1、2016 届吉林省长春市普通高中高三质量监测（二）数学（理）试题一、选择题1复数 ， 在复平面内对应的点关于直线 对称，且 ，则1z2 yx132zi（ ）2A B C D 3i31i13ii【答案】D【解析】试题分析：复数 在复平面内关于直线 对称的点表示的复数1zyx，23zi ，故选 D1()23i【考点】复数的运算2若实数 ， 且 ，则下列不等式恒成立的是（ ）abRA B C D 212ablg()0ab【答案】C【解析】试题分析：根据函数的图象与不等式的性质可知：当 时， 为正2ab确选项，故选 C【考点】不等式的性质3设集合 ， ，则 （ ）2|30Ax|2BxABA |B |2
2、xC |0D |3x【答案】C【解析】试题分析：由题意可知 ，则 ，|03Ax|2Bx，故选 C|02ABx【考点】集合的关系4设等差数列 的前 项和为 ， 且 ，当 取最大值时， 的值nanS10a6591nSn为（ ）A B C D9102【答案】B【解析】试题分析：由题意，不妨设 ， ，则公差 ，其中 ，69at51t2dt0t因此 ， ，即当 时， 取得最大值，故选 B10at1t10nnS【考点】等差数列的通项公式及其前 项和5几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B C D322163408163【答案】C【解析】试题分析：该几何体可视为长方体挖去一个四棱锥，其体积为，
3、故选 C402423【考点】空间几何体体积计算6已知变量 服从正态分布 ，下列概率与 相等的是（ ）X(2)N， (0)PXA (2)PB 4C (0)XD 1P【答案】B【解析】试题分析： 由变量 服从正态分布 可知， 为其密度曲线的对X(2,4)N2x称轴，因此 ，故选 B(0)(4)【考点】正态分布的性质7函数 与 的图象关于直线 对称，则 可能是sin(2)3yx2cos()3yxxa（ ）A B C D41814【答案】A【解析】试题分析：由题意，设两个函数关于 对称，则函数 关xasin(2)3yx于 的对称函数为 ，利用诱导公式将其化为余弦表达式为xasin(2)3ya，令5co
4、s(2)co4)36yxx，则 ，故选 As()2【考点】三角函数的图象和性质8已知 为圆 的直径，点 为直线 上任意一点，AB:O2(1)xyP10xy则 的最小值为（ ）PA B C D 122【答案】A【解析】试题分析：由题意得，设 ， ，则(1cos,in)A(,1)Px，(1cos,in) ， ，,si)PAx (cs,i)PBx (c(1cosin1)(n1Bx ，当且仅当 时，等号成立，故222(1)os)inxx0x选 A【考点】1圆的标准方程；2平面向量数量积及其运用9已知函数 满足 ，当 时， ，当()fx()2)fx(,12()fx时， ，若定义在 上的函数(1,0x(1
5、)ff ,3)有三个不同的零点，则实数 的取值范围是（ ）)()gftxtA B1(0,2,)2C D,67)(0,67【答案】D【解析】试题分析：当 时， ，(1,x(0,1x，即 在 上的解析式为22()fxf )f(,x，又 ， 的图象关于 点对2(1,0()xf()2)fx()fx(1,)称，可将函数 在 上的大致图象如下图所示，令()fx(,3)，而 表示过定点 斜率为 的直线，由图()01gxt(1)ytx(1,0)t可知为其临界位置，当 时， ，联立 ，,2)x2f 2(1)yx并令 ，可求得 ，因此直线的斜率 的取值范围是 ，故选067tt(0,67)DO x-1 1 2 31
6、2【考点】1 函数与方程；2数形结合的数学思想10小明试图将一箱中的 24瓶啤酒全部取出，每次小明在取出啤酒时只能取出三瓶或四瓶啤酒，那么小明取出啤酒的方式共有（ ）种A B C D1873721【答案】C【解析】试题分析：由题可知，取出酒瓶的方式有 3类，第一类：取 6次，每次取出4瓶，只有 1种方式；第二类：取 8次，每次取出 3瓶，只有 1种方式；第三类：取7次，3 次 4瓶和 4次 3瓶，取法为 ，为 35种；共计 37种取法，故选 C37【考点】排列组合11过双曲线 的右支上一点 ，分别向圆 和圆215yxP21:(4)Cxy2:作切线，切点分别为 ， ，则 的最小值为（ ）2(4)
