1、长春市普通高中 2017 届高三质量监测（四）数学（文科）一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.i为虚数单位，则 234iiA. 0 B. C. D. 12.已知集合 A|x或 ， |28xB则 ABA. |4 B. |4x C. | D. |2x3.已知函数 2x,1=-f，则函数 fx的值域为A. 1, B. , C. 1,2 D.R4. 下面四个残差图中可以反映出回归模型拟合精度较好的为A. 图 1 B. 图 2 C. 图 3 D. 图 35.公元 263 年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去
2、逼近圆的面积求圆周率 ，刘徽称这个方法为“割圆术” ，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”.右图是根据刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图.运行该程序，则输出的 n 的值为：（参考数据：31.72,si50.8,si7.5013）A. 48 B. 36 C. 30 D. 246.将函数 coin2fxx的图象向左平移 8个单位后得到函数 Fx的图象，则下列说法中正确的是A. F是奇函数，最小值为 -2 B. Fx是偶函数，最小值为-2 C. x是奇函数，最小值为 2 D. 是偶函数，最小值为 27.某几何体的三视图如图所示，则该几
3、何体的四个面中最大面的面积为A. 4 B. 2 C. 6 D. 48.函数 1lnfx的大致图象为9.已知数列 na是等差数列，其前 n项和 nS有最大值，且 20176a，则使得 0nS的 的最大值为A. 2016 B. 2017 C. 4031 D. 403310.球面上有 A,B,C 三点，球心 O 到平面 ABC 的距离是球半径的 13，且 2,ABC，则球 O 的表面积是A. 81 B. 9 C. 814 D. 9411.已知 12,F是双曲线 2:0,xyCab的两个焦点，P 是双曲线 C 上的一点，若126Pa，且 12PF的最小内角的大小为 3，则双曲线 C 的渐近线方程为A.
4、 0xy B. 0xy C. 20xy D. 20xy12.已知定义在 R 上的函数 f满足 2,1,f，且 25,xffg，则方程 fxg在区间 6,2上的所有实根之和为A. -5 B. -7 C. -9 D. -11二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13. 数列 na是等比数列，满足 246,1aa，则 6 .14. 已知实数 ,xy满足约束条件 01xy，则 2zyx的最小值为 .15. 若非零向量 ,ab满足 2,ba，则向量 ,ab夹角的余弦值为 .16. 有甲、乙两人去看望高中数学张老师，期间他们做了一个游戏，张老师的生日是 m 月 n 日，张老师把m
5、告诉了甲，把 n 告诉了乙，然后张老师列出了如下 10 个日期供选择：2 月 5 日，2 月 7 日，2 月 9 日，5 月 5 日，5 月 8 日，8 月 4 日，8 月 7 日，9 月 4 日，9 月 6 日，9 月 9 日.看完日期后，甲说：“我不知道，但你一定也不知道” ，乙听了甲的话后说， “本来我不知道，但现在我知道了” ，甲接着说“哦，现在我也知道了” ，请问：张老师的生日是 .三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分 12 分）如图，在四边形 ABCD 中， 5,7,8,6,.ABCDBC（1）求 BAC的大小；（
6、2）求四边形 ABCD 的面积；18.（本题满分 12 分）某市对大学生毕业后自主创业人员给予小额贷款补贴，贷款期限分为 6 个月，12 个月，18 个月，24 个月，36 个月五种，对于这五种期限的贷款政府分别补贴 200 元、300 元、300 元、400 元、400 元，从 2016 年享受此项政策的自主创业人员中抽取了 100 人进行调查统计，选取贷款期限的频数如下表：（1）若小王准备申请此项贷款，求其获得政府补贴不超过 300 元的概率；（以上表中各种贷款期限的频率作为 2017 年自主创业人员选择各种贷款期限的概率） ；（2）若小王和小李同时申请此项贷款，求两人所获得的补贴之和不超
7、过 600 元的概率.19.（本题满分 12 分）如图，四棱柱 1ABCD中，底面 ABCD是菱形， 1A平面 BCD， E为 1的中点.（1）证明：平面 E平面 ；（2）若， 1,点 到平面 E的距离为 2，求三棱锥CA的体积.20.（本题满分 12 分）如图，在矩形 ABCD中， 4,2,AO为 B的中点， ,PQ分别是 AD,C的上的点，且直线Q与 P的交点在椭圆 2:10xEya上.（1）求椭圆 E 的方程；（2）设 R 为椭圆 E 的右顶点， T 为椭圆 E 的上顶点，M 为椭圆 E 第 一象限部分上一点，,求梯形 ORMT 的面积的最大值.21.（本题满分 12 分）已知函数 12
