1、 长春市普通高中 2018 届高三质量监测（三） 数学理科一、选择题（本大题包括 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设集合 |1Ax， |(3)0Bx，则 AB李国波录A. (,0) B. ,1 C. (1,3) D. (1,3) 2. 若复数 iz，则 |zA. 1 B. C. 2 D. 23.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外” ，其中的“筹”原意是指孙子算经中记载的算筹.古代用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行计算，算筹的摆放形式有横纵两种形式（如图所示） ，表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个
2、数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推.例如3266 用算筹表示就是 ，则 8771 用算筹可表示为A. B. C. D. 4. 函数 2tan()1xfx的部分图象大致为5. 将函数 ()sin2)3fx的图象向右平移 a个单位得到函数 ()cos2gx的图象,则 a的值可以为A. 12 B. 51 C. 12 D. 1726.如图所示的程序框图是为了求出满足 8n的最小偶数 n,那么空白框中的语句及最后输出的 n值分别是中国古代的算筹数码1 2 3 4 5 6 7 8 9纵式横式A. 1n和 6 B. 2n
3、和 6 C. 1n和 8 D. 2n和 87. 本不同的书摆放在书架的同一层上,要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（ ）种A. 24 B. 3 C. 48 D. 60 8. 某几何体的三视图如图所示（单位： cm） ，则该几何体的体积（单位： 3cm）是A. 43 B. 103 C. 23 D. 839. 已知 ABC的内角 ,的对边分别为 ,abc，若 oscosBaCA， 2b，则面积的最大值是A. 1 B. 3C. 2 D. 410.已知边长为 2的等边三角形 ， D为 BC的中点，以 AD为折痕，将 折成直二面角，则过,ABD四点的球的表面积为A.
4、 B. C. D. 511. 已知双曲线21xym的左右两个焦点分别为 1F和 2，若其右支上存在一点 P满足 12F，使得 12PF的面积为 3，则该双曲线的离心率为A. 5 B. 72 C. 2 D. 312. 已知定义域为 R的函数 ()fx的图象经过点 (1,)，且对 xR，都有 ()2fx，则不等式22(log|31|)log|31|xxf的解集为A. 0, B. (,0)(, C. (,) D. (,0),3 二 、 填 空 题 (本 大 题 包 括 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 20 分 ， 把 正 确 答 案 填 在 答 题 卡 中 的 横 线 上 ).主视图侧视
5、图正视图22421是否28A开始 输出结束输入 0n2n13. 设实数 ,xy满足约束条件045yx，则 2zxy的最大值为_.14. 已知 、 取值如下表： 016.3.74ym画散点图分析可知： y与 x线性相关，且求得回归方程为 1yx，则 m的值为_.（精确到0.1）15.已知函数 21(),0logxf，若 ()2fa，则实数 a的取值范围是_.16. 已知腰长为 的等腰直角 ABC中， M为斜边 AB的中点，点 P为该平面内一动点，若 |2PC，则 (4)()PABP的最小值 _.三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考
6、生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分.17.（本小题满分 12 分）已知数列 na的前 项和为 nS，且 2n，在正项等比数列 nb中， 245,ab.（1）求 和 nb的通项公式；（2）设 nc，求数列 nc的前 项和 nT.18. （本小题满分 12 分）树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占 80%.现从参与调查的人群中随机选出 20人，并将这 20人按年龄分组
7、：第 1 组 5,2)，第 2 组 5,3)，第 3 组 5,4)，第 4 组 5,)，第 5 组 ,6，得到的频率分布直方图如图所示(1) 求 a的值(2)现在要从年龄较小的第 1,2,3 组中用分层抽样的方法抽取 12人，再从这 12人中随机抽取 3人进行问卷调查，求在第 1 组已被抽到 人的前提下，第 3 组被抽到 人的概率；（3）若从所有参与调查的人中任意选出 人，记关注“生态文明”的人数为 X，求 的分布列与期望.a0.0300.0150.010频率/组距15 25 35 45 55 65 年龄（岁）O19. （本小题满分 12 分）在如图所示的几何体中，四边形 ABCD是正方形，
