1、2013 年全国高考理科数学试题分类汇编：数列一、选择题1. （2013 年高考上海卷（理）在数列 中, ,若一个 7行 12列的矩阵的第 i行第 j列的元素na21n,( )则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为( ),ijijijaa1,27;ij (A)18 (B)28 (C)48 (D)63【答案】A. 2. （2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）已知数列 满足 ,则na12430,3na的前 10项和等于na(A) (B) (C) (D)1063103910310+【答案】C 3. （2013 年高考新课标 1（理）设 的三边长分别为 , 的面积为 ,nABCnabcn
2、ABCnS,若 , ,则( )1,23n 1,2bca11,22nncbA.S n为递减数列 B.Sn为递增数列C.S2n-1为递增数列, S2n为递减数列 D.S2n-1为递减数列, S2n为递增数列【答案】B 4. （2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）函数 的图像如图所示,在区间 上可找到=()yfx,ab个不同的数 使得 则 的取值范围是(2)n12,.,nx12()=,nfxf(A) (B) (C) (D)3,42,343,452,3【答案】B 5. （2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）已知等比数列 na的公比为 q,记(1)(1)2(1).,nmnmn
3、baa则以下结论一定*(1)(1)2(1).,),mnnmncaaN正确的是( )A.数列 为等差数列,公差为 B.数列 为等比数列,公比为nqnb2qC.数列 为等比数列,公比为 D.数列 为等比数列,公比为 【答案】C c2mcm6. （2013 年普通高等学校招生 统一考试新课标卷数学（理）（ 纯 WORD 版含答案）等比数列 na的前 项和为 nS,已知 1230a, 95,则 1a(A) 1 (B) (C) (D) 91【答案】C 7. （2013 年高考新课标 1（理）设等差数列 的前 项和为 ,则 ( )na11,2,0,3nmmSSA.3 B.4 C.5 D.6【答案】C 8.
4、 （2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版）下面是关于公差 的等差数列d的四个命题:na1np数 列 是 递 增 数 列 ； 2:npa数 列 是 递 增 数 列 ；3:数 列 是 递 增 数 列 ； 4:3nd数 列 是 递 增 数 列 ；其中的真命题为(A) (B) (C) (D)12,p34,p23,p14,p【答案】D 9. （2013 年高考江西卷（理）等比数列 x,3x+3,6x+6,的第四项等于A.-24 B.0 C.12 D.24【答案】A 二、填空题10. （2013 年高考四川卷（理）在等差数列 中, ,且 为 和 的等比中项,求数列 的na2
5、184a23na首项、公差及前 项和.n【答案】解:设该数列公差为 ,前 项和为 .由已知,可得 dns. 所以 , 2111128,38ada11,0d解得 ,或 ,即数列 的首相为 4,公差为 0,或首相为 1,公差为 3. 40na所以数列的前 项和 或 n4s23n11. （2013 年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学（理）等差数列 na的前 项和为 nS,已知105,2S,则 nS的最小值为_.【答案】 4912. （2013 年高考湖北卷（理）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数 1,3,6,10,第个三角形数为 .记第 个 边形数为 ,以下列出了部分 边
6、形数n21nk,Nnk3k中第 个数的表达式:三角形数 2,3Nn正方形数 2,4Nn五边形数 315n六边形数 2,6可以推测 的表达式,由此计算 _.【答案】1000 Nnk10,24N13. （2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷）在正项等比数列 中, , ,则na215376a满足 的最大正整数 的值为_.【答案】12 nnaa 2121n14. （2013 年高考湖南卷（理）设 为数列 的前 n项和, 则S(1),nnSN(1) _; (2) _.【答案】 ; 3121060)3215. （2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）当 ,xR时,有如下表达式:2