8、ln2.fxaxa（1）当 时，求函数 f的极值；（2）当 0时，讨论 x的单调性；（3）若对任意的 123,3a，恒有 12ln32lmafxf成立，求实数m的取值范围.请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按照所做的第一题计分.22.（本题满分 10 分）选修 4-4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系 xoy中，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C的极坐标方程为，曲线 2cos:inC（ 为参数）.的极坐标方程为，曲线（为参数）.（1）求曲线 1的直角坐标方程和 2的普通方程；（2）极坐标系中两点 1020,AB都在曲线 1C上，求 21的值
9、.23.（本题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲（1）已知函数 10fxxa，若不等式 5fx的解集为 |23x或 ，求 a的值；（2）已知实数 ,abcR，且 bcm，求证： 119.abcbm长春市普通高中 2017 届高三质量监测（四）数学（文科）参考答案与评分标准一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1. A 2. D 3. B 4. A 5. D 6. C7. D 8. A 9. C 10. B 11. A 12. B简答与提示：1. 【命题意图】本题考查复数的基本概念及运算. 【试题解析】A 由 21i可知，原式 10i. 故选 A.2. 【命题意图
10、】本题考查集合交运算.【试题解析】D 由 |4Ax或 ， |4Bx，故 |2B. 故选 D. 3. 【命题意图】本题考查分段函数的图像与性质.【试题解析】B 根据分段函数的 ()fx的图像可知，该函数的值域为 (1,). 故选 B.4. 【命题意图】本题考查统计学中残差图的概念. 【试题解析】A 根据残差图显示的分布情况即可看出图 1 显示的残差分布集中，拟合度较好，故选 A.5. 【命题意图】本题依据中华传统文化算法割圆术考查程序框图.【试题解析】D 运行算法可获得结果 24，故选 D. 6. 【命题意图】本题主要考查三角变换公式与三角函数的图像与性质. 【试题解析】C 由()cos2in2
11、cos()4fxxx，则()2cos()()in84Fx. 故选 C. 7. 【命题意图】本题考查三视图.【试题解析】D 最大面积为 2. 故选 D. 8. 【命题意图】本题考查函数图像辨析问题. 【试题解析】A 由对数函数图像可知. 故选 A. 9. 【命题意图】本题主要考查等差数列的相关性质. 【试题解析】C 由题意知 0d， 216a， 20167a，因此 40314032,S. 故选 C. 10. 【命题意图】本题主要考查球内的几何体的相关性质. 【试题解析】B 由题可知 AB为 C的直径，令球的半径为 R，则22()3，可得32R，则球的表面积为 249SR. 故选 B. 11. 【
12、命题意图】本题考查双曲线的定义. 【试题解析】A 不妨设 12|PF，则12|6PFa，则 1|4PFa， 2|，且12|Fc，即 2|为最小边，即 1230，则 12为直角三角形，且 3ca，即渐近线方程为 yx，故选 A. 12. 【命题意图】本题是考查函数的图像及性质. 【试题解析】B 由函数的图像与周期性可知，所有交点的横坐标 之和为 7，故所有实根之和为 7. 故选 B. 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13. 8 14. 2 15. 1416. 8 月 4 日简答与提示：13. 【命题意图】本题考查等比数列问题.【试题解析】由等比数列基本量运算可知2q
13、，因此 68a. 14. 【命题意图】本题考查线性规划的相关知识.【试题解析】由题意可先画出可行域，再由目标函数的几何意义，判断最优解为 (1,0)，故 z的最小值为 2. 15. 【命题意图】本题考查向量的运算和几何意义.【试题解析】由题意222|abab，则12a，即 |cosab，故1cos4.16. 【命题意图】本题考查学生的逻辑推理能力. 【试题解析】根据甲说“我不知道，但你一定也不知道”，可排除 5 月 5 日、5 月 6 日、9 月 4 日、9 月 6 日、9 月 9 日；乙听了甲的话后，说“本来我不知道，但现在我知道了”，可排除 2 月 7 日、8 月 7 日；甲接着说“哦，现
