1、函数的极限的求解方法摘 要：本文介绍了计算函数极限的几种方法，讨论如何运用已掌握的知识方法计算极限 关键词：零因子：初等法：两个重要极限 ：等价无穷小： 等价无穷小替换 ：函数的连续性 ： HospitalL法 。引 言 极限思想是许多科学领域的重要思想之一. 因为极限的重要性，从而怎样求极限也显得尤其重要. 对于一些复杂极限，直接按照极限的定义来求就显得非常困难，不仅计算量大，而且不一定能求出结果. 为了解决求极限的问题，有不少学者曾探讨了计算极限的方法 . 本文也介绍了计算极限的几种方法，并对文献结论进行了推广，讨论如何利用我们已有的知识计算极限，并且以实例来阐述方法中蕴涵的数学思想.函数
2、的极限主要表现在两个方面：一、自变量 x任意接近于有限值 0x，或讲趋向（于） 0x（记 0x）时，相应的函数值 )(f的变化情况.二、当自变量 的绝对值 无限增大，或讲趋向无穷大（记 ）时，相应的函数值 xf的变化情况.相关知识点（一） “ 0x”形：定义 1：如果对 （不论它多么小） ，总 0，使得对于适合不等式 0的一切 x所对应的函数值 )(xf满足：Axf)(，就称常数 A为函数 )(f当 0x时的极限，记为nlim，或 f)( （当 时）注 1：“ 与 0x充分接近”在定义中表现为： ，有0x，即 ,0U.显然 越小， x与 0接近就越好，此与数列极限中的 N所起的作用是一样的，它
3、也依赖于 .一般地，越小， 相应地也小一些.2：定义中 0x表示 0x，这说明当 0时， )(xf有无限与 )(0xf在 点（是否有）的定义无关（可以无定义，即使有定义，与 值也无关）.3：几何解释：对 ，作两条平行直线 Ay,.由定义，对此 0,.当 0xx，且 0x时，有Axf)(.即函数 )(xfy的图形夹在直线y,之间（ 0可能除外）.换言之：当)(0U时， ),()Uf.可见 不唯一！例 1 证明 3212lim1xx.证明：对 0，因为 ,a所以 )12(312312. xxx此处 1x，即考虑 0附近的情况，故不妨限制 为 0，即 20， .因为 31)(3,1xx，要使3212
4、x,只须3，即 .取 ,min（利用图形可解释） ，当 10x时，有312x.定理 1：（保号性）设 Af)(li0，（i） 若 )(A，则 ，当 ),(0xU时， 0)(xf)(f.（ii） 若 0xff，必有 .注：在(i)中的“ ”， “”不能改为“ ”， “ ”.在(ii)中，若 )(f，未必有 0A.定义 2：对 0， ，当 0xx时，当 00x时，有 Axf)(.这时就称 为 )(f当 0时的左右极限，记为lim0或 Axf)(. xlim0或 Af)(.定理 2：（充要条件） xfxfxx(limli)(li 000 .（二） “ ”形：定义 3：设 )(xf当 )(a时是有定义
5、的，若对 )(,aX，当 Xx时，有 A，就称 为 )(xf当 时的极限，记为 flim或 f)(（当 时）.注 1：设 )(在 ,ba上有定义，若对 0,，当)(Xx时，有 Axf)(，就称 为 )(xf当时的极限，记为 Afx)(lim，或 A（当） （ fx)(lim，或 f)(（当 ） ）.2：（充要条件） xffxxx )(li)(lili .3：若 Afx)(li，就称 y为 的图形的水平渐近线（若 或 fx)(li，有类似的渐近线）.例 2 证明 0snlimx.证明：对 ，因为 xx1sinsi，所以要使得 0sinx，只须11x，故取 X，所以当 X时，有i，所以 0sinl
6、mx.（三） 无穷小与无穷大一、无穷小定义 1：对 ,0若 )0(X，使得当 )(00Xx时，有 )(xf成立，就称 xf为当 )(x时的无穷小，记为)(limli0 fx.注 1：除上两种之外，还有 0,0x的情形.2：无穷小不是一个数，而是一个特殊的函数（极限为 0） ，不要将其与非常小的数混淆，因为任一常数不可能任意地小，除非是0 函数，由此得：0 是唯一可作为无穷小的常数.定理 1：当自变量在同一变化过程 0x（或 ）中时：（i） 具有极限的函数等于其极限与一个无穷小之和，即： A为 )(xf的极限 Af)(为无穷小.（ii） 若一函数可表示为一常数与无穷小之和，那么该常数就是其极限.
