1、1常见函数极限的求法（西北师范大学 数学与统计学院 甘肃 兰州 730070）摘要 极限是高等数学最重要的概念之一，也是高等数学的主要运算微分法和积分法的理论基础，本文用实图论述了求极限的几种方法，介绍了求极限的一些技巧。关键词 常用函数 极限 求解方法 技巧 洛必达法则Common functions to limit(Northwest Normal University School of Mathematics and Statistics Lanzhou Gansu 730070)Wan Fang JunAbstract Extreme is one of the most impo
2、rtant concepts of higher mathematics, major operators are also higher mathematics-the theoretical basis of differentiation and integration with examples of this article discusses several common methods seek limits, limits introduced seeking some tips.Keywords Common functions Limit Solving methods T
3、echniques Hospital LRule第一类 数列极限的求法归纳一 数列极限的定义定义 1 设 为数列。若对任给的数 ，总存在整数 ,使得当 时有naNn,an则数列 收敛于 ，定数 称为数列 的极限，并记作n 或nlimn).(定义 2 任给 ，若在 之外数列 中的至多只有有限个，则称0);(aUa数列 收敛于极限 .naa二 求数列极限的方法方法一 利用数列极限定义求极限方法N要点 要证明 ,按定义； ， ，当 时，有Aanlim0Nn，就是要根据 找 ，一般有三种方法；an N21（等价代换法求最小的额 ） ，将绝对值不等式 作等价N0 Axn代替解不等式，解出 ).(n然后令
4、 ，则 时，有 .)(NnnAx2 （放大法）有时 很难解出 ,只好将表达式 简化、放大,Axn是之成为 的新函数记作 ；)(H).(nAxn于是，要 ，只要 即可，解不等式 ，求得Axn )( )(H于是令 ，则当则 时，有 .)(NNxn3（分步法）有时 特别复杂，无法进行放大简化，只有设定 已足够xn n大，例如已大过某个数 ，我们发现当 时， 可简化，放大成t tAxn，即)(nH,)(HAxn于是解不等式 ，求得 ,则令)(nHN,)(,max1N当 时，有 .NnAx例 1 法证明 .1limn证明 （放大法） ，要 记 此式可改写成0 ,1nn)1(,22anan得 .42111
5、20 nnna 3（当 时），至此要 ，只要 ，即 ，故令 则1nan4216216n时，有 .N1例 2 设 （有限数），试证：Axnlim.lim21Anxx证 （分步法）当 为有限数时， .21nAxxAnn又因 ，故 ， ， 时， 从而上式Axnlim01N1,2n.2111nXN注意到 已为定数，因而 当 时，Axx11 ,02N2n.11nAx于是令 则 时，,max21N.211nNAxn拟合法要点 为了证明 ，关键问题在于证明 能任意小.为此,一般AxnlimAxn来说应尽可能将 的表达式简化.值得注意的是,有时 虽然不能简化,反倒是可以把 复杂化 ,写成与 相类似的形式,这种
6、方法称为拟合法 .Anx4例 3 设 时, 试证0x.12,1niafxf .0limaxn证 注意到 ，12312 222 nni所以 ,从而ain12xnni niaf1122.ni nf122若我们能证明 分大时,0 ,2,1222 ninainif 则（1）式有端 .12ni问题获证.要证明(2)式,亦即要证明 .12anif事实上,因为 （当 ）,因此 当 时有xf0,0, x.1axf于是,令 则 时,2aNnai20.,21ni从而按 式有 式成立 .43方法二 用 Cauchy 准则求极限Cauchy 准则 数列 收敛 时,有nx Nnm,0,当5.0,0pxNnx npnm
7、时 ，当Cauchy 准则的优点是没有必要事先知道极限的猜测值 .A例 4 设 试证 收敛.,2sisi21nn n证明 因 pnnnpx2112,121211nnnpn收敛,获证.nnpxxNn 0,10 有时则故 令方法三 利用单调有界原理求极限单调有界原理:设数列 递增有上界,则 存在且有 ,或nxnxlimnnxsupli设数列 递减有下界则 存在且有 nxlim.fn例 5 证明数列 单调递减有界,从而有极限 21l21xn.,CEuler下 记 为常 数此 极 限 为证明 利用不等式 有nn1l.01ln1lnl1xn故 严格单调递减.nx又因6.011lnl112321lnknk
8、xnkkkn 即 有下界. 单调递减有下界故 存在.nxnxnxlim方法四 利用数列与子列的极限关系求极限数列与子列有如下极限关系 .时当有子 列时当 kAxnAx kknn例 6 试证 lim,lilim122aaaxnn 证明 只需证明充分性,按已知条件于是令.,0.0 122211 xNNnn 时当又时当 ax1则 时恒有 故n.axn.limn方法五 利用数列极限的运算性质求极限数列极限的运算性质若 与 为收敛子列 ,则 也都是收敛数列,且有nxynnnyxyx,.limli nnn特别当 为常数 时有nyc.lili,nnxcc若再假设 及 ,则 也是收敛数列,且有0nylimny
