2008年高考数学试题分类汇编--圆锥曲线.doc

1、12008 年高考数学试题分类汇编圆锥曲线一 选择题：1.（福建卷 11)又曲线 （a0,b0）的两个焦点为 F1、 F2,若 P为其21xyb上一点，且| PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为（B）A.(1,3) B. C.(3,+ ) D.,33,2.（海南卷 11）已知点 P在抛物线 y2 = 4x上，那么点 P到点 Q（2，1）的距离与点 P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点 P的坐标为（ A ）A. （ ，1） B. （ ，1） C. （1，2） D. （1，2）443.(湖北卷10)如图所示， “嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点 轨进入以月球

2、球心 为PF一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在 点第二次变轨进入仍以 为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，最终F卫星在 点第三次变轨进入以 为圆心的圆形轨道绕月PF飞行，若用 和 分别表示椭轨道和的焦距，用12c2和 分别表示椭圆轨道和的长轴的长，给出下列式子：1a ; ; ; .12c12ac12ca1ca2其中正确式子的序号是（B）A. B. C. D. 4.（湖南卷 8）若双曲线 （ a0, b0）上横坐标为 的点到右焦点21xyab32a的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B )A.(1,2) B.(2,+ ) C.(1,5) D. (5,+ )25.（江西卷7）已

3、知 、 是椭圆的两个焦点，满足 的点 总在1F2 120MF椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（C）A B C D(0,)(0,2(0,),)6.（辽宁卷 10）已知点 P是抛物线 上的一个动点，则点 P到点（0，2）2yx的距离与 P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ）A B C D17235927.（全国二 9）设 ，则双曲线 的离心率 的取值范围是（ 1a221()xyaeB ）A B C D(2)， (25)， (5)， (5)，8.（山东卷(10)设椭圆 C1的离心率为 ，焦点在 X轴上且长轴长为 26.若曲线13C2上的点到椭圆 C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8，则

4、曲线 C2的标准方程为（A）（A） (B)342yx 1532yx(C) (D)12 29.（陕西卷 8）双曲线 （ ， ）的左、右焦点分别是 ，21xyab0ab12F，过 作倾斜角为 的直线交双曲线右支于 点，若 垂直于 轴，则双曲1F30 M2Fx线的离心率为（ B ）xo32yA- xBo32y2-xo32yC- xo32yD-3A B C D632310.（四川卷 12）已知抛物线 的焦点为 ，准线与 轴的交点为 ，:8yxFxK点 在 上且 ，则 的面积为( B )C2KAFK（） （） （） （）4 163211.（天津卷（7）设椭圆 （ ， ）的右焦点与抛物线21xymn0n的

5、焦点相同，离心率为 ，则此椭圆的方程为（B）28yx（A） （B） （C） （D）216y216xy21486xy2648x12.（浙江卷 7）若双曲线 的两个焦点到一条准线的距离之比为 3：2,则12byax双曲线的离心率是（D）（A）3 （B）5 （C） （D）3513.（浙江卷 10）如图，AB 是平面 的斜线段，A 为斜足，若点 P在平面 内运a a动，使得ABP 的面积为定值，则动点 P的轨迹是（B）（A）圆 （B）椭圆 （C）一条直线 （D）两条平行直线14.（重庆卷(8)已知双曲线 （ a0, b0）的一条渐近线为21xyaby=kx(k0),离心率 e= ,则双曲线方程为（C）

6、5k（A） =1 (B)2xa4y 215xya(C) (D)21b2b4二 填空题：1.（海南卷 14）过双曲线 的右顶点为 A，右焦点为 F。过点 F平行双2196xy曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点 B，则AFB 的面积为_ 32152.（湖南卷 12）已知椭圆 （ a b0）的右焦点为 F,右准线为 ,离21xyal心率 e= 过顶点 A(0,b)作 AM ,垂足为 M，则直线 FM的斜率等于 . 5. l123.（江苏卷 12）在平面直角坐标系中，椭圆 1( 0)的焦距为2xyabab2，以 O为圆心， 为半径的圆，过点 作圆的两切线互相垂直，则离心a2,0c率 = e24.（江

