1、第 1 页（共 27 页）2016 年江苏省南通市高考数学模拟试卷（三）一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分1已知集合 A=x|1x2，集合 B=x|x1，则 AB=_2某中学共有学生 2000 人，其中高一年级共有学生 650 人，高二男生有 370 人现在全校学生中随机抽取 1 名，抽到高二年级女生的概率是 0.19则该校高三学生共有_人3已知 i 是虚数单位，且复数 z1=2+bi，z 2=12i，若 是实数，则实数 b=_4根据如图所示的伪代码，已知输出值为 1，则输入值 x=_5已知 m1，0，1，n2，2，若随机选取 m，n，则直线 mx+ny+1=0 上
2、存在第二象限的点的概率是_6已知| |=2，| |=3， ， 的夹角为 120，则| +2 |=_7已知一元二次不等式 f（x ）0 的解集为（，1）（2，+） ，则 f（lgx ）0 的解集为_8设 为锐角，若 cos（+ ）= ，则 cos（2 ）=_9如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，底面 ABCD 是菱形，若AB=2，BAD=60则当四棱锥 PABCD 的体积等于 2 时，则 PC=_第 2 页（共 27 页）10在平面直角坐标系 xOy 中，过点 P（4，3）引圆 C：x 2+（y m） 2=m2+1（0m4）的两条切线，切点分别为 A， B，则直线 AB 过定点_
3、11已知等差数列a n的各项均为正数，a 1=1，且 a3，a 4+ ，a 11 成等比数列若 pq=10，则 apaq=_12若曲线 y=alnx（a0）与曲线 y= x2 在它们的公共点 P（s，t ）处具有公共切线，则=_13已知ABCD 的面积为 2，P 是边 AD 上任意一点，则 |PB|2+|PC|2 的最小值为_14设函数 f（x）= ，则函数 g（x）=xf（x）6 在区间1，2 2015内的所有零点的和为_二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤15已知在ABC 中，内角 A、B 、C 所对的边分别为 a、
4、b、c，且 sin（A + ）=2cosA（1）若 cosC= ，求证：2a3c=0；（2）若 B（0， ） ，且 cos（AB ）= ，求 sinB 的值16已知四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，ABDC，ABC=60，DC=1，AD= 已知 PB=PC（1）若 N 为 PA 的中点，求证：DN平面 PBC；（2）若 M 为 BC 的中点，求证：MN BC17某城市在进行规划时，准备设计一个圆形的开放式公园，为达到社会和经济效益双丰收，园林公司进行如下设计，安排圆内接四边形 ABCD 作为绿化区域，其余作为市民活动区域，其中ABD 区域种植花木后出售，BCD 区域种植草皮后
5、出售，已知草皮每平方第 3 页（共 27 页）米售价为 a 元，花木每平方米的售价是草皮每平方米售价的三倍，若BC=6km，AD=CD=4km（1）若 BD=2 km，求绿化区域的面积；（2）设BCD=，当 取何值时，园林公司的总销售金额最大18已知 A，B 是椭圆 C： + =1（ab0）的左，右顶点， F 为其右焦点，在直线x=4 上任取一点 P（点 P 不在 x 轴上） ，连结 PA，PF，PB若半焦距 c=1，且2kPF=kPA+kPB（1）求椭圆 C 的方程；（2）若直线 PF 交椭圆于 M，N ，记AMB、ANB 的面积分别为 S1、S 2，求 的取值范围19已知函数 f（x）=a
6、x+lnx（aR） ，g（x）= （1）当 a=1 时，求 f（x）的单调增区间；（2）若 h（x）=f（x）g（x ）恰有三个不同的零点 x1， x2，x 3（x 1x 2x 3） 求实数 a 的取值范围；求证：（1 ） 2（1 ） （1 ）=120已知数列a n是等比数列（1）设 a1=1，a 4=8若 + + =M（ + + ） ，nN *，求实数 M 的值；第 4 页（共 27 页）若在 与 中插入 k 个数 b1，b 2，b k，使 ，b 1，b 2，b k， ， 成等差数列，求这 k 个数的和 Sk；（2）若一个数列c n的所有项都是另一个数列d n中的项，则称c n是d n的子数