8、PA平面 BCD， ,EF分别是线段 ,ADPB的中点， 1PAB.（1）求证： EF平面 DCP；（2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.20. （本小题满分 12 分）在平面直角坐标系中，已知圆 1的方程为 2(1)9xy，圆 2C的方程为 2(1)xy，动圆C与圆 1内切且与圆 2外切.(1)求动圆圆心 的轨迹 E的方程；(2)已知 (,0)P与 (,)Q为平面内的两个定点，过 (1,0)点的直线 l与轨迹 E交于 A, B两点，求四边形AB面积的最大值.21. （本小题满分 12 分）已知函数 2()45xafxe.（1）若 在 R上是单调递增函数，求 的取值范围；（2）设 g()
9、()xef，当 1m时，若 12g()g()xm，其中 12x，求证：1xm.（二）选考题：共 10 分.请考生在 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程选讲.在直角坐标系 xOy中，以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 1C：4cos(0)2， C： cos3.（1）求 1C与 的交点的极坐标；（2）设点 Q在 1C上， 23OQP，求动点 的极坐标方程.23.（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲.已知函数 ()|3|,fxxmR.(1)当 2m时，求不等式 ()f 的解集；PE
10、DBA(2) 对于 (,0)x，都有 2()fx恒成立，求 m的取值范围.长春市普通高中 2018 届高三质量监测（三）数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1. C【命题意图】本题考查集合的运算 . 【试题解析】C |1,|03,(1,3)AxBxAB.故选 C. 2. A【命题意图】本题考查复数 . 【试题解析】A ,|zi.故选 A. 3. C【命题意图】本 题 考 查 中 华 传 统 文 化 中 的 数 学 问 题 .【试题解析】C 由算筹含义 . 故选 C. 4. D【命题意图】本题主要考查函数的图象及性质 .【试题解析】D
11、 由函数是偶函数，排除 A，C，当 (0,)2x， tan0x.故选 D.5.C【命题意图】本 题 考 查 三 角 函 数 的 相 关 知 识 .【试题解析】C 由题意知， ,12akZ.故选 C.6. D【命题意图】本题主要考查算法的相关知识 . 【试题解析】D 根据程序框图 .故选 D 7. A【命题意图】本题考查计数原理的应用 .【试题解析】A 由题意知 234A.故选 A. 8. B【命题意图】本 题 主 要 考 查 三 视 图 问 题 . 【试题解析】B 由题意可知该几何体为正三棱柱去掉一个小三棱锥， 104323V.故选 B. 9. B【命题意图】本题主要考查解三角形的相关知识 .
12、 【试题解析】B 由题意知 60B，由余弦定理， 2ac，故 24acac，有 4ac，故 1sin32ABCSac.故选 B. 10. D【命题意图】本 题 主 要 考 查 球 的 相 关 问 题 . 【试题解析】D 折后的图形可放到一个长方体中，其体对角线长为 1+3=5， 故其外接球的半径为 52，其表面积为 5.故选 D. 11. B【命题意图】本题考查双曲线的相关知识 . 【试题解析】B 由双曲线可知 1223,4PFSm，从而 72e.故选 B. 12. B【命题意图】本题是考查导数在研究函数单调性上的应用. 【试题解析】B 令 ()xfx，有 ()0fx，所以 ()Fx在定义域内
13、单调递增，由 1)(f，得 3F，因为 22log|1|)log|31|f 等价于22log|3|log|1|xx，令 3xt，有 (ft，则有 t，即，从而 0|x，解得 ,且 0. 故选 B.二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13. 9【命题意图】本题考查线性规划问题.【试题解析】由可行域可确定目标函数在 (1,4)处取最大值 9.14. 1.7【命题意图】本题考查回归方程的相关知识. 【试题解析】将 3.2x代入回归方程为 yx可得 4.2y，则 6.7m，解得 .65m，即精确到 0.1 后 m的值约 .7. 15. (,4,)【命题意图】本题考查分段函数的
14、相关知识.【试题解析】当 10,(,2x，当 20,log,x，故 (,14,). 16. 832【命题意图】本题考查平面向量的相关知识. 【试题解析】由题意可知其最小值为 483.三、解答题17.(本小题满分 12 分)【命题意图】本题考查数列的基本方法及数列求和. 【试题解析】解：（1） Q2nS， 令 1n， 0a12nnaS， 又 数列 nb为等比， 2， 458b24bq，又各项均为正 q， 1n（2）由（1）得： 1nnc2302nnTL2312nL34 1n2 1nn11224n4nnT18.(本小题满分 12 分)【命题意图】本小题主要考查学生对频率分布直方图的理解以及分布列的
