1、高中数学必备(必须理解与记忆) 知识点归纳1必 修 一第一章 集合与函数的概念一、集合：1集合的定义与表示（1）集合的定义：把一些元素组成的总体叫做集合（2）集合的表示：常用大写拉丁字母 表示，集合中的元素一般用小写拉丁字母 表,CBA ,cba示（3）集合的性质：确定性、互异性、无序性（集合中元素的性质）（4）元素与集合的关系：属于( ) , 不属于( )aa（5）常用数集： RQZN,*（6）集合的表示：列举法，描述法2集合间的基本关系（从文字语言、图形语言、符号语言等方面理解）（1）子集：一般地，对于两个集合 ，如果集合 中任意一个元素都是集合 中的元素，称集合 是集合,ABBA的子集，
2、记作 （读作 含于 ）或 （读作 包含 ） 。韦恩表示图略BAB（2）集合相等：如果集合 是集合 的子集（ ） ，且集合 是集合 的子集（ ） ，称集合 与集合ABBA相等。记作 。韦恩表示图略（3）真子集：如果集合 ，但存在元素 且 称集合 是集合 的真子集，记作 （读作,x,AB真含于 ）或 （读作 真包含 ） 。韦恩表示图略ABAB（4）空集：不含任何元素的集合叫做空集。空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集（ 5） 集 合 的 子 集 个 数 ：含 有 个 元 素 的 集 合 的 子 集 个 数 为 ， 真 子 集 个 数 为 ， 非 空 真 子 集 个 数 为nn212n
3、2n3 集 合 的 基 本 运 算 从文字语言、图形语言、符号语言等方面理解）（ 1） 并 集 ：一 般 地 ， 由 所 有 属 于 集 合 或 属 于 集 合 的 元 素 组 成 的 集 合 ， 称 为 集 合 与 集 合 的 并 集 ， 记 作ABAB（ 读 作 ： “ 并 ”） ， 即 ， 韦恩表示图略AB,x或（ 2） 交 集 ：高中数学必备(必须理解与记忆) 知识点归纳2一 般 地 ， 由 属 于 集 合 且 属 于 集 合 的 元 素 组 成 的 集 合 ， 称 为 集 合 与 集 合 的 交 集 ， 记 作ABAB（ 读 作 ： “ 交 ”） ， 即 ， 韦恩表示图略，数轴表示略
4、AB,xA且（ 3） 补 集 ：对 于 一 个 集 合 ， 由 全 集 中 不 属 于 集 合 的 所 有 元 素 组 成 的 集 合 称 为 集 合 相 对 于 全 集 的 补 集 ，U U简 称 为 集 合 的 补 集 ， 记 作 ， 即 ， 韦恩表示图略，数轴表示略A=,x且说 明 ： 求 并 集 、 交 集 与 补 集 时 可 借 用 数 轴 处 理4集合的主要性质和运算律集合的主要性质和运算律包含关系： ).(),(;)(,)(;, BAABBACBAU则若集合的运算律：交换律： .;结合律： ).()(;()( C分配律： ).()() ABACBAC 01 律： ., UU等幂律
5、： .;B求补律： )(, ACCACA UUUU反演律： .)()(;)()( BB二 、 函 数 及 其 表 示1 函 数 的 定 义 ： （ 集 合 对 应 定 义 法 ）设 是 非 空 数 集 ， 如 果 按 照 某 种 确 定 的 对 应 关 系 ， 使 对 于 集 合 中 的 任 意 一 个 ， 在 集 合 中 都 有AB、 fAxB唯 一 确 定 的 数 和 它 对 应 ， 那 么 就 称 为 从 集 合 到 集 合 的 一 个 函 数 ， 记 作 ，()fx:fABB(),yfxA其 中 ， 叫 做 自 变 量 ， 的 取 值 范 围 叫 做 函 数 的 定 义 域 ； 与 的
6、 值 对 应 的 值 叫 做 函 数 值 ， 函 数 值 的 集 合xy叫 做 函 数 的 值 域 ， 值 域 是 集 合 的 子 集 .()fxA函 数 三 要 素 ： 定 义 域 （ 集 合 ）， 值 域 （ 集 合 ） ， 解 析 式 （ 表 达 式 ）区 间 （ 集 合 的 另 一 种 表 示 方 式 ） ： 开 区 间 、 闭 区 间 、 半 开 半 闭 区 间 （ 左 开 右 闭 、 左 闭 右 开 ）(,);,;,;,ababab高中数学必备(必须理解与记忆) 知识点归纳3无 穷 大 的 引 入 ： ,2 函 数 的 表 示 ：解 析 法 ： 用 数 学 表 达 式 表 示 两