7、列，已知数列b n是公差不为 0 的等差数列，b 1=a1，b 2=a2，b m=a3，其中 m 是某个正整数，且m3，求证：数列a n是b n的子数列选做题.选修 4-1：几何证明选讲 （任选两个）21如图，BCD 内接于O，过 B 作O 的切线 AB，点 C 在圆上，ABC 的角平分线BE 交圆于点 E，且 DBBE求证：DB=DC 选修 4-2：矩阵与变换22在平面直角坐标系 xOy 中，设点 P（x，3）在矩阵 M= 对应的变换下得到点Q（y4， y+2） ，求 M2 选修 4-4：坐标系与参数方程选讲 23在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，在极坐标系
8、（与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，圆 C 的方程为 =2 sin若点 P 的坐标为（3， ） ，求 PA+PB 的值选修 4-5：不等式选讲24若关于 x 的不等式 x2ax+b0 的解集为（1，2） ，求函数 f（x）=（a1）+（b1） 的最大值解答题25如图，一简单几何体 ABCDE 的一个面 ABC 内接于圆 O，AB 是圆 O 的直径，四边形DCBE 为平行四边形，且 DC平面 ABC若 AC=BC=BE=2，（1）BE 边上是否存在一点 M，使得 AD 和 CM 的夹角为 60？（2）求锐二面角 OCEB 的余弦值第 5 页
9、（共 27 页）26已知正项数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a1=1，且当 n2 时，2（S nSn1）=（n+1） （+ + ） （1）求数列a n的通项公式；（2）求证：当 n2 时，4a nan 第 6 页（共 27 页）2016 年江苏省南通市高考数学模拟试卷（三）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分1已知集合 A=x|1x2，集合 B=x|x1，则 AB=x|1x1【考点】交集及其运算【分析】由集合 A 与 B，求出两集合的交集即可【解答】解：A=x| 1x2，集合 B=x|x1，AB=x|1 x1，故答案为：x|1x12某中学共有学
10、生 2000 人，其中高一年级共有学生 650 人，高二男生有 370 人现在全校学生中随机抽取 1 名，抽到高二年级女生的概率是 0.19则该校高三学生共有 600 人【考点】概率的意义【分析】根据在全校学生中抽取 1 名学生，抽到高二年级女生的概率是 0.19，先求出高二女生的人数，问题得以解决【解答】解：在全校学生中抽取 1 名学生，抽到高二年级女生的概率是 0.19，则高二女生人数为 0.192000=380 人，则高三人数为 2000650370380=600 人，故答案为：6003已知 i 是虚数单位，且复数 z1=2+bi，z 2=12i，若 是实数，则实数 b=4【考点】复数代
11、数形式的乘除运算【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由虚部为 0 求得实数 b 的值【解答】解：z 1=2+bi，z 2=12i， = ，又 是实数，4+b=0，即 b=4故答案为：4第 7 页（共 27 页）4根据如图所示的伪代码，已知输出值为 1，则输入值 x=1【考点】伪代码【分析】算法的功能是求 f（ x）= 的值，根据输出的值为 1，分别求出当x0 时和当 x0 时的 x 值【解答】解：由程序语句知：算法的功能是求 f（x）= 的值，当 x0 时，2 x+1=1x=1；当 x0 时，y=x+3=1 x 无解综上 x 的值为：1故答案为：15已知 m1，0，1，n2，2，若随机选取