7、二、无穷大定义 2：若对 )0(,0XM，使得当 )(00Xx时，有 xf)(，就称 )xf当 x时的无穷大，记作: )(lim)(li0 xfxf .注 1：同理还有 ,时的定义.2：无穷大也不是一个数，不要将其与非常大的数混淆.3：若 )(li0xf或 )(lixf，按通常意义将， )(xf的极限不存在.定理 2：当自变量在同一变化过程中时，（i）若 )(xf为无穷大，则 )(1xf为无穷小.（ii）若 为无穷小，且 0，则 )(1xf为无穷大.（四）函数极限运算法则由极限定义直接来求极限是不可取的，因此需寻求一些方法来求极限.定理 1：有限个无穷小的和仍为无穷小，即设 0)lim(0li
8、,lim注 1： u与 都表示函数 )xu与 ，而不是常数.2： “ ”下放没标自变量的变化过程，这说明对 0x及x均成立，但须同一过程.定理 2：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小，即设 u有界，0lim0liu.推论 1：常数与无穷小的乘积仍为无穷小，即若 k为常数，lilik.推论 2：有限个无穷小的乘积仍为无穷小，设 0)lim(0li2121 nn.定理 3：若 BxgAxf)(lim,)(li ，则 )xgf存在，且 (li)(lim xfgf .注：本定理可推广到有限个函数的情形.定理 4：若 xgxf)(li,)(li ，则 )(ligf存在，且)(lili fABgf .推论
9、1： mlicf（ c为常数）.推论 2： nn)(（ 为正整数）.定理 5：设 0)(li,li xgxf ，则 )(lim)(lixgfBAxgf.定理 6：如果 )(x，且 bxax)(lim,)(li，则 a.推论 1：设 nnaf 110)( 为一多项式，当 )(lim0000 fx.推论 2：设 )(,QP均为多项式，且 )(xQ，由定理 5，)(li00x.例 3 221li5)153x.（利用定理 3）例 4 097397m0x（因为 05）.注：若 )(Q，则不能用推论 2 来求极限，需采用其它手段.例 5 求 2li1xx.（消去零因子法）解：当 时，分子、分母均趋于 0，
10、因为 1x，约去公因子 )1(x，所以 532lim32li11 xxx.例 6 求 )(mx.解：当 1,3x全没有极限，故不能直接用定理 3，但当 1x时， 12)(132xx，所以 )(lim(lim2131 xx.例 8 证明xx,1li为 的整数部分.证明：先考虑，因为 x是有界函数，且当x时， 0x，所以由定理 21lim0)1(lilim xxx.（五） 极限存在准则、两个重要极限收敛准则： 如果函数 )(,)(hgf满足下列条件：（i）当 )(,0MxrUx时，有 )()(xhfxg.（ii）当 时，有 A,.那么当 时， f的极限存在，且等于 .两个重要极限： 00100si
11、nsilml()1lililim(0)xx xxxx ex 例 9 1sinl)sin(lsil 0ttxtxx .（做替换）例 10 2)i(l2ilco1lim0020 xxxx.（先三角变换）22)1(lim)1(li)1(li exxxxx （六） 无穷小的比较定义：设 与 为 在同一变化过程中的两个无穷小，(i)若 0lim，就说 是比 高阶的无穷小，记为 )(o；(ii) 若 ， ，就说 是比 低阶的无穷小；(iii) 若 0liC， ，就说 是比 同阶的无穷小；(iv) 若 1，就说 与 是等价无穷小，记为 .注 1：高阶无穷小不具有等价代换性，即： )(),(22xox，但 )
12、(xo，因为 )(o不是一个量，而是高阶无穷小的记号；2：显然(iv)是(iii)的特殊情况；3：等价无穷小具有传递性：即 ,；4：未必任意两个无穷小量都可进行比较，例如：当 0x时，x1sin与 2既非同阶，又无高低阶可比较，因为20limx不存在；5：对于无穷大量也可作类似的比较、分类；6：用等价无穷小可以简化极限的运算，事实上，有：定理 1：（等价替换法则）若 ,均为 x的同一变化过程中的无穷小，且 ,，及 limk，那么 lilimk.例 12 求 xx20sinco1l.解：因为当 时， xi所以 21coslsil020 xx.例 13 求arcnm解：因为当 时， xarcsi，
13、所以 原式 12l2li00 xx .注 7：在目前，常用当 时，等价无穷小有：sin,ta,arcsin,arctn,xx， 21l11oxxe:；8：用等价无穷小代换适用于乘、除，对于加、减须谨慎！（七）连续性与罗必达法则定理 1：设 )(xu当 0时的极限存在且等于 a，即 ax)(lim0，又设 fy在 a处连续，那么，当 0x时，复合函数)(的极限存在，且等于 )(af，即 )(li0ff.注：可类似讨论 x时的情形.定理 2：设函数 )(u在点 0x连续，且 0)ux，函数)(fy在 0点连续，那么，复合函数 (fy在点 0x处连续.例 14 求 xxsinlim（利用函数的连续性
