1、高 中 新 课 标 理 科 数 学 (必修 +选修 ) 所 有 知 识 点 总 结 第 - 2 - 页 共 102 页 引言 1.课程内容： 必修课程 由 5 个模块组成： 必修 1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修 2：立体几何初步、平面解析几何初步。 必修 3：算法初步、统计、概率。 必修 4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修 5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解 三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证
2、打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程 有 4 个系列： 系列 1：由 2 个模块组成。 选修 1 1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。 选修 1 2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图 系列 2：由 3 个模块组成。 选修 2 1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修 2 2：导数及其应用，推理与证明、数 系的扩充与复数 选修 2 3：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。 系列 3：由 6 个专题组成。 选修 3 1：数学史
3、选讲。 选修 3 2：信息安全与密码。 选修 3 3：球面上的几何。 选修 3 4：对称与群。 选修 3 5：欧拉公式与闭曲面分类。 选修 3 6：三等分角与数域扩充。 系列 4：由 10 个专题组成。 选修 4 1：几何证明选讲。 选修 4 2：矩阵与变换。 选修 4 3：数列与差分。 选修 4 4：坐标系与参数方程。 选修 4 5：不等式选讲。 选修 4 6：初等数论初步。 选修 4 7：优选法与试验设计初步。 选修 4 8：统筹法与图论初步。 选修 4 9：风险与决策。 选修 4 10：开关电路与布尔代数。 2重难点及考点： 重点 ： 函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，
4、导数 难点： 函数、圆锥曲线 高考相关考点： 集合与简易逻辑 :集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件 第 - 3 - 页 共 102 页 函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用 数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用 三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍 、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用 平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用 不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用 直线和圆的方程
5、：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系 圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用 直线、平面、简单几何体：空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量 排列、组合和概率：排列、组合应用题、二 项式定理及其应用 概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布 导数：导数的概念、求导、导数的应用 复数：复数的概念与运算 高中数学 必修 1知识点 第一章 集合与函数概念 1.1集合 【 1.1.1】集合的含义与表示 （ 1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性 . （ 2）常用数集及其记法 N
6、表示自然数集， N 或 N 表示正整数集， Z 表示整数集， Q 表示有理数集， R 表示实数集 . （ 3）集合与元素间的关系 对象 a 与集合 M 的关系是 aM ，或者 aM ，两者必居其一 . （ 4）集合的表示法 自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合 . 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合 . 描述法： x |x 具有的性质 ，其中 x 为集合的代表元素 . 图示法：用数轴或韦恩图来表示集合 . （ 5）集合的分类 含有有限个元素的集合叫做有限集 .含有无限个元素的集合叫做无限集 .不含有任何元素的集合叫 做空集 ( ). 第 - 4 - 页 共 102 页
7、【 1.1.2】集合间的基本关系 （ 6）子集、真子集、集合相等 名称 记号 意义 性质 示意图 子集 BA （或)AB A 中的任一元素都属于 B (1)A A (2) A (3)若 BA 且 BC ，则 AC (4)若 BA 且 BA ，则 AB A(B)或B A真子集 AB （或BA） BA ，且 B 中至少有一元素不属于A （ 1） A（ A 为非空子 集） (2)若 AB且 BC，则 ACB A集合 相等 AB A 中的任一元素都属于 B， B 中的任一元素都属于 A (1)A B (2)B A A(B)（ 7）已知集合 A 有 ( 1)nn 个元素，则 它 有 2n 个 子集，它有
8、 21n 个 真子集，它有 21n 个非空 子集，它有 22n非空真 子集 . 【 1.1.3】集合的基本运算 （ 8） 交集、并集、补集 名称 记号 意义 性质 示意图 交集 AB | ,x x A 且xB （ 1） A A A （ 2） A （ 3） A B A A B B BA并集 AB | ,x x A 或xB （ 1） A A A （ 2） AA （ 3） A B A A B B BA补集 UA | , x x U x A且1 ()UAA 2 ()UA A U 【补充知识】 含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法 （ 1）含绝对值的不等式的解法 不等式 解集 | | ( 0)x a