12、 m，n，则直线 mx+ny+1=0 上存在第二象限的点的概率是 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】先求出基本事件总数，再利用列举法求出满足条件的 m，n 的可能取值，由此能求出直线 mx+ny+1=0 上存在第二象限的点的概率【解答】解：m1，0，1，n2，2，随机选取 m，n，基本事件总数 n=32=6，直线 mx+ny+1=0 上存在第二象限的点，k= 0，或 m=0，n= 2，m，n 的可能取值为（0，2） ， （1，2） ， （1，2） ，第 8 页（共 27 页）直线 mx+ny+1=0 上存在第二象限的点的概率是：P= = 故答案为： 6已知| |=2，| |=
13、3， ， 的夹角为 120，则| +2 |=2 【考点】平面向量数量积的运算【分析】先将向量的模平方，利用向量模的平方等于向量的平方，再利用向量的运算法则展开，求出值，再将值开方即可【解答】解：| +2 |2=| |2+4| |2+4 | |2+4| |2+4| | |cos120=4+49+423（ ）=28，| +2 |=2 ，故答案为：27已知一元二次不等式 f（x ）0 的解集为（，1）（2，+） ，则 f（lgx ）0 的解集为（10，100） 【考点】其他不等式的解法【分析】由已知利用补集思想求出一元二次不等式 f（x）0 的解集（1，2） ，然后由1lgx2 求解 x 的取值集合
14、即可得到答案【解答】解：由一元二次不等式 f（x）0 的解集为（，1）（2，+） ，得 f（x）0的解集为（1，2） ，lg10=1lgx2=lg100，10x100，故 f（lgx）0 的解集为（10，100） ，故答案为：（10，100）8设 为锐角，若 cos（+ ）= ，则 cos（2 ）= 【考点】两角和与差的余弦函数；二倍角的余弦【分析】由 cos（2 ）=cos（ + ）+（ ），分别根据诱导公式和同角的三角函数的关系即可求出答案【解答】解： 为锐角，+ （ ， ） ， （ ， ）cos（+ ）= ，第 9 页（共 27 页）sin（+ ）= ，cos（+ ）=sin （+ ）=
15、sin（ ）= ，sin（ ）= ，cos（ ）= ，cos（2 ）=cos（+ ）+（ ）=cos（ + ）cos（ ） sin（+ ）sin（ ）= （ ）= ，故答案为：9如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，底面 ABCD 是菱形，若AB=2，BAD=60则当四棱锥 PABCD 的体积等于 2 时，则 PC= 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】根据菱形的性质求出底面积和 AC，根据棱锥的体积计算 PA，利用勾股定理计算PC【解答】解：底面 ABCD 是菱形，若 AB=2，BAD=60S 菱形 ABCD=2SABD=2 =2 AC= =2PA平面 ABCD，V PABC
16、D= = 2 PA=2 ，PA=3PC= = 故答案为： 第 10 页（共 27 页）10在平面直角坐标系 xOy 中，过点 P（4，3）引圆 C：x 2+（y m） 2=m2+1（0m4）的两条切线，切点分别为 A， B，则直线 AB 过定点（ ，3） 【考点】圆的切线方程【分析】求出切线长，写出以点 P 为圆心，切线长为半径的圆的方程，两圆方程相减，得出直线 AB 的方程，从而求出直线 AB 所过定点【解答】解：平面直角坐标系 xOy 中，过点 P（4，3）引圆 C：x 2+（y m）2=m2+1（0m4）的两条切线，则切线长为 = ，以点 P 为圆心，切线长为半径的圆的方程为（x4） 2
17、+（y 3） 2=42+（3m） 2（m 2+1） ，直线 AB 的方程为x 2+（ym ） 2（x4） 2+（y 3） 2=（m 2+1）16+（3 m） 2（m 2+1），整理得（4x+3y1） m（y+3）=0，令 ，解得 ，直线 AB 过定点（ ， 3） 故答案为：（ ，3） 11已知等差数列a n的各项均为正数，a 1=1，且 a3，a 4+ ，a 11 成等比数列若 pq=10，则 apaq=15【考点】等差数列的通项公式【分析】设等差数列公差为 d，由题意知 d0，由 a3，a 4+ ，a 11 成等比数列列式求得公差，再由等差数列的通项公式求得 apaq【解答】解：设等差数列公