7、西卷 15）过抛物线 的焦点 作倾角为 的直线，与抛物2(0)xpyF30线分别交于 、 两点（ 在 轴左侧） ，则 ABAB15.（全国一 14）已知抛物线 的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐21yax标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 26.（全国一 15）在 中， ， 若以 为焦点的椭ABC 7cos18AB，圆经过点 ，则该椭圆的离心率 e37.（全国二 15）已知 是抛物线 的焦点，过 且斜率为 1的直线交F24yx： F于 两点设 ，则 与 的比值等于 CAB， ABB328.（浙江卷 12）已知 为椭圆 的两个焦点，过 的直线交椭圆21、 1952yx1于 A、B 两点若 ，则

8、=_。82F5三 解答题：1.（安徽卷 22） （本小题满分 13 分）设椭圆 过点 ，且着焦点为2:1(0)xyCab(2,1)M1(2,0)F（）求椭圆 的方程；（）当过点 的动直线 与椭圆 相交与两不同点 时，在线段 上取点 ，(4,)PlC,ABQ满足 ，证明：点 总在某定直线上AQBAQ解 (1)由题意：，解得 ，所求椭圆方程为 2221cab24,ab214xy(2)方法一设点 Q、A、B 的坐标分别为 。12(,),(,)xyxy由题设知 均不为零，记 ,则 且,PQBAPQB01又 A，P，B， Q 四点共线，从而 ,AP于是 ， 124x12y， 从而 ， （1） ， （2）

9、214xx 21yy 又点 A、B 在椭圆 C 上，即21,(3)y 24,()x （1）+（2）2 并结合（3） ， （4）得 sy即点 总在定直线 上(,)Qxy20xy方法二设点 ，由题设， 均不为零。12(,),)(,)AB,PABQ6且 PABQ又 四点共线，可设 ,于是, ,(01)PAQB（1）114,xy（2）22由于 在椭圆 C 上，将（1） ， （2）分别代入 C 的方程1(,)(,)AxyB 24,xy整理得（3）22(4)()140xy(4)2xy(4)(3) 得 8()xy0,20 即点 总在定直线 上()Qxy2xy2.（北京卷 19） （本小题共 14 分）已知菱

10、形 的顶点 在椭圆 上，对角线 所在直线的斜率为 1ABCD， 234BD（）当直线 过点 时，求直线 的方程；(01)， AC（）当 时，求菱形 面积的最大值6BD解：（）由题意得直线 的方程为 1yx因为四边形 为菱形，所以 ABCDAC于是可设直线 的方程为 n由 得 234xyn， 226340x因为 在椭圆上，AC，所以 ，解得 216403n设 两点坐标分别为 ， 12()xy， ， ，7则 ， ， ， 123nx214x1yxn2yxn所以 12y所以 的中点坐标为 AC34n，由四边形 为菱形可知，点 在直线 上， BD， 1yx所以 ，解得 314n2n所以直线 的方程为 ，

11、即 ACyx20y（）因为四边形 为菱形，且 ，BD6ABC所以 所以菱形 的面积 AC23S由（）可得 ，222112316()()nxy所以 2343(6)4Snn所以当 时，菱形 的面积取得最大值 0ABCD433.（福建卷 21） （本小题满分 12 分）如图、椭圆 的一个焦点是21(0)xyabF（1，0） ，O 为坐标原点.（）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（）设过点 F 的直线 l 交椭圆于 A、B 两点.若直线 l绕点 F 任意转动，值有 ,求 a 的取值范围.22O本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识，考查分类与整合思想