7、个 变 量 之 间 的 对 应 关 系图 像 法 ： 用 图 表 表 示 两 个 变 量 之 间 的 对 应 关 系列 表 法 ： 列 出 表 格 来 表 示 两 个 变 量 之 间 的 对 应 关 系分 段 函 数 ：映 射 ： 设 是 非 的 集 合 ， 如 果 按 某 一 个 确 定 的 对 应 关 系 ， 使 对 于 集 合 中 的 任 意 一 个 元 素 ， 在 集AB、 fAx合 中 都 有 唯 一 确 定 的 元 素 与 之 对 应 ， 那 么 就 称 对 应 为 从 集 合 到 集 合 的 一 个 映 射 。y:fABB会 区 分 函 数 与 映 射 的 关 系3 函 数 的
8、性 质 ： （ 主 要 从 文 字 叙 述 ， 数 学 符 号 ， 图 象 特 征 方 面 理 解 ）（ 1） 单 调 性 增 函 数 ， 增 区 间 ， 递 增 性一 般 地 ， 设 函 数 的 定 义 域 为 ： 如 果 对 于 定 义 域 内 某 个 区 间 上 的 任 意 两 个 自 变 量 的 值 ，()fxIID12,x当 时 ， 都 有 ， 那 么 就 说 函 数 在 区 间 上 是 增 函 数 ； 区 间 叫 做 函 数 的 一 个12x12()fx ()f增 区 间 ； 这 种 性 质 叫 做 函 数 的 递 增 性 。 减 函 数 ， 减 区 间 ， 递 减 性一 般 地
9、， 设 函 数 的 定 义 域 为 ： 如 果 对 于 定 义 域 内 某 个 区 间 上 的 任 意 两 个 自 变 量 的 值 ，()fxIID12,x当 时 ， 都 有 ， 那 么 就 说 函 数 在 区 间 上 是 减 函 数 ； 区 间 叫 做 函 数 的 一 个12x12()fx ()f减 区 间 ； 这 种 性 质 叫 做 函 数 的 递 减 性 。注 ： 会 从 文 字 叙 述 ， 数 学 符 号 ， 图 象 特 征 等 方 面 理 解 函 数 单 调 性会 用 定 义 判 断 并 证 明 函 数 单 调 性（ 2） 函 数 的 最 大 值 与 最 小 值 ： 函 数 的 最
10、大 值 ：一 般 地 ， 设 函 数 的 定 义 域 为 ， 如 果 存 在 实 数 满 足 :（ 1） 对 于 任 意 的 ， 都 有()yfxIMxI； （ 2） 存 在 ， 使 得 。 那 么 ， 我 们 称 是 函 数 的 最 大 值 。()fxM0I0()fx()yf 函 数 的 最 小 值 ：一 般 地 ， 设 函 数 的 定 义 域 为 ， 如 果 存 在 实 数 满 足 :（ 1） 对 于 任 意 的 ， 都 有()yfI xI； （ 2） 存 在 ， 使 得 。 那 么 ， 我 们 称 是 函 数 的 最 小 值 。()fx0xI0()fxM()yf注 ： 函 数 最 小 值
11、 的 求 法 ： 基 本 函 数 法 ， 图 像 法 ， 单 调 性 法 等（ 3） 函 数 的 奇 偶 性 ： 偶 函 数 ：一 般 地 ， 如 果 对 于 函 数 的 定 义 域 内 任 意 一 个 ， 都 有 ， 那 么 函 数 叫 做 偶 函 数 。 偶 函()fxx()fxf数 图 象 关 于 轴 对 称 。y高中数学必备(必须理解与记忆) 知识点归纳4 奇 函 数 ：一 般 地 ， 如 果 对 于 函 数 的 定 义 域 内 任 意 一 个 ， 都 有 ， 那 么 函 数 叫 做 奇 函 数 。 奇fxx()(fxf函 数 图 象 关 于 原 点 对 称 。第二章 基本初等函数一
12、、 指 数 与 指 数 函 数1 指 数 与 指 数 幂 的 运 算（ 1） 根 式 ：一 般 地 ， 如 果 ， 那 么 叫 做 的 次 方 根 ；nxaxan当 是 奇 数 时 ， 正 数 的 次 方 根 是 一 个 正 数 ， 负 数 的 次 方 根 是 一 个 负 数 。当 是 偶 数 时 ， 正 数 的 次 方 根 有 两 个 ， 它 们 是 一 对 互 为 相 反 数 ， 记 作 。(0)na负 数 没 有 偶 次 方 根 。式 子 叫 做 根 式 ， 是 根 指 数 ， 叫 做 被 开 方 数 ； 由 次 方 根 的 意 义 得 ：nanan()n（ 2） 分 数 指 数 幂 ：