9、n.limlinnyx例 7 举例说明无穷多个无穷小量之积可以不是无穷小量.7解 如下数列均是无穷小量: .;,16,51,4, ;,16,3,1,5, ;,16,41,22 nnn但将它们对应项连乘起来取极限,得到一个新数列,此数列为 .,1,该极限为 1,不是无穷小量.方法六 利用已知极限求极限要点 在知道一些简单函数或特殊函数的极限的情况下,我们可以再求极限的过程中,把一些复杂的函数化成这些简单函数或特殊函数的形式,利用这些函数的极限,可以较容易的求出复杂函数的极限.例 8 求极限 .0,2limbann解 由于当 时, ,ln11 ban又 ,ln21121babannn故8.121l
10、imlilnl2 1212abebaba banbannnnn 方法七 利用变量替换求极限为了将未知的极限简化,或转化为一直的极限,可根据极限式的特点,适当引入新变量,以替换原有的变量,使原来的极限过程转化为新的极限过程.例 9 若 试证,lim,libyaxnn.li 1121 abnyxyxnnx 证明 令 则 时， .,nnbyax0,n于是 .1121212121121 nnbnab baaxy nnnnnnn 当 时，第二三项趋近于零,现证第四项极限亦为零.事实上，因n（当 时）,故 有界,即 ,使得 故0na0MNann01121 nn从而 以 为极限.nyxyxnn1121 ab
11、第二类 函数极限求法归纳一 函数极限的定义9定义 1 设 为定义在 上的函数, 为定数，若对任给的faA存在正数 ,使得当 时有,0aMxf则称函数 当 时以 为极限,记作fxA或xflim.xAf定义 2 设函数 在点 的某个空心邻域 内有定义, 为定数.若f0 ;0UA对任给的 ,存在正数 ,使得当 时有0x,Af则称函数 当 时以 为极限.f0xA定义 3 设函数 在 或 上有定义 , 为定数.若对任f;0xU;0xA给的 ,存在正数 ,使得当 时有0x或,Axf则称 为函数 当 趋于 时的右或左极限,记作Afx0或.xfxf00lim,li或 .,00xAxfxAf右极限与左极限统称为
12、单侧极限. 在点 的右极限与左极限又分别记作f.limlim0000xfxfxfx 与二 求极限的方法方法一 利用函数极限的定义求极限 利用定义 1 求极限.例 1 证明 0lix证明 任给 时 有， 则 当取 Mx,10,101Mx所以 .limx利用定义 2 求极限.例 2 设 证明,4xf .4lim2xf证明 由于当 时, ,2424xxf故对任给的 只要取 则当 时,有 这就证明了,0,0,f.4lim2xf利用定义 3 求极限.例 3 讨论函数 在定义区间端点 处的单侧极限.21x1解 由于 ,故有.2x于是取 成立.这就推出,110,2时即则 当 x 2类似的可得.1limxx
13、.0lim21xx方法二 利用两边夹准则求极限要点 当极限不易直接求出时,可考虑将求极限的变量做适当的放大和缩小,使放大和缩小所得的新变量易于求极限,且二者的极限值相同.则原极限存在且等于此公共值.在函数极限的性质中有迫敛性: 且在某 有,limli0Axgfx;0xU.,0hghfx例 4 求 .1lim0x解 .0时11由此当 时,0x ,11x当 时0x ,11x故 .1lim0x例 5 利用迫敛性求函数极限 .4sinlm2x解 因 UxUx ,1i,5|, 知由有 4sin4222xx由于 ,0limli22xx所以 04sinlm2x方法三 利用 Taylor 公式求极限要点 设
14、在 点具有 阶导数,则 在 点的 Taylor 公式为f0xnxf0.,!2!1 002000 xxnfffx n特别,当 时,上述公式称为 的迈克劳林公式.0 xf.0,!2000 xnxffxf n例 6 求极限 .sinco1lim2202xex解12.124381sinco2lim4242202xxexx方法四 利用极限的四则用算法则求极限极限的四则用算法则:若 则BxgAxf00lim,li BAxgfxx 000 limli f x 000liBgffBxx00lili,则若 .cAfcfxx00mli 为 常 数例 8 求 .453li2x解 由于 06li2x因此 .2543l
15、im543li22xx方法五 利用洛必达法则求极限要点 此方法适用于 型.0,13I 型不等式极限0若函数 和 满足:fg ;0limli00 xx在点 的某空心邻域 内两者都可导,且U ;0xg 则或可 以 为 实 数 也 可 以 为 ,li0 Axgfx .limli00 AxgfxfII 型不等式极限若函数 和 满足:fg ;limli00 xx在点 的某空心邻域 内两者都可导,且0U;0xg 则或可 以 为 实 数 也 可 以 为 ,li0 Axgfx .limli00 Axgfxf例 9 求 的极限.1267lim232xx解 325lim61023li 1265010li72232