12、，考查运算能力和综合解题能力.满分 12分.解法一：()设 M， N为短轴的两个三等分点，8因为 MNF为正三角形，所以 ,32OFMN即 1 ,.bA解 得 因此，椭圆方程为24,a21.43xy()设 12(,)(,).AxyB()当直线 AB与 x轴重合时， 22,4(1),.OaAaOB因 此 ， 恒 有()当直线 AB不与 x轴重合时，设直线 AB的方程为：21,1,xymyab代 入整理得 222()0,ab所以 121222,yyab因为恒有 ，所以 AOB恒为钝角.OAB即 恒成立.1212(,),0xyxy212 1212)()()xmmy2222( 0.bab又 a2+b2

13、m20,所以-m 2a2b2+b2-a2b2+a2 a2 -a2b2+b2对 m R 恒成立.当 m R 时，a 2b2m2最小值为 0，所以 a2- a2b2+b20,b0,所以 a0,解得 a 或 a ,151529综合（i）(ii)， a 的取值范围为（ ，+ ）.152解法二：（）同解法一，（）解：（i）当直线 l 垂直于 x 轴时，x=1 代入 =1.221(1),Aybaa因为恒有|OA| 2+|OB|21，即 1,21a解得 a 或 a .155（ii）当直线 l 不垂直于 x 轴时，设 A（x 1,y1）, B（x 2,y2）.设直线 AB 的方程为 y=k(x-1)代入2ab

14、得(b 2+a2k2)x2-2a2k2x+ a2 k2- a2 b2=0,故 x1+x2=2222,.因为恒有|OA| 2+|OB|20 时，不合题意；当 a2- a2 b2+b2=0 时，a= ;15当 a2- a2 b2+b20,解得 a2 或 a2 （舍去） ，a ，因此 a .351515综合（i） （ii） ，a 的取值范围为（ ，+ ）.24.（广东卷 18） （本小题满分 14 分）10AyxO BGFF1图 4设 ，椭圆方程为 ，抛物线方程为 如图 4 所示，过0b21xyb28()xyb点 作 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为 ，已知抛物线在点 的(2)F， GG切线经

15、过椭圆的右焦点 1F（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设 分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点 ，使得AB， P为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出P这些点的坐标） 【解析】 （1）由 得 ，28()xyb218xb当 得 ， G 点的坐标为 ，yb4(4,)， ，过点 G 的切线方程为4x|x即 ，令 得 ，(2)y2yb0y2xb点的坐标为 ，由椭圆方程得 点的坐标为 ，1F(,0)1F(,0)即 ，即椭圆和抛物线的方程分别为 和 ；2b121xy28(1)xy（2） 过 作 轴的垂线与抛物线只有一个交点 , 以 为直角的 只

16、AxPABRtABP有一个，同理 以 为直角的 只有一个。PBRtAB若以 为直角，设 点坐标为 ， 、 两点的坐标分别为21(,)8x和 ， (2,0)(,)。224215()1086PABxx关于 的二次方程有一大于零的解， 有两解，即以 为直角的 有两个，RtABP因此抛物线上存在四个点使得 为直角三角形。5.(湖北卷 19).（本小题满分 13 分）如图，在以点 为圆心， 为直径的半圆 中，O|4ADB， 是半圆弧上一点， ，曲线DABP30PO是满足 为定值的动点 的轨迹，且曲线C|MM11过点 .CP（）建立适当的平面直角坐标系，求曲线 的方程；C（）设过点 的直线 l 与曲线 相

17、交于不同的两点 、 .DEF若 的面积不小于 ，求直线 斜率的取值范围.OEF2l本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几何的基础知识，考查轨迹方程的求法、不等式的解法以及综合解题能力.（满分 13 分）（）解法 1：以 O 为原点， AB、OD 所在直线分别为 x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，则 A（-2，0） ， B（2，0） ，D (0,2),P（ ） ，依题意得1,3MA-MB=PA-PB AB4.2132)2( ）（ 曲线 C 是以原点为中心，A 、B 为焦点的双曲线.设实平轴长为 a，虚半轴长为 b，半焦距为 c，则 c2，2a2 ，a 2=2,b2=c2-a2=2.曲线 C