18、差为 d，由题意知 d0，a 3，a 4+ ，a 11 成等比数列，第 11 页（共 27 页）（a 4+ ） 2=a3a11， =（1+2d） （1+10d） ，即 44d236d45=0，解得 d= 或 d= （舍去） ，pq=10 ，则 apaq=（p q）d=10 故答案为：1512若曲线 y=alnx（a0）与曲线 y= x2 在它们的公共点 P（s，t ）处具有公共切线，则=2 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出两个函数的导数，然后求出公共点的斜率，利用斜率相等且有公共点联立方程组即可求出 a 的值【解答】解：曲线 y=alnx 的导数为：y= ，在 P（s，t ）
19、处的斜率为：k= ，曲线 y= x2 的导数为：y= ，在 P（s，t ）处的斜率为：k= 由曲线 y=alnx（a0）与曲线 y= x2 在它们的公共点 P（s，t ）处具有公共切线，可得 ，并且 t= ， ，解得 lns= ，s 2=e则 a=1， = 故答案为： 13已知ABCD 的面积为 2，P 是边 AD 上任意一点，则 |PB|2+|PC|2 的最小值为 4【考点】两点间距离公式的应用【分析】不妨设 ABCD 是矩形，BC=2 ，AB=1，设 P（x，1） （0x2） ，|PB|2+|PC|2=x2+1+（x2） 2+1=2（x 1） 2+4，即可求出|PB| 2+|PC|2 的最
20、小值【解答】解：不妨设 ABCD 是矩形，BC=2 ，AB=1，则设 P（x，1） （0x2） ，第 12 页（共 27 页）|PB|2+|PC|2=x2+1+（x2） 2+1=2（x 1） 2+4，x=1 时，|PB| 2+|PC|2 的最小值为 4，故答案为：414设函数 f（x）= ，则函数 g（x）=xf（x）6 在区间1，2 2015内的所有零点的和为 【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】函数 f（x）是分段函数，要分区间进行讨论，当 1x2，f （x）是二次函数，当 x2 时，对应的函数很复杂，找出其中的规律，最后作和求出【解答】解：当 1x 时，f（x）=8x 8，所以 g（
21、x）=8（x ）28，此时当 x= 时，g（x） max=0；当 x2 时，f（x）=16 8x，所以 g（x）=8（x1） 2+20；由此可得 1x2 时，g（x） max=0下面考虑 2n1 x2 n 且 n2 时，g（x）的最大值的情况当 2n1 x32 n2 时，由函数 f（x）的定义知 f（x）= f（ ）= f（ ） ，因为 1 ，所以 g（x）= （x 2n2）2 8，此时当 x=32n2 时，g（x） max=0；当 32n2x2 n 时，同理可知，g（x）= （x2n1 ）2+80第 13 页（共 27 页）由此可得 2n1 x2 n 且 n2 时，g（x） max=0综上可
22、得：对于一切的 nN*，函数 g（x）在区间2 n1，2 n上有 1 个零点，从而 g（x）在区间1，2 n上有 n 个零点，且这些零点为 xn=32n2，因此，所有这些零点的和为 则当 n=2015 时，所有这些零点的和为 故答案为： 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤15已知在ABC 中，内角 A、B 、C 所对的边分别为 a、b、c，且 sin（A + ）=2cosA（1）若 cosC= ，求证：2a3c=0；（2）若 B（0， ） ，且 cos（AB ）= ，求 sinB 的值【考点】两角和与差的正弦函数；两角