9、a | x a x a | | ( 0)x a a |x x a 或 xa | | , | | ( 0 )a x b c a x b c c 把 ax b 看成一个整体，化成 |xa ，| | ( 0)x a a型不等式来求解 （ 2）一元二次不等式的解法 ( ) ( ) ( )U U UA B A B痧 ( ) ( ) ( )U U UA B A B痧 第 - 5 - 页 共 102 页 判别式 2 4b ac 0 0 0 二次函数2 ( 0 )y a x b x c a 的图象 O一元二次方程2 0( 0)ax bx c a 的根 21,2 42b b a cx a （其中 12)xx 1
10、2 2bxx a 无实根 2 0( 0)ax bx c a 的解集 1|x x x 或 2xx |x 2bx a R 2 0( 0)ax bx c a 的解集 12 | x x x x 1.2函数及其表示 【 1.2.1】函数的概念 （ 1） 函数 的概念 设 A 、 B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则 f ，对于集合 A 中任何一个数 x ，在 集合 B 中都有唯一确定的数 ()fx和它对应，那么这样的对应（包括集合 A ， B 以及 A 到 B 的对应法则 f ）叫做集合 A 到B 的一个函数，记作 :f A B 函数的三要素 :定义域、值域和对应法则 只有定义域相同，且对应法则也
11、相同的两个函数才是同一函数 （ 2）区间的概念及表示法 设 ,ab是两个实数，且 ab ，满足 a x b的实数 x 的集合叫做闭 区间，记做 , ab ；满足 a x b的实数 x 的集合叫做开 区间，记做 (, )ab ；满足 a x b，或 a x b 的实数 x 的集合叫做半开半 闭 区间，分别记做 ,)ab ， (, ab ；满足 , , ,x a x a x b x b 的实数 x 的集合分别记做 , ) , ( , ) , ( , , ( , )a a b b 注意： 对于集合 | x a x b 与区间 (, )ab ，前者 a 可以大于或等于 b ，而后者必须 ab （ 3）
12、求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ()fx是整式时，定义域是全体实数 ()fx是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数 第 - 6 - 页 共 102 页 ()fx是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合 对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于 1 tanyx 中， ()2x k k Z 零（负）指数幂的底数不能为零 若 ()fx是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集 对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知 ()fx的定义域为 , ab ，其复合函数 ( )f gx 的定义域
13、应由不等式 ()a g x b解出 对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论 由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义 （ 4）求 函数的值域或最值 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同求函数 值域与 最值的常用方法： 观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到 值域或最值 配 方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值
14、判别式法：若函数 ()y f x 可以化成一个系数含有 y 的关于 x 的二次方程 2( ) ( ) ( ) 0a y x b y x c y ，则在 ( ) 0ay 时，由于 ,xy为实数，故必须有 2 ( ) 4 ( ) ( ) 0b y a y c y ，从而确定函数的值域或最值 不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值 换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题 反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值 数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值 函数的单调性法 【 1.2.
15、2】函数的表示法 （ 5）函数的表示方法 表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种 解析法：就是用 数学表达式表示两个变量之间的对应关系 列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系 图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系 （ 6）映射的概念 设 A 、 B 是两个集合，如果按照某种对应法则 f ，对于集合 A 中任何一个元素，在集合 B 中都有唯一的元素和它对应，那 么这样的对应（包括集合 A ， B 以及 A 到 B 的对应法则 f ）叫做集合 A 到 B 的映射，记作 :f A B 给定一个集合 A 到集合 B 的映射，且 ,a A b B如果元素 a 和元素 b 对
16、应，那么我们把元素 b 叫做元素 a 的象，元素 a 叫做元素 b 的原象 第 - 7 - 页 共 102 页 1.3函数的基本性质 【 1.3.1】单调性与最大（小）值 （ 1）函数的单调性 定义及 判定方法 函数的 性 质 定义 图象 判定方法 函数的 单调性 如果对于属于定义域 I内某个区间上的任意两个自变量的值 x1、 x2,当 x 1 f(x 2 ) ，那么就说 f(x)在这个区间上是 减函数 y= f(X )yxo x x 2f( x )f( x )211（ 1）利用定义 （ 2）利用已知函数的单调性 （ 3）利用函数图象（在某个 区间 图 象下降为减） （ 4）利用 复合函数 在
17、公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数 对于复合函数 ( )y f g x ，令 ()u gx ，若 ()y f u 为增， ()u gx 为增，则 ( )y f g x 为增；若()y f u 为减， ()u gx 为减，则 ( )y f g x 为增；若 ()y f u 为增， ()u gx 为减，则 ( )y f g x 为减；若 ()y f u 为减， ()u gx 为增，则 ( )y f g x 为减 （ 2）打“ ”函数 ( ) ( 0)af x x ax 的图象与性质 ()fx分别在 ( , a 、