18、 的方程为 .1yx解法 2：同解法 1 建立平面直角坐标系，则依题意可得MA-MB = PA -PBAB4.曲线 C 是以原点为中心，A 、B 为焦点的双曲线.设双曲线的方程为 0，b0）.ayx(12则由 解得 a2=b2=2,432ba）（曲线 C 的方程为 .12yx12()解法 1：依题意，可设直线 l 的方程为 ykx+2，代入双曲线 C 的方程并整理得（1-K2） x2-4kx-6=0.直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、F， 0)1(64)(0122kk 31kk（- ,-1）（-1，1）（1， ）.33设 E（x ，y） ，F( x2,y2)，则由式得 x1+x2=

19、 ,于是kxk16,42EF 111 )()( .34222122 kxxk而原点 O 到直线 l 的距离 d ，2kS DEF= .13213121 222 kkEFd 若OEF 面积不小于 2 ,即 SOEF ，则有 解 得 .2,0213242 kkk综合、知，直线 l 的斜率的取值范围为 - ，-1(1-,1) (1, ).解法 2：依题意，可设直线 l 的方程为 ykx+2 ，代入双曲线 C 的方程并整理，得（1-K 2）x 2-4kx-6=0.直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、F，13 0)1(64)(0122kk 31k.k（- ，-1）（-1，1）（1， ）.33设

20、 E(x1,y1),F(x2,y2),则由式得x 1-x2= .124) 221kkx当 E、F 在同一去上时（如图 1 所示） ，SOEF ;2221xODxODSEOD 当 E、F 在不同支上时（如图 2 所示）.SODE =OD .)(12121综上得 SOEF 于是,221x由OD2 及式，得 SOEF = .32k若OEF 面积不小于 2 则 有即 ,OEF.2,0132242 kkk解 得综合、知，直线 l 的斜率的取值范围为- ，-1 （-1，1）（1， ）.26.（湖南卷 20）.（本小题满分 13 分）若 A、 B 是抛物线 y2=4x 上的不同两点，弦 AB（不平行于 y

21、轴）的垂直平分线与x 轴相交于点 P，则称弦 AB 是点 P 的一条“相关弦”.已知当 x2 时，点 P（x ,0）存在无穷多条“相关弦”.给定 x02.（I）证明：点 P（x 0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标相同；(II) 试问：点 P（x 0,0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用 x0表示）：若不存在，请说明理由.解: （I）设 AB 为点 P（x 0,0）的任意一条“相关弦” ，且点 A、B 的坐标分别是（x 1,y1） 、 （x 2,y2） （x 1 x2）,则 y21=4x1, y22=4x2,两式相减得（y 1+y2） （y 1-y2） =4（x 1

22、-x2）.因为 x1 x2,所以 y1+y2 0.设直线 AB 的斜率是 k，弦 AB 的中点是 M（x m, ym）,则k= .从而 AB 的垂直平分线 l 的方程为 12124mx ().mx又点 P（x 0,0）在直线 上，所以 l 0().2myx14而 于是 故点 P（x 0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标都是 x0-2.0,my02.mx()由()知，弦 AB所在直线的方程是 ，代入 中，()mykx24y整理得 （）2 2()(.mkxykx则 是方程（）的两个实根，且12、 212().mykxx设点 P 的“相关弦”AB 的弦长为 l，则22222111()()()lxy

23、k2121222422 22004()()4(1)()(1)6(3).mmmmmkxxyyxyxyx因为 03,则 2(x0-3) (0, 4x0-8),所以当 t=2(x0-3),即 =2(x0-3)时,2myl 有最大值 2(x0-1).若 23 时，点 P（x 0,0）的 “相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值为 2（x 0-1） ；当 20 时，恒有| | |OAB20本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力满分 12 分解：（）设 P（x ，y ） ，由椭圆定义可知，点 P 的轨迹 C 是以 为焦点，长半(03