7、1.1nxxx两边同时积分得:1112222200000.nddxxdx从而得到如下等式: 311()().().ln.n 请根据以下材料所蕴含的数学思想方法,计算: 0122311()().()_2 2nnnnCC【答案】 13()2n 16. （2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）已知 na是等差数列, 1a,公差 0d, nS为其前 项和,若 125,a成等比数列,则 8_S【答案】 64 17. （2013 年上海市春季高考数学试卷）若等差数列的前 6项和为 23,前 9项和为 57,则数列的前 项和_.【答案】 n=S276n18. （2013 年普通高等学校招生统一考
8、试广东省数学（理）在等差数列 中,已知 ,则na3810a573a_.【答案】 2019. （2013 年高考陕西卷（理）观察下列等式: 213262410照此规律, 第 n个等式可为_ _. )1(2)-n1-32- n（）（【答案】 )1(2)-n1-32-1 n（）（20. （2013 年 高考新课标 1（理）若数列 na的前 n项和为 Sn= 213a,则数列 na的通项公式是na=_.【答案】 na=(2). 21. （2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）如图,互不-相同的点 和12,nAX 分别在角O的两条边上,所有 相互平行,且所有梯形 的面积均相等.设12,nB n
9、AB1nB若 则数列 的通项公式是_nAa12,na【答案】 22. （2013 年高考北京卷（理）若等比数列 an满足*,23Nnana2+a4=20,a3+a5=40,则公比 q=_;前 n项和 Sn=_.【答案】2, 12n23. （2013 年普通 高等学校招生统一考试辽宁数学（理）已知等比数列 是递增数列, 是 的前 项anS和,若 是方程 的两个根,则 _.【答案】63 13， 240x6三、解答题24. （2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）设函数,证明:22()1(,)3nnnxxfxRN()对每个 ,存在唯一的 ,满足 ;nN13n(0nfx()对任意 ,由()
10、中 构成的数列 满足 .px1np【答案】解: () 是 x的单调递增函数,也224322 1)(0 nxxfnyx n 是 单 调 递 增 的时 ，当是 n的单 调递增函数. . 0,01)(nff且,10( 321nnn xxxx ， 且满 足存 在 唯 一xxxxxfx nnn 1414221)(,).10( 2243时当,30)(4)( nnnnnf综上,对每个 ,存在唯一的 ,满足 ;(证毕) N213nxnfx() 由题知 043)(,01 222 nxfx nnnpn 上式相减:)()1(432)( 22222 pxxf npnpnpppnpn 22122423222432 )(
11、)(pnxnxxx ppnpnpnnnn ）（）（ 221224232 )()(- xxpnpnpnpnpnpn . xpn1-1法二: 25. （2013 年高考上海卷（理）(3 分+6 分+9 分)给 定常数 ,定义函数 ,0c()2|4|fxcxc数列 满足 .123,a *1(,nnafN(1)若 ,求 及 ;(2)求证:对任意 ,;c23 *1,nac(3)是否存在 ,使得 成等差数列?若存在,求出所有这样的 ,若不存在,说明理由.11,n 1a【答案】:(1)因为 , ,故 , 0c()ac211()|4|2fcc3122()|4|0af(2)要证明原命题,只需证明 对任意 都成立
12、, ()fxcxR即只需证明 ()|fxc2|4|+xcxc若 ,显然有 成立; 02|4|+=0xcxc若 ,则 显然成立 xc| 4xc综上, 恒成立,即对任意的 , ()f*nN1na(3)由(2)知,若 为等差数列,则公差 ,故 n无限增大时,总有 na0dc0na此时, 1()24)()8n nfc即 8dc故 , 21111()|afaac即 , |4|8c当 时,等式成立,且 时, ,此时 为等差数列,满足题意; 10c2n0nn若 ,则 , a11|4acac此时, 也满足题意; 238,()8n综上,满足题意的 的取值范围是 . 1a,)8c26. （2013 年普通高等学校
13、招生全国统一招生考试江苏卷（数学）本小题满分 10分.设数列 ,2,344n ： ， -， ， -， ， -， ， ， -1-1kk 个（ ） ， ， （ ）即当 时, ,记 ,对于 ,11kk（ ） （ ） Nkna（ ） 12nnSa Nl定义集合 lP1nSal是 的 整 数 倍 ， ， 且(1)求集合 中元素的个数; (2)求集合 中元素的个数.1 20P【答案】本题主要考察集合.数列的概念与运算.计数原理等基础知识,考察探究能力及运用数学归纳法分析解决问题能力及推理论证能力. (1)解:由数列 的定义得: , , , , , , , ,na1a23a435a647a8, , 49a1