14、在我也知道了”，现在可以得知张老师生日为 8 月 4 日.三、解答题17. (本小题满分 12 分)【命题意图】本题考查解三角形的相关知识. 【试题解析】（）由题意，在 BAC中，221cosABC， （4 分）则 3. （6 分）（）在 BAC中，221sincos 4BCAD，（8 分）则1132sin27ACDS，i0ABBAC. 综上四边形 D的面积为1327. （12 分）18. (本小题满分 12 分)【命题意图】本小题主要考查学生对概率统计知识的理解，同时考查学生的数据处理能力.【试题解析】(1)由题意，所求概率为2040.81P+=（4 分）(2)记 ,abcde分别为选择 6
15、个月、 个月、 个月、 2个月、 36个月贷款，（6 分）由题意知小王和小李的所有选择有： ,abcdaebcdeacbde，共 25 种， （8 分）其中使得小王和小李获补贴之和不超过 600 的有,abcdaebc,a,dea共 13 种， （10 分）所以所求概率为1325. （12 分）19. (本小题满分 12 分)【命题意图】本题以四棱柱为载体，考查平面与平面垂直，以及二面角、体积等问题. 【试题解析】（）证明：连接 BD，设 AC与 的交点为 F，连接 E，因为 E为 1BD中点， F为 中点，所以 1/EFB，所以 EF平面 ABCD，又因为 在平面 AC内，所以平面 AC平面
16、 D. （6 分）（）连接 1， ， 1，设 交 1于点 G，由四边形 1为正方形所以2G，又因为点 到平面 E的距离为2，所以 1CD平面 AE，所以 1CDA， （8 分）又因为 1，所以 平面 1，所以 DC，所以菱形 B为正方形，由于 到平面 B的距离为12， （10 分）所以三棱锥 CADE的体积 32VEFA. （12 分）20. (本小题满分 12 分)【命题意图】本小题考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的的位置关系，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.【试题解析】（）设 AQ于 BP交点 C为 (,)xy， 1(2,)P， 1(,2)Qx，由题可知，1 112,424yxyyx，
17、 （4 分）从而有 2xy，整理得2y，即为椭圆方程. （6 分）（） (,0)R，设 0(,)Mx，有20014x， （8 分）从而所求四边形面积 22000044121xxSy ， （10 分）当且仅当 00,2x取得最大值. （12 分）21. (本小题满分 12 分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性等，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】() 函数 )(xf的定义域为 (0,) 21(4 fx，令 21()4 =0fx，得 12x；1（舍去） （2 分）当 变化时， ,()f的取值情况如下：x0,21(,)2f 0()x减
18、极小值 增所以，函数 ()f的极小值为1()42f，无极大值 （4 分）() 22() axafxx，令 ()0f，得 1， 21， （6 分）当 2a时， ()fx，函数 )(xf的在定义域 (0,)单调递增； （7 分）当 0时，在区间10,2，,a，上 ()fx， )(f单调递减，在区间1(,)2a，上 ()fx， )(f单调递增； （8 分）当 时，在区间10,，,2，上 ()0fx， )(f单调递减，在区间1(,)2a，上 ()fx， )(f单调递增 （9 分） ()由()知当 3,时，函数 x在区间 1,3单调递减；所以，当 1,x时， max()(1)2ffa，min()(3)2
19、ln36ff（10 分）问题等价于：对任意的 (,2)a，恒有1(ln3)2l1ln36a成立，即am432，因为 0a，432am，所以，实数 的取值范围是13(, （12 分）22. (本小题满分 10 分)【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化.【试题解析】 (I) 由题意知21:,4xCy22:()4xy. （5 分）（II）由点 ,AB在曲线 1上，则212043sin，2203sin()21，21co4，因此200213sin3s5. （10 分）23. (本小题满分 10 分)【命题意图】本小题主要考查含绝对值不等式以及不等式证明的相关知识，本小题重点考查考生的化归与转化思想.【试题解析】（） 因为 0a，所以21,()|1|=,xafxx ， 又因为不等式 ()5fx 的解集为 |2 或 3 ，解得 2a. （5 分）（）11()()1 bcabcabcm2a=3 92cabcabbmm（10 分）