24、)(，轴为 2 的椭圆它的短半轴 ，22(3)1b故曲线 C 的方程为 3 分214yx（）设 ，其坐标满足12()()AB，24.yxk，消去 y 并整理得 ，2(4)30xk故 5 分12124xk，若 ，即 OABxy而 ，21112()y于是 ，2122231044kx化简得 ，所以 8 分40k（）2221()OABxy221()4x123()x264k因为 A 在第一象限，故 由 知 ，从而 又 ，10x1234xk20x120xk17故 ，20OAB即在题设条件下，恒有 12 分OAB9.（全国一 21） （本小题满分 12 分）（注意：在试题卷上作答无效）双曲线的中心为原点 ，

25、焦点在 轴上，两条渐近线分别为 ，经过右焦点 垂直于x12l， F的直线分别交 于 两点已知 成等差数列，且 与 同1l12l， AB， OAB、 、 BA向（）求双曲线的离心率；（）设 被双曲线所截得的线段的长为 4，求双曲线的方程解：（）设 ， ，Omdmd由勾股定理可得： 22()()得： ， ，14dtanbAF4tanta3ABAOBFO由倍角公式 ，解得 ,则离心率 2431ba1252e（）过 直线方程为 ,与双曲线方程 联立F()yxcb21xyab将 ， 代入，化简有2ab5c215804212114()4axxxb将数值代入，有 ,解得2235843b故所求的双曲线方程为

26、。21369xy10.（全国二 21） （本小题满分 12 分）设椭圆中心在坐标原点， 是它的两个顶点，直线 与 AB 相交(20)AB， ， ， )0(kxy于点 D，与椭圆相交于 E、F 两点18（）若 ，求 的值；6EDFk（）求四边形 面积的最大值AB（）解：依题设得椭圆的方程为 ，214xy直线 的方程分别为 ， 2 分EF， (0)kx如图，设 ，其中 ，012()()(DxkxkF， ， ， ， ， 12x且 满足方程 ，12， 24故 212xk由 知 ，得 ；6EDF01206()xx02122510(6)774xk由 在 上知 ，得 AB0k01k所以 ，22174k化简得

27、 ，2560解得 或 6 分3k8（）解法一：根据点到直线的距离公式和式知，点 到 的距离分别为EF， AB，212(14)55xkh 9 分22()14kk又 ，所以四边形 的面积为215ABAEBF2()Sh2452(1)kA2)4kDFByxAOE19214k，当 ，即当 时，上式取等号所以 的最大值为 12 分21k2kS2解法二：由题设， ， 1BO2A设 ， ，由得 ， ，1ykx20x10y故四边形 的面积为AEFBS 9 分2xy2()224xyx2()，当 时，上式取等号所以 的最大值为 12 分2xyS211.（山东卷 22) (本小题满分 14 分)如图，设抛物线方程为

28、x2=2py(p0),M 为 直线 y=-2p 上任意一点，过 M 引抛物线的切线，切点分别为 A，B.（）求证：A，M，B 三点的横坐标成等差数列；（）已知当 M 点的坐标为（ 2，-2 p）时， ，求此时410AB抛物线的方程；（）是否存在点 M，使得点 C 关于直线 AB 的对称点 D 在抛物线 上，其中，点 C 满足 （O 为坐2(0)xpy， 标原点）.若存在，求出所有适合题意的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由.（）证明：由题意设221120(,)(,),().xABxpp，由 得 ，则2xy2,yp20所以 12,.MABxkp因此直线 MA 的方程为 10(),xyp直线 M