18、 , )a 上为增函数，分别在 ,0)a 、 (0, a 上为减函数 （ 3）最大（小）值定义 一般地，设函数 ()y f x 的定义域为 I ，如果存在实数 M满足：（ 1）对于任意的 xI ，都有 ()f x M ； （ 2）存在 0xI ，使得 0()f x M 那么，我们称 M 是函数 ()fx的最大值，记作 max()f x M 一般地，设函数 ()y f x 的定义域为 I ，如果存在实数 m 满足：（ 1）对于任意的 xI ，都有 ()f x m ；（ 2）存在 0xI ，使得 0()f x m 那么，我们称 m 是函数 ()fx的最小值，记作 max()f x m y x o
19、第 - 8 - 页 共 102 页 【 1.3.2】奇偶性 （ 4）函数的奇偶性 定义及 判定方法 函数的 性 质 定义 图象 判定方法 函数的 奇偶性 如果对于函数 f(x)定义域内任意一个 x，都有f( x)= f(x) ,那么函数f(x)叫做 奇函数 （ 1）利用定义（要先判断 定义域是否关于原点对称） （ 2）利用图象（图象关于原点对称） 如果对于函数 f(x)定义域内任意一个 x，都有f( x)= f(x) , 那么函数f(x)叫做 偶函数 （ 1）利用定义（要先判断 定义域是否关于原点对称） （ 2）利用图象（图象关于 y轴对称） 若函数 ()fx为奇函数，且在 0x 处有定义，则
20、 (0) 0f 奇函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相反 在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数 补充知识函数的图象 （ 1）作图 利用描点法作图： 确定函数的定义域； 化解函数解析式； 讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； 画出函数的图象 利用基本函数图象的变换作图： 要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象 平移变换 0,0 , |( ) ( )hhy f x y
21、f x h 左 移 个 单 位右 移 | 个 单 位 0,0 , |( ) ( )kky f x y f x k 上 移 个 单 位下 移 | 个 单 位 伸缩变换 0 1 ,1,( ) ( )y f x y f x 伸缩 0 1 ,1,( ) ( )AAy f x y A f x 缩伸 对称变换 ( ) ( )xy f x y f x 轴 ( ) ( )yy f x y f x 轴 ( ) ( )y f x y f x 原 点 1( ) ( )yxy f x y f x 直 线 ( ) ( | | )yyyy f x y f x 去 掉 轴 左 边 图 象保 留 轴 右 边 图 象 ， 并
22、作 其 关 于 轴 对 称 图 象 ( ) | ( ) |xxy f x y f x 保 留 轴 上 方 图 象将 轴 下 方 图 象 翻 折 上 去 第 - 9 - 页 共 102 页 （ 2）识图 对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对 称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系 （ 3）用图 函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具要重视数形结合解题的思想方法 第二章 基本初等函数 ( ) 2.1指数函数 【 2.1.1】指数与指数幂的运算 （ 1）根
23、式的概念 如果 , , , 1nx a a R x R n ，且 nN ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根 当 n 是奇数时， a 的 n 次方根用符号 na 表示； 当 n 是偶数时，正数 a 的正的 n 次方根用符号 na 表示，负的 n 次方根用符号 na 表示； 0的 n 次方根是 0；负数 a 没有 n 次方根 式子 na 叫做根式，这里 n 叫做根指数， a 叫做被开方数 当 n 为奇数时， a 为任意实数；当 n 为偶数时， 0a 根式的性质： ()nn aa ；当 n 为奇数时， n naa ；当 n 为偶数时， ( 0 )|( 0 ) n n aaaa aa （ 2）分数指
24、数幂的概念 正数的正分数指数幂的意义是： ( 0 , , ,m n mna a a m n N 且 1)n 0 的正分数指数幂等于 0 正数的负分数指数幂的意义是： 11( ) ( ) ( 0 , , ,mm mnn na a m n Naa 且 1)n 0 的负分数指数幂没有意义 注意口诀： 底数取倒数，指数取相反数 （ 3）分数指数幂的运算性质 ( 0 , , )r s r sa a a a r s R ( ) ( 0 , , )r s rsa a a r s R ( ) ( 0 , 0 , )r r rab a b a b r R 【 2.1.2】指数函数及其性质 （ 4）指数函数 函数
25、名称 指数函数 定义 函数 (0xy a a且 1)a 叫做指数函数 图象 1a 01a 0 1 xayxy(0,1)O1y0 1 xayxy(0,1)O1y第 - 10 - 页 共 102 页 定义域 R 值域 (0, ) 过定点 图象过定点 (0,1) ，即当 0x 时， 1y 奇偶性 非奇非偶 单调性 在 R 上是增函数 在 R 上是减函数 函数值的 变化情况 1 ( 0)1 ( 0)1 ( 0)xxxaxaxax1 ( 0)1 ( 0)1 ( 0)xxxaxaxaxa 变化对 图象的影响 在第一象限内， a 越大图象越高；在第二象限内， a 越大图象越低 2.2对数函数 【 2.2.1
26、】对数与对数运算 （ 1） 对数的定义 若 ( 0 , 1)xa N a a 且 ，则 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 logaxN ，其中 a 叫做底数， N 叫做真数 负数和零没有对数 对数式与指数式的互化： l o g ( 0 , 1 , 0 )xax N a N a a N （ 2）几个重要的对数恒等式 log 1 0a ， log 1aa ， log ba ab （ 3）常用对数与自然对数 常用对数： lgN ，即 10logN ；自然对数： lnN ，即 logeN （其中 2.71828e ） （ 4）对数的运算性质 如果 0 , 1, 0 , 0a a M N ，那么 加法： l og l og l og ( )a a aM N MN 减法： lo g lo g lo ga a a MMN N数乘： lo g lo g ( )naan M M n R loga NaN l o g l o g ( 0 , )b n aa nM M b n Rb 换底公式： l o gl o g ( 0 , 1 )l o g ba b NN b ba 且
