1、第 1 页，共 13 页对原函数存在条件的探讨中文摘要 在微积分学中原函数存在是其理论的核心原函数存在定理初步揭示了积分学中定积分与原函数之间的关系引用导函数的性质以及微积分基本定理来论证原函数存在得到了原函数存在的条件对原函数存在条件的探讨最后用原函数存在的条件去解决生活中的实际例子Abstract: in calculus, the original function existence is the core of the theory. The original function existence theorem initially revealed the relationship
2、 between the original function and the integral in integral calculus and reference guide function and the fundamental theorem of calculus to prove the existence of primitive function, the original function of the existence condition is obtained, discussion on the existence conditions of the original
3、 function, conditions for the original function exists to solve practical examples in life.关键词 原函数 定积分 导函数 微积分基本定理Keywords: primary function, integral, derivative, the fundamental theorem of calculus, Newton Leibniz formula引言 微积分基本定理即原函数存在定理和 肯定了连续函数的原公式函数存在的重大意义有利于我们研究原函数的特殊性质 则是证明公式原函数存在的一个公式因此它们都
4、具有十分重要的意义在教学中我们学习了导数性质不定积分可积的概念来计算定积分利用计算定积分的值然而定积分的计算用黎曼可积往往比较复杂为寻公式求简便计算方法引入原函数为此原函数和可积之间在某些情况下就联系起来了在微积分学中我们探讨原函数存在的条件能够充分认识导函数的性质证明原函数存在通过原函数存在性将积分与导数紧密联系在一起其中运用到将导数和定积分连接起来函数可积的条件导函数的一些性质充分公式利用它们的关系导出原函数存在的条件并推广和运用得到实践效果使复杂问题简单化发挥数学独到的美感第 2 页，共 13 页1.原函数1.1 原函数的定义定义 1.1 函数 与 在区间 上有定义若 或者FxfIFxf
5、I则称 为 在区间 上的一个原函数(),dfdIFxfI注 对于原函数的说法是有针对性的必须指明在哪个区间这样原函数才有意义1.2 可积的概念及相关定理定义 1.2.1 设 为 上的函数在 中插入若干个分点(这里插入 个)()fx,ab,)ab1n011nxx来划分区间 在每一个部分区间 中任取一点 作和式,i i1()iif其中 设 为 中的最大数即1iix,2xn1,maii当 时如果和式 的极限存在即001li(),niIfx就称此极限值为 在 上的定积分()fx,ab记为 .数 分别称为积分上限与积分下限baIfd和式 称为 的积分和()fx注 在上述意义下的定积分也叫黎曼积分简称 积
6、分R定理 1.2.1(定积分存在的充要条件)函数 在 可积的充要条件是()fx,abLl即_0lims第 3 页，共 13 页(其中 为达布上和 为达布下和)_ss定理 1.2.2 设 是 上的有界函数则 (表示 在 上黎曼fx,ab,fRab)fx,ab可积)当且仅当其上下积分相等此时有 bba aafdxfxfd定理 1.2.3 若 则 .(其中 表示 在 上连,fC,fR,fC()fx,ab续)定理 1.2.4 若 是 上的单调函数则 .fx,ab,fab定理 1.2.5（Du Bois Reymond） 上有界函数可积的必要条件是：对任给的,存在分划 ： 其相应于 的子0,012,nx
7、x i区间 的长度的总和小于 .ix定理 1.2.6(牛顿莱布尼茨公式（Newton-leibniz 公式）设 在 上可积且在 上有原函数 则f,ab,abFx()()()defbaafxdF（下文中简称此公式为 N-L 公式）1.4 原函数的意义定积分的值是在可积基础上计算出来的而在微积分学中有些定积分往往不是太容易计算而利用 寻找被积函数的原函数从而可以把复杂问题简单化 公式利用定积分和导数的关系用 把定积分和原函数联系起来可以公式得到原函数利用原函数求定积分生活中也经常出现这些类似的问题在我们设计铁路公路天空中飞机的航线往往需要微积分定理的知识将定积分和原函数紧密联系在一起将误差降低到最
8、小保证人们的安全具有十分重要的意义2.原函数存在的条件2.1 原函数存在的定理及证明定理 2.1(充分条件）若函数 在区间 上连续且在 处连续则其()fx,ab0,xab第 4 页，共 13 页变上限积分 ()xafdtxb在点 处可微且其导数等于 .(当 是端点 或 时是指右左导数)0x0fab证明 记 且不妨讨论它在 处的右导数.()(),xaFft 0(,x首先取 ,因为有0:hb0()()xhaftd00()xhft0(),xF所以其差商 满足0(xh000)()fx001()(xhhxftdfdt00x0()hftt其次根据 在点 处的连续性可知对任给 存在 使得()fx0 0且()