13、； 0 的 正 分 数 指 数 幂 等 于 0， 0 的 负 分 数 指 数 幂 没 有 意 义mn（ 3） 指 数 幂 的 运 算 性 质 ：,(),(),0,rsrsrsrraababrsQ其 中 ；2 指 数 函 数 及 其 性 质 ：（ 1） 指 数 函 数 ：一 般 地 ， 形 如 的 函 数 ， 叫 做 指 数 函 数 ； 其 中 是 自 变 量 ， 函 数 的 定 义 域 为 。(0,1)xyaxR（ 2） 指 数 函 数 的 图 像 与 性 质 ：指 数 函 数 的 图 象 与 性 质)1,0(ayx1a图象定 义 域 R值 域 (0,)（ 1） 过 定 点 （ 0， 1） ，
14、 即 时x1y性质 （ 2） 单 调 性 在 上 是 减 函 数R在 上 是 增 函 数R高中数学必备(必须理解与记忆) 知识点归纳5（ 3） 范 围时 ；0x1y时 ；时 ；0x1y时 ；3 对 数 与 对 数 的 运 算 ：（ 1） 对 数 ： （ 定 义 、 记 法 、 读 法 ， 各 部 分 符 号 及 名 称 ）一 般 地 ， 如 果 ， 那 么 数 叫 做 以 为 底 的 对 数 ， 记 作(0,1)xaNaxaNlogaxN注 ： 理 解 对 数 定 义 的 本 质 ； 熟 记 对 数 符 号 各 部 分 名 称 ， 明 确 各 部 分 的 范 围常 用 对 数 ： 自 然 对
15、数 ：10lglolnelog（ 2） 对 数 与 指 数 的 互 化 ： l,(0,1)xaa（ 3） 对 数 的 性 质 ： 1,l（ 4） 对 数 的 运 算 性 质 ： )0,10(loglll)( NManMNaa aaa（ 5） 对 数 恒 等 式 ： ),10(ogbb（ 6） 对 数 换 底 公 式 ： ),;,ll bcacadbbaca loglogl,log1l 4 对 数 函 数 及 其 性 质 ：（ 1） 对 数 函 数 ：一 般 地 ， 形 如 的 函 数 ， 叫 做 对 数 函 数 ； 其 中 是 自 变 量 ， 函 数 的 定 义 域 为l(0,1)ayxx。
16、（ 2） 对 数 函 数 的 图 象 与 性 质 ：0,指 数 函 数 的 图 象 与 性 质)1,0(logaxya101a图象定 义 域 0,值 域 R性 （ 1） 过 定 点 （ 1， 0） ， 即 时xy高中数学必备(必须理解与记忆) 知识点归纳6（ 2） 单 调 性 在 上 是 减 函 数0,在 上 是 增 函 数(0,)质（ 3） 范 围时 ；1xy时 ；时 ；1xy时 ；5 幂 函 数 ：（ 1） 幂 函 数 定 义 ：一 般 地 ， 形 如 的 函 数 ， 叫 做 幂 函 数 ； 其 中 是 自 变 量 ， 是 常 数 。ayxxa（ 2） 幂 函 数 的 图 象 与 性 质
17、： 2y3y21xy1xy图 象定 义 域 RRR0,0x值 域 0,y奇 偶 性对 称 性奇 函 数原 点 对 称偶 函 数轴 对 称y奇 函 数原 点 对 称无奇 函 数原 点 对 称单 调 性 在 上 递 增R上 递 减,0上 递 增在 上 递 增R上 递 增0,及,0上 递 减公 共 点 1,6 函 数 图 象 变 换平 移 变 换 ： 左 右 平 移 与 上 下 平 移翻 折 变 换 ： 如 何 由 图 象 得 到 图 象()yfx(),()yfxf对 称 变 换 ： 如 何 由 图 象 得 到 图 象,()xyfx第 三 章 函 数 的 应 用一 、 函 数 与 方 程1 方 程
18、的 根 与 函 数 的 零 点 ：（ 1） 函 数 的 零 点 ： 对 于 函 数 ， 我 们 把 使 的 实 数 叫 做 函 数 的 零 点 。()yfx()0fxx()yfx（ 2） 方 程 的 根 与 函 数 的 零 点 的 关 系 ：方 程 有 实 数 根 函 数 的 图 象 与 轴 有 交 点 函 数 有 零 点()0fx()f ()f高中数学必备(必须理解与记忆) 知识点归纳7（ 3） 方 程 的 根 与 函 数 的 零 点 存 在 性 定 理 ：一 般 地 ， 我 们 有 ：如 果 函 数 在 区 间 上 的 图 象 是 连 续 不 断 的 一 条 曲 线 ， 并 且 有 ， 那
19、 么 ， 函 数()yfx,ab ()0fab在 区 间 内 有 零 点 ， 即 存 在 ， 使 得 ， 这 个 也 就 是 方 程 的 根 。()yfx,ab,c()0fcc()fx2 二 分 法 ：（ 1） 二 分 法 定 义 ：对 于 区 间 上 连 续 不 断 且 的 函 数 ， 通 过 不 断 地 把 函 数 的 零 点 所 在 的,ab()0fab()yfx()fx区 间 一 分 为 二 ， 使 区 间 的 两 个 端 点 逐 步 逼 近 零 点 ， 进 而 得 到 零 点 近 似 值 的 方 法 叫 做 二 分 法（ 2） 给 定 精 度 ， 用 二 分 法 求 函 数 零 点