16、23xxxxxxx14由于 ,所以分子分母同约去非零因式 ,得02x 2x.735lim21670li23xx方法六 利用换元法求极限要点 如果一个函数的解析式比较复杂时,可采用换元的方法加以变形,使之简化变得易求.例 10 求 .xe21lim0解 令 .0,ln, uxuux 时且 当则则 .21lnim1li200uuxex方法七 利用微分中值定理求函数极限要点 微分中值定理是一系列中值定理的总称,时研究函数的有利工具,它包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理等.例 11 计算 .13arctnrtlim2 xx解 设 则在 上 连续,在 内可导.于是使用,3actnf,f1,x微分中值定
17、理可得. 则xxxfx ,3arctn1arct,1 2则15.3lim13arctnrtli22xx第三类 求多项式函数极限的方法一 求 其中 为多项式函数.xpali要点 利用函数连续性直接代值, .limapxa例 1 计算 .123limxx解.9123li2xx二 求 均为多项式函数,且当 趋近于 时, 不趋xQPxalim其 中 xaxQ近于 0.要点 利用函数连续性直接代值, .aPxalim例 2 计算 .265lim0xx解.32065li2xx三 求 均为多项式函数,且当 趋近于 时, 与xQPxalim其 中 xaxP均趋近于 0.xQ要点 将分子分母因式分解,消去零因子
18、.16例 3 求解 .265lim2xx解 123li652xx.312limx四 求 均为多项式函数,且 趋近于 .xQPxlim其 中x要点 将分子分母同除以 的最高次幂.例 4 求解 .265lixx解 .102165limli2xxxx一般地,对于求 ,当分子趋 近 于且均 为 多 项 式 函 数其 中 xxQPx,lim的次数高于分母的次数,该函数极限不存在;当分子的次数低于于分母的次数 ,该函数极限为 0;当分子的次数等于分母的次数,该函数极限等于分子分母的最高此项的系数之比.第四类 定积分极限求法归纳一 定积分及极限的定义17定积分 设函数 在闭区间 上有定义, 在闭区间 内任意
19、插入xfbaba,个分点将 分成 个区间 ,记1nba,ni1做乘积 ,把这些乘式相加得到和式,21iii xx ixf,设 ,若 极限存在唯一且该极限值niif1nii;maniif10lm与区间 的分法及分点 的取法无关,则称这个唯一的极限值为函数 在b,i xf上的定积分,记坐 ,即abadxf.niiba xff10lm否则称 在 上不可积.xfba,一 应用定积分求极限要点 如果函数 在区间 上连续,将区间 进行 等分, 且xfbaba,n. niainii dxffabni 1lim,1 那 么例 1 .si2siilmnn解 .1sinlm1sin2sii1l1nnin则上式可以
20、看作 在 上的一个积分和 ,它是把 分成 等分. 取xfi,01,0ni的右端点 构成的积分和,由定积分定义可得ni,1nifnii s,即18nin n1slm1si2ii.2|cosi100xd三 Heine 归结原理 设 在 内有定义, 存在的充要条件: 对任何含于f;0xUxf0lim且以 为极限的数列 ,极限 都存在且相等.;0xU0nn 利用 Heine 归结原理证明函数极限的存在性.要点 如果存在两个数列 ,有 ,且 ,nx 00li,lixnn00,xnn但 ,则 在 处极限不存在.nnxfflimli f0用归结原理证明单调函数的单侧极限存在定理.若函数 在 有定义 ,且单调
21、增加,则 极限fba, ,0bax都存在,且xfxfxfx 00 lili00 .00xf证明 在 内任取单调增加数列 且 由于 在0,a,na,lim00xannf内是单调增加的,所以数列 也是单调增加的,且有上界 ,由单调banf f有界定理可知数列 收敛,设 ,则有nf lli,0xfafn根据归结原理得.00 00lim,li xflfxfxf x且存 在同理可证 ffff xx 00 li,li0且存 在.定理得证.19从上面证明过程可知,在证明某一极限存在时,我们可以根据归结原理去寻找任意一个数列,使它满足都以 为极限且与它们对应的函数系列的极限都存在来a证明函数极限的存在.以上求
22、函数的方法是一些函数极限最基本且常用的方法,在不同的函数类型条件下所采用的技巧是各不相同的,对于找到解决问题的方法是至关重要的.极限的求法虽有一定的规律可循,但也绝不能死搬硬套,因为有的题目可能有多种解法,因此只有不断摸索、总结领悟各种方法的精髓,才能更能的掌握极限的求法.参考文献1 华东师范出版社.数学分析（第三版）M 高等教育出版社 ,2001.2 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法（第二版）M.高等教育出版社,2006.3 杨云雯.常见函数极限的求法J. 考试周刊 2011 年第 86 期.4 王亮.函数极限的求法、技巧与应用例析J. 河南科技 2013.NO.12.5 李天荣.利用定积分求极限J. 精品文档.6 伏玲娇 孟凤娟.计算极限的常用方法J. 科技信息 2010 年第 7 期.7 赵士元.求函数极限的方法J. 专业研究.8 惠丽萍.浅析高等数学中求函数极限的方法J. 高等教育 .