29、B 的方程为 20().所以 2110(),xpx220().由、得 21120,xx因此 ，即210012.所以 A、M 、B 三点的横坐标成等差数列.（）解：由（）知，当 x0=2 时，将其代入、并整理得：2214,xp20所以 x 1、x 2是方程 的两根，2240xp因此 ,又21022,ABxxpkp所以 .AB由弦长公式得 22 21124()416.kxxp又 ，40AB21所以 p=1 或 p=2，因此所求抛物线方程为 或2xy24.（）解：设 D(x3,y3)，由题意得 C(x1+ x2, y1+ y2),则 CD 的中点坐标为 33),Q设直线 AB 的方程为 011(),

30、yxp由点 Q 在直线 AB 上，并注意到点 也在直线 AB 上，22,)y代入得 03.xyp若 D（x 3,y3）在抛物线上，则 2303,xpyx因此 x 3=0 或 x3=2x0.即 D(0，0)或2(,)p（1）当 x0=0 时，则 ，此时，点 M(0,-2p)适合题意.120x（2）当 ，对于 D(0，0)，此时0 212 21 1000(,), ,4CDxxxkpp又 ABCD，0,ABxkp所以22011,4ABCDxp即 矛盾.221,xp对于 因为 此时直线 CD 平行于 y 轴，0(,)210(,),xp又 0,ABxkp所以 直线 AB 与直线 CD 不垂直，与题设矛盾

31、，所以 时，不存在符合题意的 M 点.0x综上所述，仅存在一点 M(0，-2p) 适合题意.2212.（陕西卷 20） （本小题满分 12 分）已知抛物线 ： ，直线 交 于 两点， 是线段 的中点，过C2yx2ykxCAB， MAB作 轴的垂线交 于点 MxN（）证明：抛物线 在点 处的切线与 平行；（）是否存在实数 使 ，若存在，求 的值；若不存在，说明理由k0ABk20解法一：（）如图，设 ， ，把21()x， 2()x，代入 得 ，2ykx2yk由韦达定理得 ， ，12x12， 点的坐标为 4NMkxN248k，设抛物线在点 处的切线 的方程为 ，l2ymx将 代入上式得 ，2yx22

32、048kx直线 与抛物线 相切，lC， 22 228()4mkkmk k即 lAB（）假设存在实数 ，使 ，则 ，又 是 的中点，k0NABANBMA1|2MN由（）知 121212()()()4yykxkx4轴， MNx2216|8MNkky又 2221211|()4ABkxxxA224)6kAxAy112MNBO23，解得 222161684kkA2k即存在 ，使 0NB解法二：（）如图，设 ，把 代入 得221()()xx， ， ， 2ykx2yx由韦达定理得 20xk212k， 点的坐标为 ， ，124NMxkN48， 2yx4yx抛物线在点 处的切线 的斜率为 ， lklAB（）假设

33、存在实数 ，使 k0AB由（）知 ，则2 21124848kNxNx， ， ， 22121kAB 221214461kxx12124kA2 2121121()46kkxxxkx2 24()4kA22316k，0， ，解得 21k2304k2k即存在 ，使 NAB13.（四川卷 21） （本小题满分 12 分）24设椭圆 的左右焦点分别为 ，离心率 ，右准线为 ，21,0xyab12,F2el是 上的两个动点，,MNl12FMN（）若 ，求 的值；125,ab（）证明：当 取最小值时， 与 共线。1212F【解】：由 与 ，得22abcaeb， 的方程为1200F， ， ， l2xa设 12Ma

34、yNay， ， ，则 11223F， ， ，由 得120F3ya（）由 ，得125MN13ay25由、三式，消去 ，并求得12,y24a故 2,ab（） 222 211121212146MNyyyya当且仅当 或 时， 取最小值126a216aMN25此时， 121212123,0FMNayayayaF ， ，故 与 共线。1212【点评】：此题重点考察椭圆中的基本量的关系，进而求椭圆待定常数，考察向量的综合应用；【突破】：熟悉椭圆各基本量间的关系，数形结合，熟练地进行向量的坐标运算，设而不求消元的思想在圆锥曲线问题中的灵活应用。14.（天津卷 22） （本小题满分 14 分）已知中心在原点的