14、051 , , , , , , , , , ,S23S045S627S89S1051 , , , , 1a44051a66211a集合 中元素的个数为 5 P(2)证明:用数学归纳法先证 )()12(iSi事实上, 当 时, 故原式成立 1i 3)(3)12( i 假设当 时,等式成立,即 故原式成立 m)12()12( mSm则: ,时, i2222)12(32)(11)(2 )()1()()() mSSm5综合得: 于是 )()12(ii)1(2)1()2(12)( iiiSii由上可知: 是 的倍数 (i)而 ,所以 是 ),112)(ijaji )()12()12(ijSiji的倍数
15、)12,(12)( ijai又 不是 的倍数, )(iSi 2i而 ),)(12)(jji 所以 不是 的)2()1()12()( ijiiSiji )2,1(12)( ijai倍数 故当 时,集合 中元素的个数为 )(illP2i-3）（于是当 时,集合 中元素的个数为 ）（ 1i2j12lPj又 4730）（故集合 中元素的个数为 2P08227. （2013 年普通高等学校招生统一考试浙 江数学（理）在公差为 的等差数列 中,已知 ,且dna10成等比数列.(1)求 ; (2)若 ,求3215,anad,d.|321a【答案】解:()由已知得到: 211()4()50()()5()d;
16、2415346nnddaa或()由(1)知,当 时, , 0na当 时, 1n23123(10)(21)|nnaaaAA当 时, 1 12132231230| ()(10()()n nnaaa AAA所以,综上所述: ; 1232(,()|10,12nan28. （2013 年高考湖北卷（理）已知等比数列 满足: , .na23a1235(I)求数列 的通项公式 ;na(II)是否存在正整数 ,使得 ?若存在,求 的最小值;若不存在,说明理由.m121maa【答案】解:(I)由已知条件得: ,又 , , 50q13q或所以数列 的通项或 na23nn(II)若 , ,不存在这样的正整数 ; 1
17、q2105ma 或 m若 , ,不存在这样的正整数 . 31299131a29. （2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）设等差数列 na的前 n项和为 nS,且 42,21na.()求数列 na的通项公式;()设数列 nb前 n项和为 nT,且 1na( 为常数).令 2ncb*()N.求数列 c的前 n项和 R.【答案】解:()设等差数列 na的首项为 1,公差为 d, 由 42S, 1na得 11684()()dd, 解得, 1a, 2d 因此 21na*()N()由题意知: 12nnT所以 2时, 112nnnbT故,121()4nnncb*()N所以01231()()()
18、4 4nnR , 则1231()()()()()4nnn 两式相减得12313()()()(4444nnnR1()(4nn整理得 19nn 所以数列数列 nc的前 n项和 13)9nnR30. （2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷）本小题满分 16分.设 是首项为 ,公差为 的nad等差数列 , 是其前 项和.记 , ,其中 为实数.)0(dnScnSb2*Nc(1)若 ,且 成等比数列,证明: ( );c421b或 kkn(2)若 是等差数列,证明: .nb0c【答案】证明: 是首项为 ,公差为 的等差数列 , 是其前 项和 nad)0(dnS (1) dSn2)1(0can
19、Sb21 成等比数列 421b或 412 )3()(dd 0da0)(1daa21a nnnS 22)( 左边 = 右边= kk2kS左边=右边原式成立 (2) 是等差数列设公差为 , 带入 得: nb1d11)(dnbncnSb2 对 恒成立 11)(dcSn2 )()2( 11131 bda Nn 由式得: 由式得: 0)(21011bdcad2101d0c法二:证:(1)若 ,则 , , . dnan)1(2)(anS2)(adnb当 成等比数列, , 421或 42b即: ,得: ,又 ,故 . 3dadad20ad由此: , , . 故: ( ). nS2knk22)( knS2kn