9、.,tftab00.xt现在取 就有10min,bx.0 0 1() ,xhxhftdtth从而又可得差商的估计式：.0001()().Ffxh这说明 000 0()()lim)hFxfx同理可证得 00()Ffx第 5 页，共 13 页综上 在 上可微且其导函数等于()xafdtxb0()fx注 由 的任意性可以得到在 上 处处可导从而变上限积分 0 ,a()xaftd ()xaftd也就为 的原函数()fx定义 2.1 若函数 在点 的左右极限都存在但不相等或者 在点 的左右0 ()fx0极限存在且相等但不等于 （或在点 处无定义）则称 为第 类间断点()fx0x0I定义 2.2 函数 在
10、点 的左右极限中至少有一个不存在则称 为第 类间断()fx0 x点定理 2.2 (导函数极限定理)设函数 在点 的某领域 连续在 内可导如果极限()fx00()Ux0()x存在则函数 在点 处可导且0limxf()f0 lim()xf定理 2.3(达布定理)设 是某个区间 内的可微函数 是 内任意两点 而(fxIabI()fafb是 和 之间的任意值则必有一点 使得)afb(,)定理 2.4(原函数存在的必要条件 1)在某区间 上处处有定义的导函数 如果在 内有间断点那么这个间I ()fxI断点必为振荡间断点证明 设 在区间 内某一点 处间断那么由定理 2.2 和定理 2.3 可知 肯()fx
11、I0x 0x定不是第一类间断点（否则 必在区间 连连续） 也不是无穷间断()fI0x点不妨设 故 不存在故矛盾0lim()xf0x0)fx推论 2.1 定义在某个区间 内的函数 若 有可去间断点或者在间断点处I(的左右极限中有一个为无穷则 在区间 上不存在原函数()f )fxI定理 2.5 （原函数存在的必要条件 2）若函数 在某个区间 内存在原函数则函数 在区间 内具有介()fxI()fxI第 6 页，共 13 页值性推论 2.2 设 且有定义在 上的可微函数 满足,fcab,cd(),x()(),xaxbcd则函数 (),xFftdc在 上可微且有（看成复合函数）,cd ()()().xf
12、xfx推论 2.3 设 且在开区间 上 有原函数 .,fRab,ab()F（1 ） 若 在 上连续 =()Fx,()fxd()a（2 ） 若在点 , 上有 则lim,lixaxbFAB()()bafdB2.2 原函数存在与否的实例例 2.1 计算定积分 130Jxd解 方法一 利用定积分概念当 为各小区间 的右端点时有i1,in31lim()nJ2li4n此题关键利用 321(1)4ni方法二 被积函数 在 上连续的则由定理 2.1 知存在原函数又3()fx0,得如下由 公式410J第 7 页，共 13 页注 比较上面两个方法可以知道利用函数可积的概念计算不定积分往往比较困难然而利用原函数和
13、N-L 公式计算不定积分相对容易些例 2.2 狄里克莱函数（dirichlet 函数）1,()0xD为 有 理 数 ,， 为 无 理 数 .在 内每一点都是 的第二类间断点问是否 dirichlet 函数存在原-+，函数解 在任意闭区间 内不具有介值性且 在 内不连续()x,ab()Dx-+，由推论 2.1 知狄里克莱函数不存在原函数注 dirichlet 不连续也不存在原函数例 2.3 若函数 12sin()cos()x0,()0,.xf，求 的原函数()fx解 当 时由于 在 时连续0()fx因而由定理 2.1 知 存在原函数即()fx1()2sinFx当 时 也存在原函数即0xf()0因
14、此原函数为 12sin()0,()0,.xF，注 1)此函数在 上不连续但存在原函数由上面例子知不能说明原函数存在R的必要条件2)可以断言如果不存在原函数那么这个函数一定不连续第 8 页，共 13 页例 2.4 设函数 0,()1,.xf，问是否存在一个以 为其导数的一个原函数fx解 因 在 上只有在 不连续据定理 1.2.6 知该函数可积但()fx-+， 0x为 的第一类间断点从而不存在原函数0注 此例函数不可积但是其原函数存在3 原函数存在和函数的可积性的联系3.1 函数的原函数存在性问题由 可以知道函数可积和原函数密切联系函数可积的条件公式满足（定理 1.2.1 至定理 1.2.6 满足
15、可积）可以计算原函数如果函数不连续是否也能存在原函数呢计算定积分下面我们将讨论例 3.1 设 在 上黎曼可积且有 求()fx0,1 120()()fxfxd()f解 在 上黎曼可积,并记 为（1）式120()()fxfxd两边同时对 求导可得 记为（2）式在 上连续()fx,1由定理 2.1 知 具有原函数即 记为（3）式()fx2()fxc将（3）式代入（1）式有： 12220()cd6xc解得13c2()fx引理 3.1 在区间 上的导数 它在 上没有第一类间断点I()fxI第 9 页，共 13 页定理 3.1 若函数 在区间 不连续且存在第 类间断点则 在区间 一定不()fxII()fx