15、相关知识. 【试题解析】解：（1）由 10.015.30.1a，得 0.35a，（2）第 1，2，3 组的人数分别为 20 人，30 人，70 人，从第 1，2，3 组中用分层抽样的方法抽取 12人，则第 1，2，3 组抽取的人数分别为 2 人，3 人，7 人. 设 从 12 人 中 随 机 抽 取 3 人 ， 第 1 组 已 被 抽 到 1 人 为 事 件 A， 第 3 组 抽 到 2 人 为 事 件 B， 则27120203| .()5CPAB（3）从所有参与调查的人中任意选出 1 人，关注“生态文明”的概率为 4,5X的可能取值为 0，1，2，3. 03(1)5PC， 12341()55
16、PXC213482， 6所以 X的分布列为 03P1254812564(3,)XB， 3.EXnp 19. (本小题满分 12 分)【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识. 本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.【试题解析】答案：（1）取 PC中点 M，连接 FD,FM,分别是 B,中点， CBF21,/，E为 DA中点， 为矩形， E，E,/， 四边形 为平行四边形平面 PDC， 平面 PD， /F平面 RDC（2） P平面 B，且四边形 AB是正方形， APB,两两垂直，以 A为原点， ， 所在直线为 zyx,轴，建立空间直角坐标系 xyz则 ,011,
17、0, 1()(,0)2F设平面 EFC法向量为 nz， 2E， 1(,)2FC则 01， 即 021zyx，取 ,31n则设平面 PD法向量为 (,)n， (,)PD， (1,)P则 02nC， 即 0zyx， 取 12n1213157cos, 4|4.平面 EF与平面 PD所成锐二面角的余弦值为 1. 20.(本小题满分 12 分)【命题意图】本小题考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系，考查学生的逻 辑思维能力和运算求解能力.【试题解析】解：(1)设动圆 C的半径为 r，由题意知 12|3,|1Crr从而有 12|4C，故轨迹 E为以 12,为焦点，长轴长为 4 的椭圆，并去 除点 (,
18、0)，从而轨迹 的方程为 ()43xyx.（2）设 l的方程为 1xmy，联立21xy，消去 x得 2(34)690，设点 2(,)(,)ABxy，有 1212,34yy则221()| 34m，点 (2,0)P到直线 l的距离为 231m，点 (,0)Q到直线 l的距离为 21m，从而四边形 ABQ的面积 224341S令 21,tmt，有 2431tt，函数 yt在 1,)上单调递增，有 34t，故 26tSt，即四边形 APBQ面积的最大值为 6.21.(本小题满分 12 分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析
19、】解：（1） Qfx的定义域为 xR且单调递增，在 xR上， ()240afe恒成立，即： (42)xae设 ()4xhe R ， ()2)xhe， 当 ,1时 ， x在 ,1上为增函数，当 x时 ()， 在 上为减函数，ma()2Qmax(4)ae， ，即 2,)ae . （2） 25xgef Q121,， 1 222 245 45x x mxee145e设 2x R，则 12x，0x在 上递增且 0令 1,m， 2,设 Fx， 0,x211mmxxeeQ00x， 210x， 在 ,上递增， Fm， 2， 0,x，令 1x11x即： 22又 2()()m， 12x即： 12xQ1x， 21，
20、 Q在 R上递增m，即： 2，得证. 22.(本小题满分 10 分)【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.【试题解析】 （1）联立 cos43， 23， 20， 6， 32交点坐标(23,)6.（2）设 ,P， 0,Q且 .s0,)2，由已知 ,3QPO得 05cos42，点 P的极坐标方程为 10cos,)2. 23.(本小题满分 10 分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法等内容. 本小题重点考查化归与转化思想.【试题解析】 （1）当 2m时， 41(0)3232=25()xfxxxx 当 430x解得 12x； 当 3013x ， 恒成立. 当52x解得 ，此不等式的解集为 2， . 43+(0)3=23()xmfxxxx（ ） 当 (,0)x时， (0)223=34xfxmx 当 32 时， =+f，当 2xfm， 单调递减，f(x)的最小值为 3+m，设 0g当 0,2x，当且仅当 =x时，取等号 2-,x即 x=-时，g(x) 取得最大值 -. 要使 f恒成立，只需 32，即 -3m.