20、近 似 值 得 基 本 步 骤 ：)(xf1. 确 定 区 间 ， 验 证 ， 给 定 精 度 ；,ab0ab2. 求 区 间 的 中 点)c3. 计 算 (fc（ 1） 若 ， 则 就 是 函 数 的 零 点 ；)0c（ 2） 若 ， 则 令 （ 此 时 零 点 ） ；(fabc0(,)xac（ 3） 若 ， 则 令 （ 此 时 零 点 ） ；)cab4. 判 断 是 否 达 到 精 度 ： 即 若 ， 则 得 到 零 点 近 似 值 （ 或 ） ； 否 则 重 复 24。二 、 函 数 模 型 及 其 应 用 ：1 几 类 不 同 增 长 的 函 数 模 型 ：一 次 函 数 型 （ 直
21、线 型 ） ： 均 匀 上 升指 数 型 ： 爆 炸 式 上 升对 数 型 ： 缓 慢 式 上 升幂 函 数 型 ： 爆 炸 或 缓 慢 式 上 升2 函 数 模 型 的 应 用 ：必 修 二第一章 空间几何体1.空间几何体的结构（1）柱、锥、台、球的结构特征：棱柱：定义，基本元素（底面、侧面、侧棱、顶点） ，表示方法棱锥：定义，基本元素（底面、侧面、侧棱、顶点） ，表示方法棱台：定义，基本元素（底面（上、下） 、侧面、侧棱、顶点） ，表示方法高中数学必备(必须理解与记忆) 知识点归纳8圆柱：定义，基本元素（底面、侧面、轴、母线） ，表示方法圆锥：定义，基本元素（底面、侧面、轴、母线） ，表示
22、方法圆台：定义，基本元素（底面、侧面、轴、母线） ，表示方法球：定义，基本元素（球心、半径（直径） ） ，表示方法（2）简单组合体：一种是由简单几何体拼接，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成2.空间几何体的三视图和直观图（1）中心投影与平行投影：投影，投影线，投影面；中心投影，平行投影（2）空间几何体的三视图三视图： 正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下画三视图的原则：长对正（正视、俯视有长） 、高平齐（正视、侧视有高） 、宽相等（侧视、俯视有宽）（3）直观图：斜二测画法平面图形斜二测画法 确定坐标系： （ ）xoy045 平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴； 平行于 轴的
23、线长度变半，平行于 ， 轴的线长度不变；xz几何体斜二测画法：一画轴 二画底面 三画侧棱 四成图3. 空间几何体的表面积与体积（1）空间几何体的表面积棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和圆柱的表面积 2Srl圆锥的表面积圆台的表面积 2()Rrl球的表面积 4S（2）空间几何体的体积柱体的体积 hV底锥体的体积 S底31台体的体积 hS)下下上上（球体的体积 34RV高中数学必备(必须理解与记忆) 知识点归纳9第二章 点、直线、平面之间的位置关系1.空间点、直线、平面之间的位置关系（1）平面含义：平面是无限延展的（2）平面的画法及表示 平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成
24、 450，且横边画成邻边的 2 倍长（如图） 平面通常用希腊字母 、 等表示，如平面 、平面 等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面 AC、平面 ABCD 等。（3） 三个公理：公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为：AL，BL， 且 A，B l公理 1 作用：判断直线是否在平面内公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。符号表示为：A、B、C 三点不共线 = 有且只有一个平面 ，使 A、B、C。公理 2 作用：确定一个平面的依据。公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点