7、xMN22|PNA B C D103169【答案】B【解析】试题分析：由题可知， ，22221|(|4)(|1)PC因此 2221 212|3|3PMNPC ，故选 B122(|)3|CC【考点】圆锥曲线综合题二、填空题12已知实数 ， 满足 ，则 的最小值为_xy204xy2yx【答案】 1【解析】试题分析：根据不等式组获得可行域如下图，令 ，可化为2zyx，因此当直线过点 时， 取得最小值为 ，故填： 2yxz(1,3)z1【考点】线性规划13已知向量 ， ，则当 时， 的取值范(13)a， 2(0,1)bt3,2t|bat围是_【答案】 ,【解析】试题分析：由题意， 为 ，根据向量的差的
8、几何意义， 表示|b(0,1) |bat向量终点到 终点的距离，当 时，该距离取得最小值为 ，当 时，|bta3t13t根据余弦定理，可算得该距离取得最大值为 ，即 的取值范围是 ，1|bat,1故填： 1,3【考点】平面向量的线性运算14已知 ， 展开式的常数项为 15，则0a6()x_22(4axd【答案】 3【解析】试题分析：由 的常数项为 ，可得 ，因此原式为6()ax4615Ca1a1 111222222000(4)(4)(4)xxdxdxxd，故填： 3333【考点】1二项式定理；2定积分的计算15已知数列 中，对任意的 ，若满足 （ 为常na*nN123nnaas数） ，则称该数
9、列为 阶等和数列，其中 为 阶公和；若满足 （ 为4s412nt常数） ，则称该数列为 阶等积数列，其中 为 阶公积，已知数列 为首项为 的3t3p阶等和数列，且满足 ；数列 为公积为 的 阶等积数列，且43421pnq13，设 为数列 的前 项和，则 _12qnSnq 2016S【答案】 50【解析】试题分析：由题意可知， ， ， ， ， ，1p234p851p， ， ， ， ， ， ， ，62p748p901123又 是 4阶等和数列，因此该数列将会照此规律循环下去，同理， ，n 1q， ， ， ， ， ， ， ，21q341q56q789， ， ， ，又 是 3阶等积数列，因此该023n
10、q数列将会照此规律循环下去，由此可知对于数列 ，每 12项的和循环一次，易p求出 ，因此 中有 168组循环结构，故1212.5pqpq2016S，故填： 206580S【考点】1新定义问题；2数列求和三、解答题16已知函数 2()2sinco3sfxxx（1）求函数 的最小正周期和单调减区间；（2）已知 的三个内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，其中 ，若锐ABCABCabc7a角 满足 ，且 ，求 的面积()36f13sin4ABC【答案】 （1）最小正周期： ，单调递减区间： ；（2）,21k()kZ103【解析】试题分析：（1）对 的表达式进行三角恒等变形，再利用三角函数的性()fx
11、质即可求解；（2）首先求得 的值，再结合正余弦定理列出相应的式子，即可求解A试题解析：（1） 2()2sinco3ssin23cosf xx，sin(3x因此 的最小正周期为 ， 的单调递减区间为)f 2T()fx，32kxk即 ；（2） 由7,1()Z，()sin(2sin32663AAf A又 为锐角， ，由正弦定理可得 ，7142sin32aR，13sin24bcBCR则 ，由余弦定理可知，c，2222()1osbabcaA可求得 ，故 40c1sin03ABCS【考点】1三角恒等变形；2正余弦定理解三角形17近年来我国电子商务行业迎来篷布发展的新机遇，2015 年双 11期间，某购物平
12、台的销售业绩高达 918亿人民币与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系现从评价系统中选出 200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为 06，对服务的好评率为 075，其中对商品和服务都做出好评的交易为 80次（1）是否可以在犯错误概率不超过 01%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的 5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量 ：X求对商品和服务全好评的次数 的分布列（概率用组合数算式表示） ；求 X的数学期望和方差2()0.15.0.5.20.1.50.17263841637892PKk（ ，其中 ）22