14、来求极限）解：因为 10x，及 u2在 1点连续，故由上述定理，00sinsinli2lx x.HoptalL法则：在求 )(imFfx或 )(lifx时，若发现 )(,xFf同趋于 0，或同趋于 ，则此时上述极限可能存在，也可能不存在.要根据具体的函数来进一步确定，如 nmx0li， nxli，我们通常把这种极限称为0或 型的未定式（不定式） ，这种未定式是不能用“商的极限等于极限的商”这一法则来计算的 .定理 3：（ HospitalL法则）若 )(,xFf满足：(i) 0)(im)(xfa；(ii) ,F在 的某去心邻域内可导，且 0)(xF；(iii) Axfax)(li（ 可为有限数
15、，也可为 或 ） ；则： fxlim.注 1：“ ”可改为“ x”或“ x”，只不过对(ii)作相应的修改，结论仍成立.2：若 )(lixFfax仍为 0型未定式，则可再次使用法则，这时，)(lim)(limxFffaxax直到极限不是未定式为止.3： HospitlL法则的三个条件缺一不可，表现在(a)若不是未定式，则不能使用，否则会导致错误；(b)若(iii) 不成立，也不能用，否则也会导致错误；4： 型未定式的 HospitalL法则：可将上定理的(ii)(iii)不变，(i)改为：(i)： )(lim)(lixFfaax 即可，结论仍成立.5：其它还有 0,1,0等型的不定式，但它们经
16、过简单的变形都可化为 型或 型的未定型，然后HospitalL法则.例 15 求 xx2tnc1lm.解：21)cos(limcos1tailitasli 322 xxxx .注：在应用 HspitlL法则时，要注意法则的条件是否满足，不可乱用.例 16 xxsinlim能否用 HospitalL法则？解：若用 optalL法则，则有xx cs1isili 不存在， （分子，分母的极限不存在） 10inliinli xxx.【求函数极限的方法总结与例题】在“知识点”部分结合相关知识点，给出一些例题，但有必要将函数极限的求法进行归纳并给出例题.例题的解法突出一题多解或诸方法结合使用.现归纳如下七
17、点：消去零因子法，既把式子中的 0 因子消去。：初等法（如三角变换，有理化，通分，分子分母同除一个函数） 。：利用两个重要极限及收敛准则，既利用 00100sinsilml()1lililim(0)xx xxxx ex 和函数极限的收敛准则进行运算。：等价无穷小的性质及等价无穷小替换法进行运算。：利用函数的连续性，进行运算。：利用 HospitalL法则（非常重要的工具） 。：上述诸方法结合使用.例 1 求极限26lim4x解：（消去零因子）2223635lilimli44xxx例 2 求极限 02lix解：（初等法）000 0242424limli1li limxxx xxxx 例 3 求极
18、限3241lix解：（初等法）3224410limli133xxx例 4 求极限 1lix解：（初等法）3 221 1 1limlimlim1x x xx例 5 求极限 0snsilix解：（两个重要极限及收敛准则）0 00 001sinsi1sinsi1sinsilimlm2i 2sil ll 21sinsi1sinsix xx xxxxx 例 6 求极限1lx解：（两个重要极限及收敛准则） 21111limlilimlimlixx xxxxx x e 例 7 求极限 0li1sinxx解：（两个重要极限及收敛准则）0 sin1sin0 sinlim1sin0lim1sinllisix xx
19、 xx xxx e 例 8 求exin1l0. 解 1：（等价无穷小替换法则） 00limli11ssx xxee:.解 2：（ HopitalL法则） 00limli1sncosxxe例 9 求 01csnx解 1：（初等法及重要极限） 2 2000sisincos11limllimnnsixxxx解 2：（等价无穷小替换法则）20011coslilinxx解 3：（ HptaL法则）000 001cossi111limlilimnco 2coslimlicosnsnxxx xx例 5 求artlix解 1：（等价无穷小的性质）1arctnarctn,li02xx且 当 是 无 穷 小 ，解 2：（ HospitlL法则）21arctnlimlixx例 11 求0n1lmx解 1：（函数的连续性）11000ln1imlinlimlnxxxxxe解 2 （ HosptaL法则）00ln11ilixx注：还可以利用泰勒展开式等求解.例 12 求 xnelim， （n 为正整数， 0）.解：（多次用 HospitalL法则） 0!lim)1(lili 21 xnxxnxxnx eeee .