25、的公共直线。符号表示为：P =L，且 PL公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据2.空间中直线与直线之间的位置关系（1）空间的两条直线有如下三种关系：共面直线：相交直线（同一平面内，有且只有一个公共点）平行直线（同一平面内，没有公共点）异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。（2）公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设 a、b、c 是三条直线ab， cb ac强调：公理 4 实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理 4 作用：判断空间两条直线平行的依据。（3）等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补（4）异面直线所成的
26、角：已知异面直线 ，经过空间任一点 作直线 ，则 与 所成的,abO/,abab锐角（或直角）叫做异面直线 与 所成的角（或夹角） 与 所成的角的大小只由 的相互位置来确定，与 的选择无关，为简便，点 一般取在两ab, O直线中的一条上或空间图形的特殊位置上； 两条异面直线所成的角 ；(0,2LACBAP LD CBA 高中数学必备(必须理解与记忆) 知识点归纳10 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作 ab； 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。3.空间中直线与平面、平面与平面之间的位
27、置关系平行问题：（1）直线与平面有三种位置关系：直线在平面内有无数个公共点直线与平面相交有且只有一个公共点直线在平面平行没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用 来表示aaaA/a（2）直线与平面平行的判定直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。简记为：线线平行，则线面平行。符号表示： ,/aba且（3）平面与平面平行的判定两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。简记为：线面平行，则面面平行符号表示： ,/abPab判断两平面平行的方法有三种：用定义；判定定理；垂直于同一条直线的
28、两个平面平行。（4）直线与平面、平面与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为：线面平行，则线线平行符号表示： /, /aba作用：利用该定理可判断直线的平行问题。结论： ,/bab高中数学必备(必须理解与记忆) 知识点归纳11定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。简记为：面面平行，则线线平行。符号表示： /,/aba作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行结论：夹在两平行平面间的平行线段相等。垂直问题：（5）直线与平面垂直定义：如果直线 与平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 与平面 互ll相垂直，记
29、作 ，直线 叫做平面 的垂线，平面 叫做直线 的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点 叫做垂足。P判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。符号表示： ,lababPla)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。重要结论： /,aba直线与平面所成的角：如图： 是平面 的一条斜线， 为斜足， 是平面 的一条垂线，PAAPO为垂足；则直线 为斜线 在平面内 上的射影.OOP平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角(6)平面与平面垂直二面角（图形）概念