23、和与差的余弦函数【分析】 （1）化简 sin（A+ ）=2cosA 可得 tanA= ，又 A 为三角形内角可求 sinA 的值，又 cosC= ，C 为三角形内角，可求 sinC 的值，由正弦定理可得：a=sinA2R，c=sinC2R，代入等式右边即可证明（2）由 B（0， ） ，可求 cosB= ，由 cos（AB ）= ，利用同角三角函数关系式化简即可求值第 14 页（共 27 页）【解答】解：（1）证明：sin（A+ ）=2cosA sinA+ cosA=2cosAsinA= cosAtanA= ，A 为三角形内角A= ，sinA=又cosC= ，C 为三角形内角，sinC= = ，
24、由正弦定理可得：a=sinA2R ，c=sinC2R2a3c=2R 3 =2 2 =0从而得证（2）B（0， ） ，AB= B（0， ） ，sin 2（AB ）+cos 2（AB）=1，cos（A B）= ，sin（AB ）= ，则 sinB=sinA（A B）=sinAcos（AB ）cosAsin（A B）= = 16已知四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，ABDC，ABC=60，DC=1，AD= 已知 PB=PC（1）若 N 为 PA 的中点，求证：DN平面 PBC；（2）若 M 为 BC 的中点，求证：MN BC【考点】直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关
25、系【分析】 （1）取 PB 的中点 G，连接 NG，CG，经 C 点作 CMAD，交 AB 与点 M，利用已知可证：NG AB DC，从而得证四边形 DCGN 是平行四边形，得证 DNCG，从而证明 DN平面 PBC第 15 页（共 27 页）（2）由（1）可求 BC，BM，AM，由勾股定理可得 AMBC，又 PB=PC，M 为 BC 的中点，可证 PM BC，通过证明 BC平面 PAM，即可得证 BCMN【解答】证明：（1）取 PB 的中点 G，连接 NG，CG，N 为 PA 的中点，NG AB，再，经 C 点作 CMAD，交 AB 与点 M，ABCD 是直角梯形，AB DC，ABC=60，
26、DC=1 ，AD= ，BM= = =1，AB=2，NG AB DC，即四边形 DCGN 是平行四边形，DNCG，DN 平面 PBC，CG平面 PBC，DN平面 PBC（2）由（1）可得：BC=2，M 为 BC 的中点，可得：BM=1，利用余弦定理可得：AM 2=22+12221cos60=3，AM 2+BM2=3+1=4=AB2，由勾股定理可得 AMBC ，又PB=PC，M 为 BC 的中点，PM BC，由 AMPM=M，可得 BC 平面 PAM，又 MN平面 PAM，BCMN 17某城市在进行规划时，准备设计一个圆形的开放式公园，为达到社会和经济效益双丰收，园林公司进行如下设计，安排圆内接四
27、边形 ABCD 作为绿化区域，其余作为市民活动区域，其中ABD 区域种植花木后出售，BCD 区域种植草皮后出售，已知草皮每平方米售价为 a 元，花木每平方米的售价是草皮每平方米售价的三倍，若BC=6km，AD=CD=4km（1）若 BD=2 km，求绿化区域的面积；第 16 页（共 27 页）（2）设BCD=，当 取何值时，园林公司的总销售金额最大【考点】解三角形【分析】 （1）若 BD=2 km，可得 C，进而求出 AB，即可求绿化区域的面积；（2）设BCD=，求出园林公司的总销售金额，利用导数可得结论【解答】解：（1）BCD 中，cosC= = ， C=60，A=120 ，28=AB 2+
28、162AB4（ ） ，AB=2，绿化区域的面积 S= + =8 ；（2）设 AB=x，则 x2+162x4cos=36+16264cos，（x6 +8cos） （x+6）=0，x=68cos（ cos ） ，园林公司的总销售金额 y=a sin+3a （68cos ）4sin=48a （sinsincos ） y= 48a（cos1） （2cos+1）cos ，cos= ，=120时，函数取得最大值 36 a18已知 A，B 是椭圆 C： + =1（ab0）的左，右顶点， F 为其右焦点，在直线x=4 上任取一点 P（点 P 不在 x 轴上） ，连结 PA，PF，PB若半焦距 c=1，且2kP
