1、第2章 最小值原理,本章主要内容：2.1 连续系统的最小值原理2.2 最小值原理的应用示例原苏联著名数学家庞特里亚金，总结经典变分法和早期简单最优控制的成果，在1956-1958年间逐步创立了“最大值原理”。 通常称为“最小值原理”当控制作用的大小限制在一定范围内时，由最优控制规律所确定的最优轨线在整个作用范围内必取最小值。,2.1 连续系统的最小值原理,考虑条件极值定理中，控制函数u受约束的情况 。为了便于分析，控制方程（2-1），可写成另一种形式（2-2）：,分析： （1）在控制函数 u不受约束的情况，（2-1）与（2-2)等价 （2） 在u受闭集性约束的情况下，（2-1）未必是求解最优控
2、制的必要条件之一，例如：u在边界值上使指标最优时， 控制方程不一定是必要条件H在 的闭集内可能 不存在极点。 而（2-2）总是成立的。,u,H,U,庞特里亚金最小值原理,与古典变分法中条件极值定理的主要区别在于：容许控制u(t)受有界闭集限制控制方程变为极值条件（证明略）,说明： （1）最小值原理是对古典变分法的发展放宽了应用条件（L的可微性、控制约束）使性能指标获得全局最小(H为全局最小） 使古典变分法中条件极值定理成为最小值原理的一个特例。,（2）最小值原理只给出最优控制的必要条件，并非充分条件。符合最小值原理的控制能否使性能指标取最小值，还需进一步判断：数学证明根据问题的物理性质来判断 （3）若讨论的是性能指标极大的问题，只要将指标函数前加负号，即可应用最小值原理来求解。 （4）为了适合于计算机运算的需要，最小值原理还有离散的表达形式。,2.2 最小值原理的应用示例,例2-1系统状态方程为 其始端状态和终端状态分别为 求最优控制u*(t)，使如下性能指标最小。,解： 控制函数受闭集性约束，应用最小值原理求解。,为使H达到最小，控制函数应为：,由协态方程求解,作业2-1：继续推导，完成本题,例2-2： 试求： 时的 ，解：定常系统、积分型 ， 固定， 自由， 受约束,由协态方程切换点：,根据边界条件继续求出：,第2章 要点,庞特里亚金最小值原理的表述和简单应用,