30、：从一直线出发的两个半平面所组成的图形(如图)，这条直线叫做二面角的棱（ ） ，两个半平面（ ）叫做二面角的面AB,记法：二面角 等-PQll或 或二面角的平面角：如图：在平面 和 内分别作垂直于棱 的射线l,则射线 构成的 叫做二面角的平面角OMNON和 M二面角的平面角的做法：垂线法与垂面法当二面角的平面角为直角时叫做直二面角。两个平面垂直：定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。记作： 画法（略）lPPAOABP:QlMNO高中数学必备(必须理解与记忆) 知识点归纳12判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。图形（略） 符号： ,a性质
31、：定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。 符号： ,/aba定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。符号： ,lal第三章 直线与方程1.直线的倾斜角和斜率直线的倾斜角的概念：当直线 与 轴相交时, 取 轴作为基准, 轴正向与直线 向上方向之间所成的角 叫做直线 的lxxxl l倾斜角.特别地,当直线 与 轴平行或重合时, 规定 = 0.l倾斜角 的取值范围：0180. 当直线 与 轴垂直时, = 90.lx直线的斜率:一条直线的倾斜角 (90)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母 k 表示,也就是 k = tan当直线 l 与 x 轴平行或重合时, =0,
32、k = tan0=0;当直线 l 与 x 轴垂直时, = 90, k 不存在.由此可知, 一条直线 的倾斜角 一定存在,但是斜率 k 不一定存在.l直线的斜率公式:给定两点 ；则直线 的斜率为1212(,)(,)Pxyx且 12P21ykx2.两条直线的平行与垂直两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即注意前提条件，若情况特殊则特殊判断两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即 121lk注意前提条件，若情况特殊则特殊判断3. 直线的方程直线的点斜式方程：直线
33、 经过点 ，且斜率为 的直线方程：l),(0yxPk)(00xky高中数学必备(必须理解与记忆) 知识点归纳13直线的斜截式方程：已知直线 的斜率为 ，且与 轴的交点为 （ 为直线 在 轴上的截距）lky),0(bly， bkxy直线的两点式方程：已知两点 其中 ，则直线方程为：),(),(221xP),(2121yx1122yx直线的截距式方程：已知直线 与 轴的交点为 A ，与 轴的交点为 B ，其中lx)0,(ay),0(b，则直线方程为0,ba1yab直线的一般式方程：关于 的二元一次方程 （A，B 不同时为 0）, Cx注意：理解各种直线方程得推导过程会对特殊情况进行分类讨论各种直线
34、方程之间的互化4.直线的交点坐标与距离公式两直线的交点坐标：联立方程组求解即可两点间的距离公式：若 ，则),(),(221yxP221211()()Pxy点到直线距离公式：点 到直线 的距离为：,0yx0:CBAl 20BACxd两平行线间的距离公式：已知两条平行线直线 和 的一般式方程为 ： ， ： ，则1l21l1yx2l02yx与 的距离为1l2 2BACd第四章 圆与方程1. 圆的标准方程（1）圆的标准方程： 圆心为 ,半径为 ；特别： （单位圆）22()xaybr()Aabr21xy（2）点 与圆 的关系的判断方法：0(,)My2() ，点在圆外 22xar= ，点在圆上00()()
35、yb ，点在圆内22xr高中数学必备(必须理解与记忆) 知识点归纳142.圆的一般方程（1）圆的一般方程： 02FEyDxy（2）圆的一般方程的特点： 和 的系数相同，且不等于 0，没有 xy 这样的二次项，40DEF(3) 圆的一般方程与标准方程相比，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。3.直线与圆的位置关系（1） 法：,dr当 时，直线 与圆 相离；当 时，直线 与圆 相切；当 时，直线 与圆 相交。lCrdlCrdlC（2） 法：当 时，直线 与圆 相交；当 时，直线 与圆 相切；当 时，直线 与圆 相离。0l 0l 0l4.
