1、函数的最大值和最小值,江西省临川第一中学 游建龙（344100）,知识和技能目标,理解函数的最值与极值的区别和联系 进一步明确闭区间a，b上的连续函数f(x)，在a，b上必有最大、最小值 掌握用导数法求上述函数的最大值与最小值的方法和步骤,问题情境：在日常生活、生产和科研中，常常会遇到求什么条件下可以使成本最低、产量最大、效益最高等问题，这往往可以归结为求函数的最大值与最小值,如图,有一长80cm,宽60cm的矩形不锈钢薄板,用此薄板折成一个长方体无盖容器,要分别过矩形四个顶点处各挖去一个全等的小正方形，按加工要求,长方体的高不小于10cm且不大于20cm设长方体的高为xcm,体积为Vcm3问
2、x为多大时,V最大?并求这个最大 值。,解：由长方体的高为xcm， 可知其底面两边长分别是 （802x）cm，（602x）cm,(10x20). 所以体积V与高x有以下函数关系 V=（802x）（602x）x =4（40x）（30x）x,分析函数关系可以看出，以前学过的方法在这个问题中较难凑效，这节课我们将学习一种很重要的方法，来求某些函数的最值,1我们知道，在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值 问题1：如果是在开区间（a，b）上情况如何？ 问题2：如果a，b上不连续一定还成立吗？,如图为连续函数f(x)的 图象：,在闭区间a，b上连续函数f(x)的最大值、最小值分别
3、是什么？分别在何处取得 ？,例1 求函数y= x42 x25在区间2，2上的最大值与最小值 解： y=4 x34， 令y=0，有4 x34x=0，解得： x=1,0,1 当x变化时，y，y的变化情况如下表：,从上表可知，最大值是13，最小值是4,例2:如图,有一长80cm,宽60cm的矩形不锈钢薄板,用此薄板折成一个长方体无盖容器,要分别过矩形四个顶点处各挖去一个全等的小正方形，按加工要求,长方体的高不小于10cm不大于20cm,设长方体的高为xcm,体积为Vcm3问x为多大时,V最大? 并求这个最大值,分析：建立V与x的函数的关系后，问题相当于求x为何值时，V最小，可用本节课学习的导数法加以
4、解决,以上分析，说明求函数f(x)在闭区间a，b上最值的关键是什么？,设函数f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，求f (x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求f (x)在(a,b)内的极值； （2）将f (x)的各极值与f (a)、f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值,归纳：,思考：求函数f(x)在a,b上最值过程中，判断极值往往比较麻烦，我们有没有办法简化解题步骤？,设函数f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，求f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤可以改为： （1）求f(x)在(a,b)内导函数为零的点，并计算出其函数值； （2）将f(x
5、)的各导数值为零的点的函数值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值,y=4 x34x 令y=0，有4x34x=0，解得： x=1,0,1 x=1时，y=4, x=0时，y=5,x=1时，y=4 又 x=2时，y=13， x=2时，y=13 所求最大值是13，最小值是4,解法2：,课堂练习：,求下列函数在所给区间上的最大值与最小值： （1）y=xx3,x0,2 （2）y=x3x2x，x2,1,课堂小结：,3利用导数求函数最值的关键是对可导函数使导数为零的点的判定.,1在闭区间a,b上连续的函数f(x)在 a,b上必有最大值与最小值;,2求闭区间上连续函数的最值的方法与步骤;,作业布置：P139 1、2、3,thank you,江西省临川第一中学 游建龙（344100）,
