否存在.()(3)f(x)g(x)=f(x)g(x).(),【解析】(1)错误.求导是对自变量的求导,需分清表达式中的自变量是哪一个,本题中是x,故f(x)=2x+2a.而f(a)=4a.(2)错误.运用法则求导时,f(x),g(x)必须都存在,否则求导无意义.(3)错误.由公式知f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x).故错误.答案:
2、(1)(2)(3),2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若f(x)=sinx-cosx,则f(x)等于.(2)若f(x)是函数f(x)= 的导数,则f(2)=.(3)函数f(x)=ex+xsinx-7x在x=0处的导数等于.,【解析】(1)f(x)=(sinx)-(cosx)=cosx+sinx.答案:cosx+sinx(2)f(x)= 故f(2)=-1.答案:-1(3)因为f(x)=ex+sinx+xcosx-7,所以f(0)=1+0+0-7=-6.答案:-6,【要点探究】知识点 导数的运算法则1.对导数的运算法则的四点说明(1)对于运算法则不要求推导,只要能熟练运用法则求简单函数的
3、导数即可.(2)对于积与商的导数运算法则,应避免出现“积的导数就是导数的积,商的导数就是导数的商”这类想当然的错误.应特别注意积与商中符号的异同,积的导数法则中是“+”,商的导数法则中分子上是“-”.,(3)用求导公式和加减法法则,可以简化运算过程,降低运算难度.(4)解决函数求导的问题,应先分析所给函数的结构特点,选择正确的公式和法则,对较为复杂的求导运算,在求导之前应先将函数化简,然后求导,以减少运算量.,2.导数运算法则的推广(1)导数的和(差)运算法则对三个或三个以上的函数求导仍然成立.两个函数和(差)的导数运算法则可以推广到有限个函数的情况,即f1(x)f2(x)f3(x)fn(x)
4、=f1(x)f2(x)f3(x)fn(x).(2)积的导数公式的拓展.若y=f1(x)f2(x)fn(x),则有y=f1(x)f2(x)fn(x)+f1(x)f2(x)fn(x)+f1(x)f2(x)fn(x).,【微思考】(1)利用导数的运算法则，试推导y=tan x的导数是什么？提示：由y=tan x= 可得y=(tan x)=(2)导数运算法则中的函数可否换为常数？提示：可以例如,若y=f(x)c，则y=f(x)；若y=af(x)，则y=af(x)；,【即时练】函数y=x2cosx+9的导数为()A.y=x2cosx-2xsinx B.y=2xcosx-x2sinxC.y=2xcosx+
5、x2sinx D.y=xcosx-x2sinx【解析】选B.因为函数y=x2cosx+9,所以y=2xcosx-x2sinx.,【题型示范】类型一 利用导数运算法则求函数的导数【典例1】(1)下列运算正确的是()A.(ax2-bx+c)=a(x2)+b(-x)B.(sinx-2x2)=(sinx)-(2)(x2)C.(cosxlnx)=(cosx)lnx-(lnx)cosxD.(3+x2)(2-x3)=2x(2-x3)+3x2(3+x2),(2)已知函数f(x)= 则f(1)=_(3)求下列函数的导数yx2sin x；y【解题探究】1.题(1)中利用什么法则判断运算的正确性？2.题(2)中 的
6、导数是什么?3.对于(3)的函数y= 可以作如何变形？,【探究提示】1.利用函数的和差积商的导数运算法则，逐个判断即可2. 是一个常数，它的导数为0，不要误认为它的导数是3.可将 变形为,【自主解答】(1)选A.因为(ax2-bx+c)=a(x2)+b(-x)+c=a(x2)+b(-x),故A正确;(sinx-2x2)=(sinx)-(2x2)=(sinx)-2(x2),故B错误;(cosxlnx)=(cosx)lnx+(lnx)cosx(cosx)lnx -(lnx)cosx,故C错误;(3+x2)(2-x3)=2x(2-x3)-3x2(3+x2)2x(2-x3)+3x2(3+x2),故D错
7、误.故选A.,(2)因为f(x)0+ +2xln 2，所以f(1) +2ln 2答案： +2ln 2,(3)y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x方法一：y方法二：因为所以y1 ，即,【方法技巧】利用导数运算法则求函数的导数的两个策略(1)熟记公式:熟练掌握简单函数的导数公式及函数的和、差、积、商的导数运算法则.(2)灵活化简:当函数式比较复杂时,要将函数形式进行化简,化简的原则是将函数拆分成简单函数的四则运算形式,由于在导数的四则运算公式中,和与差的求导法则较为简单,因此化简时尽可能转化为和、差的形式,尽量少用积、商求导.,【变式训练】(2014绵阳高二检测)已知
8、f(x)=xsinx,则f()=()A.0 B.-1 C. D.-【解析】选D.因为f(x)=sinx+xcosx,所以f()=sin+cos=-.故选D.【误区警示】遇到常数求导时,其导数为零,不要出现把常数当作函数求导的错误.,【补偿训练】若f(x) ，则函数f(x)可以是( )【解析】选A所以f(x) 满足f(x) 故选A,类型二 导数运算法则的应用【典例2】(1)已知直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b切于点(1,3),则b的值为()A.3 B.-3 C.5 D.-5(2)已知函数f(x)=x3+x-16,求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程;若直线l为曲线y=f(x)
9、的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标.,【解题探究】1.题(1)中由直线与曲线切于点(1,3)能得出哪些条件?2.题(2)中的点(2,-6)是不是切点?【探究提示】1.能得出三个条件,分别是点(1,3)既在直线上,又在曲线上,另外还有一个是曲线在x=1处的导数为直线的斜率k.2.将点(2,-6)的坐标代入曲线方程知(2,-6)是切点.,【自主解答】(1)选A.因为y=3x2+a,所以k=y|x=1=3+a.又点(1,3)为切点,所以 解得b=3.故选A.,(2)因为f(2)=23+2-16=-6,所以点(2,-6)在曲线上.又f(x)=(x3+x-16)=3x2+1,所以在点(2,-6