20、kS2*,N(2) , ccbnn221cnadnadadn22 2)1()1()1(. () 2)(2)(若 是等差数列,则 型. 观察()式后一项,分子幂低于分母幂, nbBnAbn故有: ,即 ,而 0, 故 . 0)1(2cad02)1(adc2)1(adn0c经检验,当 时 是等差数列. nb31. （2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）等差数 列 的前 项和为 ,已知 ,且nanS23=a成等比数列,求 的通项式.124,Sna【答案】32. （2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）已知首项为 的等比数列 不是递减数列, 其32na前 n项和为 , 且
21、S3 + a3, S5 + a5, S4 + a4成等差数列. (*)nSN() 求数列 的通项公式; a() 设 , 求数列 的最大项的值与最小项的值. 【答案】*()1nnTSnT33. （2013 年高考江西卷（理）正项数列a n的前项和a n满足: 22(1)()0nnss(1)求数列a n的通项公式 an;(2)令 ,数列b n的前 项和为 .证明:对于任意的 ,都有21()bnT*N564nT【答案】(1)解:由 ,得 . 2(1)()0nnSS2()(10nnSS由于 是正项数列,所以 . na0,于是 时, .综上,数列 的通项 . 12221(1)()nna na2n(2)证
22、明:由于 . 则 . 2,()nnnb22214()6()nbn22222211163435()()()nT. 22225()()64n34. （2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）设数列 的前 项和为 .已知 ,nanS1a, .() 求 的值;() 求数列 的通项公式;213nSa*N2a() 证明:对一切正整数 ,有 .n1274naa【答案】.(1) 解: , . 23nSN当 时, 又 , 1n122a124a(2)解: , . n 321 12 3n nnSaa当 时, 1nn由 ,得 121nnnSa12nnaS1na数列 是以首项为 ,公差为 1的等差数列. n
23、1a21,n naa当 时,上式显然成立. (3)证明:由(2)知, *,N2*,naN当 时, , 原不等式成立. 1n74a当 时, , 原不等式亦成立. 212当 时, 3n21,1nnn22121 1342naa n 11134352n112当 时, 原不等式亦成立. 717424nn3n综上,对一切正整数 ,有 . n1274naa35. （2013 年高考北京卷（理）已知 an是由非负整数组成的无穷数列,该数列前 n项的最大值记为 An,第 n项之后各项 , ,的最小值记为 Bn,dn=An-Bn .1n2(I)若 an为 2,1,4,3,2,1,4,3,是一个 周期为 4的数列(
24、即对任意 nN *, ),写出 d1,d2,d3,d4的4na值;(II)设 d为非负整数,证明: dn=-d(n=1,2,3)的充分必要条件为 an为公差为 d的等差数列;(III)证明:若 a1=2,dn=1(n=1,2,3,),则 an的项只能是 1或者 2,且有无穷多项为 1.【答案】(I) 234,.(II)(充分性)因为 是公差为 的等差数列,且 ,所以 n 0d12.naa 因此 , , . nAa1B1(23)ndan(必要性)因为 ,所以 . 0(,23)n nAB又因为 , ,所以 . 于是 , . 1n1nna1因此 ,即 是公差为 的等差数列. 1naBAdad(III
25、)因为 ,所以 , .故对任意 . 121211BA1,naB假设 中存在大于 2的项. ()n设 为满足 的最小正整数,则 ,并且对任意 ,. mam,2km又因为 ,所以 ,且 . 121mA2a于是 , . mBd1in,mB故 ,与 矛盾. 1120d所以对于任意 ,有 ,即非负整数列 的各项只能为 1或 2. nnana因此对任意 , ,所以 . 故 . 12nA2nBAd因此对于任意正整数 ,存在 满足 ,且 ,即数列 有无穷多项为 1. mma36. （2013 年高考陕西卷（理）设 是公比为 q的等比数列. () 导 的前 n项和公式; () 设 q1, 证明数列 不是 等比n
26、ana 1na数列. 【答案】解:() 分两种情况讨论. .1 111 aSann 的 常 数 数 列 ， 所 以是 首 项 为时 ， 数 列当 . nnnn qaqaSaaSq 121121 时 ，当上面两式错位相减: .)()()()- 132 nnnqq （. aSnn-1(.-1综上, )1(,)(,1qqnn() 使用反证法. 设 是公比 q1 的等比数列, 假设数列 是等比数列.则 na na当 =0成立,则 不是等比数列. 1*naN， 使 得 1当 成立,则 0*nn， 使 得 恒 为 常 数1nnqa.这与题目条件 q1 矛盾. 1,111 aqa时当综上两种情况,假设数列 是等比数列均不成立,所以当 q1 时, 数列 不是等比数列. n 1na