16、I存在原函数证明 若函数 在区间 上存在原函数 则()fI()Fx()Fxf定理 2.3 知若 有间断点必为振荡间断点与存在第 类间断点矛盾I一定不存在原函数()fx例 3.2 证明黎曼函数1,(,),()001).ppxqNqR当 为 既 约 真 分 数当 和 内 的 无 理 数在 内不存在原函数0,1证明 在 不连续且存在第一类间断点()x,1定理 3.1 知 不存在原函数()Rx注 此例说明了不连续的函数没有原函数但函数却可以是可积的例 3.3 已知函数 1()fx问原函数是否存在？解 函数 的第 类间断点(无穷间断点)0x()fxI由推论 2.1 知 在 处不存在原函数0结论 (1)若
17、函数 在区间 上只有第 类间断点则不存在原函数()fxII(2)若函数 在区间 上只有无穷间断点则不存在原函数(3)若函数 在区间 上只有振荡间断点则原函数的存在性需要经进一()fxI步探讨（由例 2.2 和例 2.3 可知）3.2 函数的可积性与原函数存在无蕴涵关系例 3.2.1 已知第 10 页，共 13 页221sin()cos(),0()0,.xxf求原函数 ()Fx解 当 时 的某个原函数为f221()sin()cos()xdx2C当 时 的原函数为0x()f201limsn()xFC故原函数为 21sin(),0()0,xF注 此 在 上无界由定理 1.2.1 知 不可积但是 却存
18、在原函()fx,)()fx()fx数结论 3.2.1 若函数可积不一定存在原函数结论 3.2.2 若函数不可积也可能存在原函数因此函数可积性和函数的原函数存在并无蕴涵关系4 原函数的存在性的推广及运用例 4.1 计算定积分241xId解 在 时易知0x242()11xdarctnxC第 11 页，共 13 页这说明在 上 的原函数之一是1,0)(224x21()arctnFxx但因我们有 0()lim()2x0()li()xF所以根据推论 2.3 知 22044101xIdx()()FF32arctn4例 4.2 设 讨论 是否存在原函数1,()xf是 有 理 数 ，5， 是 无 理 数 .(
19、)fx解 函数 不具有介值性f由定理 2.5 可知 不存在原函数()fx例 4.3 设试问 是否存在原函数2,0()1.xff解 当 时 处处连续或 ()fx而当 时0x0lim()1f()xf当 是 的第一类间断点0x根据定理 3.1 可知函数 在 处没有原函数()f第 12 页，共 13 页例 4.4 设 试问 是否存在原函数21cos(),0(),.xfC()fx解 显然当 时 处处连续0()f（1 ） 若 时2001limlicos()0()xxf在点 处连续 ()f根据原函数存在定理可知 在实数域 上存在原函数()fxR（2 ） 若 0C201li()licos()0xxf在点 处为
20、 的第一类间断点f据定理 3.1 可知 不存在原函数()综上, 当 时 不存在原函数0C()fx当 时 存在原函数例 4.5 设 试讨论 是否存在原函数2213cos()in(),0(),0.xxfC ()fx解 不存在22001lim()lis()i()xxfx点 为 的振荡间断点f当 时 有原函数C()321cos(),0()0,.xF当 时 在 处不存在原函数C()f5 总结通过资料查阅对原函数条件进一步了解去运用原函数去解决某些实际问题本文首先给出了原函数的概念利用原函数计算定积分进一步给出可积的相关定理第 13 页，共 13 页其次对原函数存在的条件进行讨论再次从原函数与定积分的关系
21、可积函数的原函数是否存在进行探讨等最后应用定理解答若干例子本文中原函数最终是一个函数因此函数值有很多利用原函数存在定理可以知道函数可积是原函数存在的某一个函数值因此函数有原函数存在要比函数可积要多得多故只讨论了原函数存在的某一个局部性质本文的不足在于不能对原函数存在与可积性的关系给以理论上的证明只给出了反例还有就是对原函数存在条件的试探还太浅面不够深入参考文献1 华东师范大学数学系.数学分析第三版M.高等教育出版社 ,1999.2 周民强.数学分析第二册M.上海科学技术出版社 ,2003.3 吴崇俭,钱林宁.关于原函数存在条件的讨论 J.安徽建设工业学院学报 ,1995,(1).4 陈妙琴,关
22、于函数可积与原函数的存在性问题J.福建教育学院报,2007.5 胡宏, 戴冕,原函数的存在性J.淮阴工业专科学校学报 .2000,(1).6 张申媛,关于函数可积性与原函数存在问题J.中国科技信息.2011(01).7 马保国,王延军.分段函数函数的可积性与原函数存在性J.大学数学.2009(02).8 贺彭雄,浅谈不连续函数的原函数J.湖北成人教育院学报.2007(05).9 王薇, 定积分中的间断点与原函数存在性问题之探讨 J.南京工业职业技术学院报.2004(02).10冯春 .原函数性质的讨论及运用J.高等数学研究.2004(06).11同济大学应用数学系.高等数学( 第五版)M 北京,高等教育出版社,2003.12华东师范大学数学系数学分析( 第二版)M北京 ,高等教育出版社,1991.13张筑生 .数学分析新讲M.北京,北京大学出版社,1990.14闫彦宗 ,陈海鸿,岳晓红,可积性与原函数存在性的关系J.安庆师范学院学报(自然科学版),2003(02).15耿彦如 ,振荡间断点的几个性质J, 邢台学院学报 ,2010(04).16孔真 ,函数连续与函数可积和原函数存在性的关系J,黑龙江科技信息,2015(14)