36、 圆与圆的位置关系设两圆的连心线长为 ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：l（1）当 时，圆 与圆 相离；21rl1C2（2）当 时，圆 与圆 外切；l（3）当 时，圆 与圆 相交；|21r21rl12C（4）当 时，圆 与圆 内切；|l（5）当 时，圆 与圆 内含。|21rl125.直线与圆的方程的应用（1）利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；（2）过程与方法用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论6.空间直角坐标系（1
37、）空间直角坐标系：坐标原点，坐标轴，坐标平面；右手直角坐标系（2）在空间直角坐标系中，任一点 M 对应着唯一确定的有序实数组 ，),(zyx、 x O yx MMRP Q高中数学必备(必须理解与记忆) 知识点归纳15、 分别是 P、Q、R 在 、 、 轴上的坐标；反之有序实数组 ，对应着空间直角坐标yzxyz ),(zyx系中的一点。（3）空间中任意点 M 的坐标都可以用有序实数组 来表示，该数组),(zyx叫做点 M 在此空间直角坐标系中的坐标，记 M ， 叫做点 Mx的横坐标， 叫做点 M 的纵坐标， 叫做点 M 的竖坐标。yz会建空间直角坐标系，会确定点的坐标7.空间两点间的距离公式空间
38、中任意一点 到点 之间的距离公式),(11zyxP),(22zyxP1221)( 必 修 三第一章 算法初步1.算法的概念（1）算法概念：最初指用阿拉伯数字进行算术运算的过程。在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤。（2）算法的特点:有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的.确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可.顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成
39、问题.不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法.普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决.2.程序框图（1）程序构图的概念：程序框图又称流程图，是一种用的程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形。（2）程序框图的基本要素：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要文字说明。（3）构成程序框的图形符号及其作用图形 名称 功能终端框（起止框） 表示一个算法的起始和结束，是任何流程图不O yzxMP1 P2NM1N2N1M2 H高中数学必备(必须理解与记忆) 知识点归纳16可少的。输入、输出
40、框表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何需要输入、输出的位置。处理框（执行框）赋值、计算，算法中处理数据需要的算式、公式等分别写在不同的用以处理数据的处理框内。判断框判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y” ；不成立时标明“否”或“N” 。流程线连结程序框连接点连接程序框图的两部分学习这部分知识的时候，要掌握各个图形的形状、作用及使用规则，画程序框图的规则如下：（1）使用标准的图形符号。（2）框图一般按从上到下、从左到右的方向画。（3）除判断框外，大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的唯一符号。（4）判断框分两大类，一类判断框“是”与“否”
41、两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一类是多分支判断，有几种不同的结果。（5）在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。3.算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。（1）顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的，它是由若干个依次执行的处理步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而下地连接起来，按顺序执行算法步骤。如在示意图中，A 框和 B 框是依次执行的，只有在执行完 A 框指定的操作后，才能接着执行 B 框所指定的操作。（2）条件结构：条件结构是指在算法中通过对条件的