10、)处的切线的斜率为k=f(2)=322+1=13.所以切线的方程为y=13(x-2)+(-6),即y=13x-32.方法一:设切点为(x0,y0),则直线l的斜率为f(x0)=3x02+1,所以直线l的方程为:y=(3x02+1)(x-x0)+x03+x0-16.,又因为直线l过点(0,0),所以0=(3x02+1)(-x0)+x03+x0-16,整理得x03=-8,所以x0=-2,y0=(-2)3+(-2)-16=-26,所以k=3(-2)2+1=13,所以直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).,方法二:设直线l的方程为y=kx,切点为(x0,y0),则k= 又因为k=f(x
11、0)=3x02+1,所以 =3x02+1,解得x0=-2,所以y0=(-2)3+(-2)-16=-26,k=3(-2)2+1=13.所以直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).,【延伸探究】若将题(2)中的“直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点”改为“曲线y=f(x)的某一切线l与直线y=- x+3垂直”,结果如何?【解析】因为切线l与直线y=- +3垂直,所以斜率k=4,所以设切点为(x0,y0),则f(x0)=3x02+1=4,所以x0=1,所以 或,即切点坐标为(1,-14)或(-1,-18).切线方程为y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18.即y=4x-18
12、或y=4x-14.,【方法技巧】1.利用导数运算法则解决与切线相关问题的两个方法(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素.其他的条件可以进行转化,从而转化为这三个要素间的关系.(2)准确求出已知函数式的导数、切线方程是解决此类问题的关键.,2.常见的两个问题(1)已知点是否在曲线上,求在某点处的切线方程,还是过某点的切线方程,两种情况一定要分清楚.(2)如果曲线在P(x0,y0)处导数不存在,那么切线不一定不存在,也可能切线垂直于x轴,此种情况可运用数形结合来进行判断.,3.关于导数运算法则的应用的解题策略导数运算法则的综合应用往往涉及抽象函数、不等式的解法、不等式的证明
13、等,其核心仍是导数运算,因此需利用导数知识结合导数的运算法则进行转化,再结合其他的知识求解.,【变式训练】(2014南昌高二检测)若点P是曲线yx2ln x上任意一点，则点P到直线yx2的最小距离为( ),【解析】选B过点P作yx2的平行直线，且与曲线yx2ln x相切设P(x0，x02ln x0),则有所以所以x01或x0 (舍去)，所以P(1，1)，所以,【补偿训练】(2014盐城高二检测)偶函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P(0,1),且在x=1处的切线方程为y=x-2,求y=f(x)的解析式.【解析】因为f(x)的图象过点P(0,1),所以e=1. 又因为f(x
14、)为偶函数,所以f(-x)=f(x).故ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-dx+e.所以b=0,d=0. ,所以f(x)=ax4+cx2+1.因为函数f(x)在x=1处的切线方程为y=x-2,所以可得切点为(1,-1),所以a+c+1=-1. 因为f(1)=(4ax3+2cx)|x=1=4a+2c,所以4a+2c=1. 由联立得a= ,c=- ,所以函数y=f(x)的解析式为f(x)= x4- x2+1.,【易错误区】不能正确应用导数的运算法则致误【典例】设函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(a,b,c是互不相等的常数)，则 等于( )A.0 B.1 C.3
15、D.a+b+c,【解析】选A.根据题意,由于函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-c),则可知f(x)=(x-b)(x-c)+(x-a)(x-b)(x-c),所以f(a)=(a-b)(a-c),同理可知f(b)=(b-a)(b-c),f(c)=(c-a)(c-b),那么可知,【常见误区】,【防范措施】1.熟记导数运算法则求函数的导数,必须熟记导数的运算法则,要注意积的导数和商的导数形式,不要把求导法则弄错.例如,本例可利用积的导数运算法则求,但要注意应用准确.2.求导时常用的技巧利用导数的四则运算求导时,应先把原式进行恒等变形再进行化简或变形,如把乘法转化为加减法,把商的形式化成和差的形式,这样容易化简计算.,【类题试解】已知f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)+6,则f(0)=.【解析】因为f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)+6,所以f(x)=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)+x(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)+x(x+1)(x+3)(x+4)(x+5)+x(x+1)(x+2)(x+4)(x+5)+x(x+1)(x+2)(x+3)(x+5)+x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4),所以f(0)=12345=120.答案:120,