35、双曲线 C 的一个焦点是 ，一条渐近线的方程0,31F是 025yx（）求双曲线 C 的方程；（）若以 为斜率的直线 与双曲线 C 相交于两个不同的点 M，N，且线段 MNkl的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 ，求 的取值范围281k（22）本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理运算能力满分 14 分（）解：设双曲线 的方程为 （ ） 由题设得C21xyab0,ab，解得 ，所以双曲线方程为 295ab245b2145xy（）解：设直线 的方程为 （ ） 点 ， 的坐标满足ly

36、kxm01(,)M2(,)Nxy方程组 2145ykxm将式代入式，得 ，整理得 22()15xk22(54)840kxm此方程有两个一等实根，于是 ，204且 整理得 22(8)4()kmk22540k由根与系数的关系可知线段 的中点坐标 满足MN0(,)xy26， 120245xkm0254mykxk从而线段 的垂直平分线方程为 MN214()5kx此直线与 轴， 轴的交点坐标分别为 ， 由题设可得xy29(,0)5k9,整理得 ， 221981|54kmk4|m将上式代入式得 ，整理得 ，2(54)0|k22(5)4|5)0kk0k解得 或 |2|4k所以 的取值范围是 k55,)(,0

37、)(,)(,)24(15.（浙江卷 20） （本题 15 分）已知曲线 C 是到点 P（ ）和到直线 距离相等83,2185y的点的轨迹。 是过点 Q（-1，0）的直线，M 是 C 上（不在 上）的动点；A、B 在 上， 轴（如图） 。xBA,（）求曲线 C 的方程；（）求出直线 的方程，使得 为常数。A2本题主要考查求曲线的轨迹方程、两条直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力满分 15 分（）解：设 为 上的点，则()Nxy， C，2213| 8P到直线 的距离为 5y5y由题设得 22138x化简，得曲线 的方程为 C2()yx（）解法一：27设 ，直线 ，则2

38、xM， :lykx，从而 ()Bk， 2|1|QB在 中，因为RtA，22|(1)4xQM222()|1kA所以 .22222(1)| )4xQMAk，2|1|xkA2|()1|QBxkkA当 时， ，2k2|5从而所求直线 方程为 l0xy解法二：设 ，直线 ，则 ，从而2M， :lkx()Bxk，2|1|QBkx过 垂直于 的直线 (0)， l1:(1)lyxk因为 ，所以 ，|AMH2|QA222|(1)1|QBkxkABOQyxlMABOQyxlMHl128当 时， ，2k2|5QBA从而所求直线 方程为 l0xy16.（重庆卷 21） （本小题满分 12分， （）小问 5分， （）小

39、问 7分.）如图（21）图， M（-2，0）和 N（2，0）是平面上的两点，动点 P满足： 6.（）求点 P的轨迹方程；（）若 ,求点 P的坐标.1cos解：()由椭圆的定义，点 P的轨迹是以 M、 N为焦点，长轴长 2a=6的椭圆.因此半焦距 c=2，长半轴 a=3，从而短半轴b= ，25a所以椭圆的方程为21.9xy()由 得,cosPMNPA2.NA因为 不为椭圆长轴顶点，故 P、 M、 N构成三角形.在 PMNcos1,中， 4N由 余 弦 定 理 有22cos.MPA将代入，得224(2).MPN故点 P在以 M、 N为焦点，实轴长为 的双曲线 上.321xy由()知，点 P的坐标又满足 ，所以2195xy由方程组 解得2594,3.xy3,2.y即 P点坐标为2535353535(,)2222、 （ ， -） 、 （ -， ） 或 （ ， -） .