42、判断根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。条件 P 是否成立而选择执行 A 框或 B 框。无论 P 条件是否成立，只能执行 A 框或 B 框之一，不可能同时执行 A 框和 B 框，也不可能 A 框、B 框都不执行。一个判断结构可以有多个判断框。（3）循环结构：在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理步骤的情况，这就是循环结构，反复执行的处理步骤为循环体，显然，循环结构中一定包含条件结构。循环结构又称重复结构，循环结构可细分为两类：AB高中数学必备(必须理解与记忆) 知识点归纳17一类是当型循环结构，如下左图所示，它的功能是当给定的条件 P 成立时，执行 A 框，A
43、 框执行完毕后，再判断条件 P 是否成立，如果仍然成立，再执行 A 框，如此反复执行 A 框，直到某一次条件 P 不成立为止，此时不再执行 A 框，离开循环结构。另一类是直到型循环结构，如下右图所示，它的功能是先执行，然后判断给定的条件 P 是否成立，如果 P 仍然不成立，则继续执行 A 框，直到某一次给定的条件 P 成立为止，此时不再执行 A 框，离开循环结构。当型循环结构 直到型循环结构注意：（1）循环结构要 在某个条件下终止循环，这就需要条件结构来判 断。因此，循环结构中一定包含条件结构，但不允许“死循环” 。（2）在循环结构中都有一个计数变量和累加变量。计数变量用于记录循环次数，累加变
44、量用于输出结果。计数变量和累加变量一般是同步执行的，累加一次，计数一次。4.输入、输出语句和赋值语句（1）输入语句输入语句的一般格式输入语句的作用是实现算法的输入信息功能；“提示内容”提示用户输入什么样的信息，变量是指程序在运行时其值是可以变化的量；输入语句要求输入的值只能是具体的常数，不能是函数、变量或表达式；提示内容与变量之间用分号“；”隔开，若输入多个变量，变量与变量之间用逗号“， ”隔开。（2）输出语句输出语句的一般格式输出语句的作用是实现算法的输出结果功能；“提示内容”提示用户输入什么样的信息，表达式是指程序要输出的数据；输出语句可以输出常量、变量或表达式的值以及字符。（3）赋值语句
45、A成立不成立P不成立P成立A图形计算器格式INPUT“提示内容” ；变量 INPUT “提示内容” ，变量PRINT“提示内容” ；表达式图形计算器格式Disp “提示内容” ，变量高中数学必备(必须理解与记忆) 知识点归纳18赋值语句的一般格式赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量；赋值语句中的“”称作赋值号，与数学中的等号的意义是不同的。赋值号的左右两边不能对换，它将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量；赋值语句左边只能是变量名字，而不是表达式，右边表达式可以是一个数据、常量或算式；对于一个变量可以多次赋值。注意：赋值号左边只能是变量名字，而不能是表达式。如：2=X 是错误的。赋
46、值号左右不能对换。如“A=B” “B=A”的含义运行结果是不同的。不能利用赋值语句进行代数式的演算。 （如化简、因式分解、解方程等）赋值号“=”与数学中的等号意义不同。5.条件语句（1）条件语句的一般格式有两种：IFTHENELSE 语句；IFTHEN 语句。（2）IFTHENELSE 语句IFTHENELSE 语句的一般格式为图 1，对应的程序框图为图 2。图 1 图 2注意：在 IFTHENELSE 语句中， “条件”表示判断的条件， “语句 1”表示满足条件时执行的操作内容；“语句 2”表示不满足条件时执行的操作内容；END IF 表示条件语句的结束。计算机在执行时，首先对 IF 后的条
47、件进行判断，如果条件符合，则执行 THEN 后面的语句 1；若条件不符合，则执行 ELSE后面的语句 2。（3）IFTHEN 语句IFTHEN 语句的一般格式为图 3，对应的程序框图为图 4。注意：“条件”表示判断的条件；“语句”表示满足条件时执行的操作内容，条件不满足时，结束程序；END IF 表示条件语句的结束。计算机在执行时首先对 IF 后的条件进行判断，如果条件符合就执变量表达式图形计算器格式 表达式 变量IF 条件 THEN语句 1ELSE语句 2END IF否是满足条件？语句 1 语句 2IF 条件 THEN语句END IF （图3）满足条件？语句是否（图4）高中数学必备(必须理解与记忆) 知识点归纳19行 THEN 后边的语句，若条件不符合则直接结束该条件语句，转而执行其它语句。6.循环语句循环结构是由循环语句来实现的。对应于程序框图中的两种循环结构，一般程序设计语言中也有当型（WHILE 型）和直到型（UNTIL 型）两种语句结构。即 WHILE 语句和 UNTIL 语句。(1)WHILE 语句WHILE 语句的一般格式是 对应的程序框图是当计算机遇到 WHILE 语句