29、F=kPA+kPB（1）求椭圆 C 的方程；（2）若直线 PF 交椭圆于 M，N ，记AMB、ANB 的面积分别为 S1、S 2，求 的取值范围第 17 页（共 27 页）【考点】椭圆的简单性质【分析】 （1）设 P（4，t ） ， （t 0） ，A （ a，0） ，B（a，0） ，F（c，0） 利用斜率计算公式及其 2kPF=kPA+kPB，c=1，a 2=b2+c2，解出即可得出椭圆的标准方程（2）设直线 PF 的方程为：my +1=x，M（x 1，y 1） ，N （x 2，y 2） （m0） 直线方程与椭圆方程联立化为：（3m 2+4） y2+6my9=0，解得 y1，2 ，不妨取：y
30、1= ，y 2=，可得 = = ，令 m=tan， 即可得出【解答】解：（1）设 P（4，t） ， （t 0） ，A （ a，0） ，B（a，0） ，F（c，0） k PA= ，k PF= ，k PB= ，2k PF=kPA+kPB，2 = + ，t0，化为：a 2=4c，又 c=1，a 2=b2+c2，联立解得 c=1，a=2，b 2=3椭圆 C 的方程为： =1（2）设直线 PF 的方程为：my +1=x，M（x 1，y 1） ，N （x 2，y 2） （m0） 联立 ，化为：（3m 2+4）y 2+6my9=0，解得 y1，2 = = ，不妨取：y 1= ，y 2= ，第 18 页（共
31、27 页）则 = = ，令 m=tan， = = 1 （1，3） 19已知函数 f（x）=ax+lnx（aR） ，g（x）= （1）当 a=1 时，求 f（x）的单调增区间；（2）若 h（x）=f（x）g（x ）恰有三个不同的零点 x1， x2，x 3（x 1x 2x 3） 求实数 a 的取值范围；求证：（1 ） 2（1 ） （1 ）=1【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】 （1）把 a=1 代入函数解析式，求导后得到其单调区间，注意到函数的定义域（2）先分离参数得到 ，令 h（x）= 求导后得其极值点，求得函数极值，则使 h（x）恰有三个
32、零点的实数 a 的范围可求由 a= = ，再令 ，转化为关于 的方程后由根与系数关系得到 1+2=1a 0， 12=1a0，再结合着 的图象可得到=1【解答】 （1）当 a=1 时， 0（x0） ，f（x）的单调增区间为（0 ，+） （2）令 =0，分离参数得 ，令 h（x）= ，第 19 页（共 27 页）由 h（x）= = =0，得 x=1 或 x=e列表知，当 x（0，1）时， h（x）0；当 x（1，e）时，h（x）0；当 x（e ，+）时，h（x）0即 h（x）在（0，1） ， （e，+）上为减函数，在（1，e ）上为增函数而当 x0，h（ x） +，当 x+，h（x）1，又 h（
33、1）=1，h（e）= ；结合函数的单调性可得，实数 a 的取值范围为（1， ） 由可知，0x 11x 2ex 3，a= = ，令 ，则 a= ，即 2+（ a1）+1a=0，1+2=1a0， 12=1a0，对于 ，则当 0xe 时，0；当 xe 时，0而当 xe 时， 恒大于 0画其简图，不妨设 1 2，则 ， = =第 20 页（共 27 页）=1（1 a）+（ 1a） 2=120已知数列a n是等比数列（1）设 a1=1，a 4=8若 + + =M（ + + ） ，nN *，求实数 M 的值；若在 与 中插入 k 个数 b1，b 2，b k，使 ，b 1，b 2，b k， ， 成等差数列，
34、求这 k 个数的和 Sk；（2）若一个数列c n的所有项都是另一个数列d n中的项，则称c n是d n的子数列，已知数列b n是公差不为 0 的等差数列，b 1=a1，b 2=a2，b m=a3，其中 m 是某个正整数，且m3，求证：数列a n是b n的子数列【考点】数列的应用【分析】 （1）由数列a n是等比数列 a1=1，a 4=a1q3=8，求得 q，求得数列a n的通项公式，求得 是以公比为 的等差数列， 是以公比为 的等比数列，根据等比数列前 n 项和公式，将原式转化成 21（ ） 2n=M1（ ） n，求得 M 的值；根据等差数列的性质得：b 1+bk= + = ，即可求得 Sk；