13、()(nadbcKnabcd【答案】 （1）可以；（2）详见解析【解析】试题分析：（1）得到对应的列联表，根据条件中给出的数据以及公式计算相应的值，比较大小即可判断；（2）计算离散型随机变量 取到各个可能值时对应的X概率，列出分布列后即可求解试题解析：由题意可得关于商品和服务评价的 列联表：2对服务好评 对服务不满意 合计对商品好评 80 40 120对商品不满意 70 10 80合计 150 50 200，220(81407)1.0.825K可以在犯错误概率不超过 01%的前提下，认为商品好评与服务好评有关；（2）每次购物时，对商品和服务都好评的概率为 ，且 的取值可以是 0，1，2，3，4
14、，5， 5X其中 ； ； ；53()(PX143)()PXC()()PC； ； ，25C152( 5的分布列为：0 1 2 3 4 5P53()4()5()25()C153()2()由于 ，则 ， 2(5,)XB2EX6(1)DX【考点】1独立性检验；2离散型随机变量的概率分布与期望和方差18在四棱锥 中，底面 是菱形， 平面 ，点 为棱PACABPABCD1的中点，过 作与平面 平行的平面与棱 ， ， 相交于 ，D1， ， 1B60（1）证明： 为 的中点；1BP（2）若 ，且二面角 的大小为 ， ， 的交点为 ，连2A1ABC60ACBDO接 ，求三棱锥 外接球的体积1O1O【答案】 （1
15、）详见解析；（2） 2548【解析】试题分析：（1）根据已知条件中面 面 ，再利用面面平行/ABCD1的性质可知 ，从而得证；（2）根据题意可以建立空间直角坐标系，根据二1/BD面角 的大小可求出 的长度，进而进一步通过补形确定外接球的球心与1AC1O半径试题解析：（1）连接 ，面 面 ，面 面 ，1/ABCD1PBDACB面 面 ， ，即 为 的中位线， 为PBD11中点；（2）以 为原点， 方向为 轴， 方向为 轴， 方向为 轴，OxOy1z建立空间直角坐标系 ， 则 ， ， ，xyz(3,0)A(,0)B(,)t，从而 ， ，则 ，又(3,0)C(3,0)APt1B13nt，21n ，则
16、 ，由题可知， ，1212 2| 1cos, 93nt32tOAB， ，1OAB1即三棱锥 外接球为以 ， ， 为长、宽、高的长方体外接球，则该OAB1长方体的体对角线长为 ，即外接球半径为 ，则三棱锥2351()d54外接球的体积为 1BAO3341248VR【考点】1面面平行的性质；2二面角的求解；3空间向量在立体几何中的运用19椭圆 的左右焦点分别为 ， ，且离心率为 ，点 为21(0)xyab1F212P椭圆上一动点， 内切圆面积的最大值为 12FP3（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左顶点为 ，过右焦点 的直线 与椭圆相交于 ， 两点，连结1A2FlAB， 并延长交直线 分别于 ，
17、两点，以 为直径的圆是否恒过定点？1AB4xPQ若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由【答案】 （1） ；（2）详见解析2143y【解析】试题分析：（1）分析题意可知点 为短轴端点时 取到最大值，再根据P12FPS条件中数据求出 ， ， 的值即可；（2）设直线 的方程为 ，abcABxty， ，再将以 为直径的圆的方程表示出来，说明其方程上有点的1(,)Axy2(,)BQ坐标与 的取值无关即可t试题解析：（1） 已知椭圆的离心率为 ，不妨设 ， ，即 ，其中12ct2at3bt，又 内切圆面积取最大值 时，半径取最大值为 ，由0t12FP3r，由 为定值，因此 也取得最大值，即点 为短轴端点，1212PrSC12FP12FPSP因此 ， ，解得 ，()cbac3(4)tt1t则椭圆的方程为 ；（2）设直线 的方程为 ， ，2143xyABxty1(,)Axy
