1、结构静力学问题的有限元法 空间问题有限元法,弹性力学的平面问题和轴对称问题是空间问题的特例，是在某种条件下的简易解法。在实际工程中，有些结构由于形体复杂，难以简化为平面问题或轴对称问题，必须按空间问题求解。在空间问题中，最简单的单元是具有四个角点的四面体，如图2-11所示。从这一节开始，先介绍常应变四面体单元，然后介绍高次四面体单元及六面体单元等。下面首先以四面体单元为例介绍空间问题的有限元法求解步骤。,图2-11 四面体单元,结构静力学问题的有限元法 空间问题有限元法,位移模式如图2-11所示的一个四面体单元，以四个角点i、j、m、p为节点，这是最早提出的，也是最简单的空间单元。每个节点有三
2、个位移分量每个单元共有12个节点位移分量，表示为向量假定单元内任一点的位移分量是坐标的线性函数,(2-1-29),(2-1-30),(2-1-31),结构静力学问题的有限元法 空间问题有限元法,其中，广义坐标1、5、9代表刚体移动，2、7、12代表常量正应变，其余6个系数反映了常量剪应变和刚体转动。以各节点的坐标和位移代入上式，求出各广义坐标，进而得到四面体单元上任一点的位移为式中，I为三阶单位矩阵。形函数为V为四面体ijmp的体积,(2-1-32),结构静力学问题的有限元法 空间问题有限元法,为了使四面体的体积V不为负值，单元节点的标号i、j、m、p必须依照一定的顺序，在右手坐标系中，当按照
3、ijm的方向转动时，右手螺旋应向p的方向前进。由于位移函数是线性的，在相邻单元的接触面上，位移显然是连续的（单元协调）。,结构静力学问题的有限元法 空间问题有限元法,单元应变 在空间应力问题中，每个点具有6个应变分量 将(2-1-32)式代入上式得到其中，应变矩阵的子阵为,由于矩阵B中的元素都是常量，单元应变分量也都是常量。,(2-1-33),结构静力学问题的有限元法 空间问题有限元法,单元应力 单元应力可用节点位移表示为其中，应力矩阵S=DB，弹性矩阵D为由于应变是常量，应力也是常量。,(2-1-34),结构静力学问题的有限元法 空间问题有限元法,单元刚度矩阵由虚位移原理，可以得到单元刚度矩
4、阵节点荷载通过与平面问题中同样的推倒得到类似的节点荷载计算公式集中力f=fx fy fzT的移置 P e=N T f 体力q=qx qy qzT的移置面力p=px py pzT的移置以上是普遍适用的计算式。,(2-1-35),(2-1-36),(2-1-37),(2-1-38),结构静力学问题的有限元法 空间问题有限元法,高次四面体单元及六面体单元实际工程结构中的应力场，往往是随着坐标而急剧变化的，常应变四面体单元中的应力分量都是常量，难以适应急剧变化的应力场，为了保证必要的计算精度，必须采用密集的计算网格，这样一来，节点数量将很多，方程组十分庞大。如果采用高次位移模式，单元中的应力是变化的，就可以用较少的单元、较少的自由度而得到要求的计算精度，从而降低方程组的规模。当然，高次单元的刚度矩阵比较复杂，形成刚度矩阵要花费较多的计算时间。,图2-12 10节点四面体单元 图2-13 8节点六面体单元,结构静力学问题的有限元法 空间问题有限元法,但在保持同样计算精度的条件下，采用高次单元，在总的计算时间上还是节省的。10节点四面体单元、8节点六面体单元如图2-12与图2-13所示，还有20节点四面体单元、20节点六面体单元等等。其计算分析步骤同前述类似。需总结有限元的分析步骤。,