35、（2）分别求得a n，b n的通项公式，根据已知条件，求得 m=q+2，求得 bk=a1+a1（q1）（k1） ，并求得 an=a1+a1（q 1） （q n2+qn3+1） ，当 n3 时，k=q n2+qn3+2，求得 an=bk，当 n=1 或 2 时，a 1=b1，a 2=b2，即可证明数列a n是bn的子数列【解答】解：（1）a 1=1，a 4=a1q3=8，q=2，a n=2n1， =（ ） n1， =（ ） n12=（ ） n1， 是以公比为 的等差数列， 是以公比为 的等比数列，第 21 页（共 27 页）+ + = =21（ ） 2n， + + = = 1（ ） n，21（
36、） 2n=M1（ ） n，解得 M= ，根据等差数列的性质得：b 1+bk= + = ，Sk= = ，（2）证明：设数列a n的公比是 q，a n=a1qn1，设数列b n是公差是 d，则 bn=b1+（n1）d，b 1=a1，b 1=a2，b m=a3，消去 d，a 1（q 21）=（m 1）a 1（q 1） ，即 m=q+2，d0，m 是某个正整数，且 m3，qN，且 q2，d=a 1（q 1） ，bk=b1+（k 1）d=a 1+a1（q1） （k1） ，a n=a1qn1=a1+a1（q n11） ，=a1+a1（q1） （q n2+qn3+1） ，n3 时，k=q n2+qn3+2，
37、此时 an=bk，n=1 或 2 时，a 1=b1，a 2=b2，数列a n中所有项都是数列b n的项，数列a n是数列b n的数列选做题.选修 4-1：几何证明选讲 （任选两个）第 22 页（共 27 页）21如图，BCD 内接于O，过 B 作O 的切线 AB，点 C 在圆上，ABC 的角平分线BE 交圆于点 E，且 DBBE求证：DB=DC 【考点】与圆有关的比例线段【分析】连接 DE，交 BC 于点 G通过弦切角定理，得ABE=BCE，然后利用勾股定理可得 DB=DC【解答】证明：如图，连接 DE，交 BC 于点 G由弦切角定理，得ABE=BCE 而ABE=CBE，故CBE=BCE，所以
38、 BE=CE 又因为 DBBE，所以 DE 为圆的直径，所以DCE=90 ，由勾股定理可得 DB=DC 选修 4-2：矩阵与变换22在平面直角坐标系 xOy 中，设点 P（x，3）在矩阵 M= 对应的变换下得到点Q（y4， y+2） ，求 M2 【考点】几种特殊的矩阵变换【分析】利用矩阵变换，求出 x，y，再利用矩阵变换，即可求 M2 【解答】解：由题意， = ， ，x=0，y=10，= ，M 2 = = 第 23 页（共 27 页）选修 4-4：坐标系与参数方程选讲 23在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，在极坐标系（与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且
39、以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，圆 C 的方程为 =2 sin若点 P 的坐标为（3， ） ，求 PA+PB 的值【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程【分析】把圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程，把直线 l 的参数方程代入直角坐标方程，利用根与系数的关系、参数的几何意义即可得出【解答】解：圆 C 的方程为 =2 sin，即 sin，化为直角坐标方程：x 2+y2=2 y，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，代入上述方程可得：t 23 t+4=0，t 1+t2=3 ，PA+PB=|t 1+t2|=3 选修 4-5：不等式选讲24若关于 x 的不等式 x2ax
40、+b0 的解集为（1，2） ，求函数 f（x）=（a1）+（b1） 的最大值【考点】函数的最值及其几何意义；一元二次不等式的解法【分析】由题意可得 1，2 是方程 x2ax+b=0 的两根，运用韦达定理可得 a=3，b=2，即有f（x）=2 + ，运用柯西不等式即可得到所求最大值【解答】解：关于 x 的不等式 x2ax+b0 的解集为（1，2） ，可得 1，2 是方程 x2ax+b=0 的两根，即有 1+2=a，12=b，解得 a=3，b=2，则函数 f（x）=（a 1） +（b1） =2 + ，由 x3 0，4 x0 可得 3x 4，第 24 页（共 27 页）由柯西不等式可得， （2 +
41、） 2（4+1） （x3+4 x） ，即有 2 + 当 2 = ，即为 x= 3，4时，f（x）取得最大值 解答题25如图，一简单几何体 ABCDE 的一个面 ABC 内接于圆 O，AB 是圆 O 的直径，四边形DCBE 为平行四边形，且 DC平面 ABC若 AC=BC=BE=2，（1）BE 边上是否存在一点 M，使得 AD 和 CM 的夹角为 60？（2）求锐二面角 OCEB 的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角【分析】 （1）以 CB 为 x 轴，CB 为 y 轴，CD 为 z 轴，建立如图所示的直角坐标系，求出点的坐标，利用直线之间的夹角转化为向量之间的夹角进行求解
42、即可（2）设平面 BCE 的法向量 ，平面 OCE 的法向量 二面角 OCEB 是锐二面角，记为，利用空间向量的数量积求解 cos 即可【解答】解：（1）以 CB 为 x 轴，CA 为 y 轴，CD 为 z 轴，建立如图所示的直角坐标系，AC=BC=BE=2，CD=BE=2 ，则 C（0，0，0） ，B（2，0，0） ，A （0，2，0） ，O（1，1，0） ，E（2，0，2）D（0，0，2） ，设 M（2，0，t） ， （0t2） ，则 =（0， 2，2） ， =（2，0，t） ，若 AD 和 CM 的夹角为 60，|cos ， |=| |=| |=| |=cos60 ，平方得 t2=4，得
43、 t=2，即 M（2，0，2） ，即 M 位于 E 处时，AD 和 CM 的夹角为 60（2）设平面 OCE 的法向量 =（x 0y 0z 0） 则平面 BCE 的法向量 =（0，1，0） ，=（2，0，2） ， =（1，1，0） 第 25 页（共 27 页） ，则 ，令 x0=1， =（1，1，1） 二面角 OCEB 是锐二面角，记为 ，则cos=|cos |= = = 26已知正项数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a1=1，且当 n2 时，2（S nSn1）=（n+1） （+ + ） （1）求数列a n的通项公式；（2）求证：当 n2 时，4a nan 【考点】数列递推式【分析】 （1
44、）当 n2 时，2（S nSn1）=（n+1） （ + + ） ，令 n=2，则 2a2=3，解得 a2=2猜想 an=n，可得 Sn= ，利用数学归纳法证明即可得出（2）要证明：4a nan ， （n2） ，即证明：4n n（n+2） n，即证明4，利用二项式定理展开： = + + +，即可证明【解答】 （1）解：当 n2 时，2（S nSn1）=（n+1） （ + + ） ，令 n=2，则 2a2=3 ，化为： a26=0，a 20，解得 a2=2猜想 an=n，第 26 页（共 27 页）下面利用数学归纳法给出证明：n=1，2 时成立假设 n=k 时成立，则 Sk= ，可得 = =2 ， + + =2 + + =2 =，当 n2 时，2（S k+1Sk）= （k+2） （ + + ） 2a k+1=（k+2） ，a k+1=k+1，因此 n=k+1 时也成立综上可得：nN *，a n=n 成立（2）证明：要证明：4a nan ， （n2） ，即证明：4n n（n+2） n，即证明 4，利用二项式定理展开： = + + +1+2+ 4， （n2） 4 成立，4a nan ， （n2） 第 27 页（共 27 页）2016 年 9 月 7 日
